劉善娜

【摘 要】兒童學習某個數(shù)學知識前的原初認知，可能是偏離了科學概念的相異構想。如“三角形的面積”一課，學生基于原有的經驗去推導面積的計算公式，絕大部分學生都想不到用倍拼法，但倍拼法又是他們最終需要吸收內化的方法。對此，教師在教學中可以從學情檢測、教材分析、學材對比教學等角度入手，分析學生原初認知與最終認知之間的差異，并尋求最利于學生認知建構的學習素材來達成相異構想的調正。

【關鍵詞】相異構想；學材設計；三角形面積

兒童總是基于前期積累的經驗去解決新遇到的問題，但方法、路徑可能是片面的、淺層次的，可能是偏離了科學概念的相異構想。如“三角形的面積”一課，學生會基于原有的經驗去推導面積的計算公式，這些經驗都與最終的認知形成息息相關。

問題的經驗][多個三角形的拼組經驗][提前學（見）過三角形面積計算公式推導過程][三角形面積計算公式推導的

原初經驗][平行四邊形

分割成兩個三角形

的經驗][（平行四邊形面積）割補轉化經驗][數(shù)格子求圖形面積的經驗]

三角形面積計算公式推導的原初經驗

平行四邊形轉化為長方形時進行的是等積轉化，而三角形轉化成平行四邊形則需要加倍，學生需要面對一個三角形想到去虛構另一個與之全等的三角形，使之拼成學過的規(guī)則圖形。根據(jù)克萊門茲等人對圖形構造能力層次的劃分，可以發(fā)現(xiàn)前者屬于層次一“前構造者”（只能操作單一的圖形，而不能把它們組合成更大的圖形）與層次二“堆砌者”（能夠按照要求或根據(jù)模型把一些簡單的圖形組合在一起，看到的只是整體的形狀，而不是圖形之間或圖形的部分元素之間的幾何關系）；而后者則需要達到層次五“合同構圖者”（學生能夠有意識地合成圖形，能夠充分認識和運用圖形的合同或全等關系，如知道兩個全等的梯形可以構成一個六邊形）。這其中的差異，導致學生的原初構想與最終構想之間存在難以想到“從加倍（×2，倍拼法推導）到消去一半（÷2，運用公式準確計算）”的相異構想。本文從學習材料的合理選擇與設計入手進行闡述。

一、典型學材設計與相應調正流程

教材選用不同的素材，激活的就是不同的原初經驗。從不同的原初經驗出發(fā)的相異構想，經由不同的學習材料的運用，就會形成不同的調正教學流程。利用不同的學習材料進行的調正教學主要有以下三種典型設計。

典型學材設計1：提供3個三角形

教學流程：利用原有經驗操作 → 能轉化成功， 不能轉化成功，為什么？→發(fā)現(xiàn) 能分成2個完全一樣的三角形，認識到2個完全一樣的三角形才能拼成平行四邊形→信封里還有1個 ，成功操作→找聯(lián)系，推導公式→引申介紹《九章算術》“中位線割補”，溝通其中的聯(lián)系。

調正了什么？

學材設計靈感來自于人教版教材的“操作”倍拼轉化。教材是直接給予兩個完全一樣的三角形，暗示過于明顯，如果放手讓學生操作，學生又找不到探究的切入口。這一學材的使用，把學生的思維從“1個三角形沿高剪開來拼”引導到用“2個完全相同的三角形來拼”，學生從“只會轉化等腰三角形→能轉化任意三角形”。

欠缺了什么？

學生面對 無法轉化成功，教師予以層層的“巧妙”引導，將“分成2個完全一樣的三角形”與“2個完全一樣的三角形才能拼成平行四邊形”對接，才完成了調正教學，說明這一學材無法調動學生的原有拼組經驗，學生無法獨立找尋到“倍拼法”，且探究方式比較單一，不利于學生主動探究。

