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        淺談分類討論思想在中考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用
        ——以江西省中考數(shù)學(xué)為例

        2018-06-05 02:28:50
        關(guān)鍵詞:垂線過點正整數(shù)

        (江西省贛州市章貢區(qū)濱江第一小學(xué) 江西贛州 341000)

        全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求,“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基本思想”。分類討論作為最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一,在中考解題中占有重要的地位。本文主要是以江西省近年的中考試題為例對分類討論思想進(jìn)行分析,為教師的有效教學(xué)和學(xué)生的發(fā)散思維提供參考。

        一、分類討論思想

        分類討論是指當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時,需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,然后逐類討論,最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的答案。像這種先分類再討論,把問題“分而治之,各個擊破”的解決問題的思想就是分類討論思想。分類討論思想能有效地幫助學(xué)生整理解題思路,提高解題能力。

        應(yīng)用分類討論"化整為零,各個擊破,再集零為整"的數(shù)學(xué)策略時必須得明確分類原則。

        (1)完備性原則 在解題要明確所討論的問題的全域。

        (2)不漏原則 分類必須完整,不能遺漏。

        (3)不重復(fù)原則 所有的分類之間必須是互斥的。

        二、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

        1.與函數(shù)有關(guān)問題的應(yīng)用

        函數(shù)是數(shù)學(xué)中非常重要的模塊,其中二次函數(shù)是中考重點考察的內(nèi)容,通過對近年中考題的分析發(fā)現(xiàn),有關(guān)二次函數(shù)的考題多涉及參數(shù),學(xué)生用分類討論思想能很好地解決這一類問題。

        例:(2016·江西)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2,過點B1(1,0)作x軸的垂線,交拋物線于點A1(1,2);過點作x軸的垂線,交拋物線于點A2;…;過點(n為正整數(shù))作x軸的垂線,交拋物線于點An,連接AnBn+1,得Rt△AnBnBn+1。

        2.在系列Rt△AnBnBn+1中,探究下列問題:

        ①當(dāng)n為何值時,Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形?

        ② 設(shè)1≤k<m≤n(k,m均為正整數(shù)),問: 是否存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似?若存在,求出其相似比;若不存在,說明理由.

        【分析】因為Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1是直角三角形,所以分兩種情況討論:根據(jù)結(jié)論代入所得的對應(yīng)邊的比列式,計算求出k與m的關(guān)系,并與1≤k<m≤n(k,m均為正整數(shù))相結(jié)合,得出兩種符合條件的值,分別代入兩相似直角三角形計算相似比.

        【解答】由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn=BnBn+1,

        ∴當(dāng)n=3時,Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形,

        ②依題意得,∠AkBkBk+1=∠AmBmBm+1=90°,

        有兩種情況:i)當(dāng)Rt△AkBkBk+1∽Rt△AmBmBm+1時,

        所以,k=m(舍去),

        ii)當(dāng)Rt△AkBkBk+1∽Rt△Bm+1BmAm時,

        ∴k+m=6,

        ∵1≤k<m≤n(k,m均為正整數(shù)),

        ∴取或

        當(dāng)時,Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5,

        相似比為:

        當(dāng)時,Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4,

        相似比為:

        所以:存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似,其相似比為64:1或8:1.

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