典型學材設計2：提供以方格為背景的直角、銳角、鈍角三角形各1個。

調正了什么？

學材設計靈感來自浙教版和日本啟林版。借助直角三角形這個特殊圖形，引導學生完成“倍拼”構想，將研究直角三角形面積的活動作為突破“倍拼法”的關鍵環(huán)節(jié)。這一學材的使用，使得學生能在以方格為背景的情況下，用“中位線割補法”“倍拼法”將三角形轉化成學過的圖形，算出面積。

欠缺了什么？

這一學材激活了較多的原初經驗，學生能順利轉化，但由于從直角三角形出發(fā)到銳角三角形、鈍角三角形的嘗試、探究、反饋、提煉過程較長，以及學生始終在方格背景下探索公式，導致學生在面對無數(shù)據(jù)的任意三角形需要自己測量關鍵數(shù)據(jù)時，就出現(xiàn)了很多的錯誤。

典型學材設計3：提供以平行四邊形為背景的直角三角形1個。

教學流程：求出三角形面積[A][B][C][D][4厘米][7厘米]→三角形面積=平行四邊形面積÷2→給一個任意三角形，面積怎么求？寫出思考過程→學生自構平行四邊形的想法反饋、展示→發(fā)現(xiàn)共同點、找到轉化前后圖形聯(lián)系→得出面積計算公式→引申介紹《九章算術》“中位線割補”，溝通其中的聯(lián)系。

調正了什么？

學材設計靈感來自蘇教版。借助平行四邊形與三角形之間的特殊關系，引導學生完成“加倍”構想，讓學生能從計算平行四邊形中的三角形的面積出發(fā)去推導公式，逐步達成任意三角形面積的計算，且對公式中的“÷2”印象特別深刻。

欠缺了什么？

學生面對這份學材，推導的方法比較單一，緊扣平行四邊形÷2得到三角形。

對比三份典型學材與相應的教學流程，可以得到兩點啟示：

1.格子圖的優(yōu)勢。格子圖為不同層次的學生提供不同的表達素材，人人都可以動手去探究。且格子圖本身就與面積的本質有關聯(lián)，比其他的學習素材都要直觀形象。

2.“切”“合”動態(tài)感知的優(yōu)勢。學生在利用學材1和學材3時，都用較長時間感受了兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形、一個平行四邊形均分成兩個完全一樣的三角形的過程，這一過程對接了面積計算公式中的“÷2”，有助于相異構想的轉化，降低學生在后續(xù)計算過程中“÷2”的遺忘率。

利用這兩個學材的優(yōu)勢，就能助推學生對“從加倍（×2，倍拼法推導）到消去一半（÷2，運用公式準確計算）”的相異構想進行調正。

二、調正相異構想的學材設計與調正教學片段

顯然，要引導學生掌握倍拼法，掌握計算公式，需要利用學生“最近”的經驗，使其相異構想的“異”度在一定程度上降低，就可以讓學生在方格圖背景下研究三角形面積計算公式。在得出多樣化的轉化方法之后，通過溝通、對比，提煉出面積計算公式，并在公式習得后，設計“三角形從平行四邊形中‘單飛求面積”“‘單身三角形求雙的想象畫圖”“沒有方格圖自測數(shù)據(jù)求三角形面積”等即時跟進練習，以助推方格圖背景學材在公式運用時達到“平行四邊形一分為二”的動態(tài)過程與公式中“÷2”的過程性對接的同等效果，從而順利將相異構想調正為相同構想。

學材設計與調正教學1：直角三角形“打頭陣”，方格背景從無到有。

師：有誰知道三角形的面積怎么算？

生：三角形的面積=底×高÷2。

師：你說的三角形，是指所有三角形嗎？

生：是的。

師：三角形比較復雜，可以按邊分，可以按角分，咱們是按邊研究還是按角研究？

生：按角研究，因為三角形可以分成銳角、鈍角、直角三角形，不重復不遺漏。

生：按邊分，我們只認識特殊的等腰三角形和等邊三角形，每條邊都不一樣長的三角形沒有研究。

師：那就按角的分類來研究。要計算這三類三角形的面積（出示三角形：

【設計意圖】（1）遵循著學生的起點，提出研究的內容。教師直接問“三角形面積怎么算→你要什么數(shù)據(jù)→算出結果”，能充分暴露學情，了解學生“公式”與“計算應用”的掌握程度。剛學了平行四邊形面積，大部分學生在看教材、做作業(yè)的過程中自然地發(fā)現(xiàn)了公式并能進行操練性“應用”。那就讓學生敞開了說公式，大大方方進行面積計算，學生發(fā)現(xiàn)這節(jié)課并不只是研究“怎么算”，研究的重點是“為什么”，這就明晰了新的挑戰(zhàn)。（2）給予數(shù)據(jù)并凸顯方格圖的背景作用。在沒有方格圖的時候，學生根據(jù)公式和需要的數(shù)據(jù)已經求出了三角形面積。在求出具體面積的基礎上，給三角形配上方格背景，有利于學生對照具體數(shù)據(jù)研究其中的道理。學生面對具體數(shù)據(jù)比面對“底”“高”這些抽象名稱更容易說理、分析。而教師直接說“從直角三角形”開始研究，是因為學生在三角形內角和等課上，感受過以直角三角形為推進素材的學習，此時直接切入，簡化過程。

師：誰上來匯報一下自己的研究結果，為什么6×4以后還要“÷2”？

方法：中位線割補——割補轉化

生1（出示）：我是這樣想的。從這里割開，旋轉到這邊，就拼成了一個長方形。這個長方形的長是6厘米，高是2厘米，與原來的三角形一比，三角形的高÷2了，原來是4厘米，現(xiàn)在只有2厘米了，是原來的一半，根據(jù)長方形面積公式長乘寬，所以就是6×4÷2。

師：6是長方形的長，4÷2是——[長方形的寬，板書：6×（4÷2）]。

師：好，他解釋了之所以÷2，是因為高÷2了（動態(tài)配合，圖1）。你們倆呢？

生2：我和他的方法差不多

生：都要沿著中間的地方分割才行。（上來指著說）生1、生2是從高的中點到斜邊的中點，生3是底的中點到斜邊的中點。

生：我覺得他們就是用“一半”法來解釋“÷2”的。高割掉一半，或者底割掉一半，拼成學過的平行四邊形或者長方形。

【設計意圖】根據(jù)經驗分析，以方格圖為背景，部分學生能利用平行四邊形割補轉化的方法，將單個直角三角形直接分割轉化。又根據(jù)前面所做的后測分析，這種方法一旦離開格子圖，學生“留痕”過淺，因此不作放大研究，而是讓學生用自己樸素的話加以表達，并用預設好的課件配合學生的方法，幫助每個學生能理解單個圖形的轉化。

師：說得真好。那么大家看這兩種方法，和剛才的方法一樣嗎？他們又是怎么想的？和原來的三角形又有怎樣的聯(lián)系？

生：我覺得這兩個作品特別好理解。6×4，算出來的是長方形和平行四邊形的面積。但這個長方形和平行四邊形都是由2個一樣的直角三角形拼成的，所以6×4后要再÷2。

生：我也覺得。6×4就是長方形的長×寬，是24平方厘米，三角形的底×高就是24平方厘米，但這是2個三角形的面積，所以6×4后要再÷2。

生：他們都是多畫了1個一樣的直角三角形，拼成了學過的圖形，只不過這個拼在斜邊上，這個拼在直角邊上。

師：按他的說法，還能把這個多畫的直角三角形往哪兒拼？

生：還有一條直角邊上也可以拼。

師：你們在格子圖上畫畫看，拼起來是什么樣子的？

生：也是一個平行四邊形，它的底是三角形的這條直角邊，高是另一條直角邊。

師：咱們以前這樣拼過嗎？

生：拼過。2副三角板，用尖尖的兩個直角三角板，可以拼組成3個不同的平行四邊形。

【設計意圖】（1）利用最“同”構想，推進理解。格子圖上的直角三角形，學生在四年級時就能想到加倍成長方形來數(shù)面積，課堂上自然有很多學生會想到這種方法，但很少有學生會想到倍拼成平行四邊形。2個圖放在一起比較，學生就能關注到“倍拼”的共同點，借助“長方形”的“容易理解”來推動不同形式但相同本質的“倍拼法”。（2）激活拼組法經驗，讓“倍拼法”有了“來處”。學生發(fā)現(xiàn)倍拼法原來是“老朋友”，之后的銳角三角形和鈍角三角形就可以放手讓學生自己研究，學生會在“割補法”和“倍拼法”的基礎上，多一種將銳角三角形、鈍角三角形“分割成2個直角三角形”，然后用直角三角形來解釋說明的方法。

學材設計與推進教學2：強化公式感知，從平行四邊形中來。

師：大家剛才用了很多方法，畫畫、寫寫、說說，也發(fā)現(xiàn)了用倍拼法把三角形轉化成平行四邊形（含長方形），特別好理解。那請大家看看，這個平行四邊形中，你能看到三角形嗎？

師：是啊，三角形面積總是等底等高的平行四邊形面積的一半，我們可以確認三角形面積=底×高÷2。如果我現(xiàn)在給你一個“單身”的三角形，你能找到它的平行四邊形伙伴嗎？好，想象出來了，比畫一下。我們把這個過程一起來表演一下。

師生一起比畫：單身的三角形求不出面積，需要依靠它的好朋友平行四邊形，先底×高變成了平行四邊形，再÷2，就得到了三角形的面積。

【設計意圖】（1）對應公式，強化直觀感知。先將一個已知面積是6平方厘米的平行四邊形分割成2個三角形，求三角形面積；然后從單個三角形去想象拼成的平行四邊形，再一分為二，這樣由課件配合動態(tài)直觀的感知過程，都是在幫助學生理解公式后進一步內化概念。（2）故事化語言，讓學生牢記好朋友平行四邊形。在后續(xù)的練習中，學生經常要忘記“÷2”，故事一串，手勢一表演，學生就加深了印象，感受到了三角形必須依靠好朋友才能算出面積，底×高算的是平行四邊形面積，要÷2才是三角形面積。

從前測到教材分析，從典型學材設計與經典教學流程到學生“學材”的選擇，最終形成了相異構想理念下調正“差異”的學材設計，并在這樣的學材基礎上推進了三角形面積計算公式的推導教學。關注相異構想，就是關注學生的原初經驗，設計有效的學習材料，就是基于學生的原初經驗去引導、去溝通、去調正與知識的最終構想之間的差異，讓學生經歷從“不完整”的原初構想到“完整”的最終認知的調正過程。

參考資料：

[1]楊富民.“三角形面積”磨課歷程[J].小學教學設計，2016（20）：52-53.

[2]陳敏.基于“重點·難點·關鍵點”的教材比較研究——以“三角形的面積”新授課為例[J].小學教學（數(shù)學版），2016（06）：7-10.

[3]陳敏.“三角形的面積”教學再嘗試[J].小學教學（數(shù)學版），2012（09）：38-40.

[4]鄭維榮.基于思想導引的“殊途同歸”——“三角形的面積計算”教學案例（一）[J].小學教學設計，2015（32）：16-17.

[注：本文為浙江省教育規(guī)劃課題2018SC086“小學數(shù)學相異構想調正策略的研究——以圖形與幾何（測量）為例”的階段性成果之一。]

（浙江省寧波市奉化區(qū)實驗小學 315500）