張 冰

（陜西省西安交大附中 陜西西安 710048）

在高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材（北師大版）選修2-2《導(dǎo)數(shù)的幾何意義》中介紹了一道例題，課堂上講解這道題目之后，又有了很多想法和反思，現(xiàn)將課后對(duì)這道題目的反思記錄下來(lái)，希望對(duì)今后的教學(xué)有所啟發(fā)。

1.例：已知曲線(xiàn)

（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（2）求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)處的切線(xiàn)方程。

解：（1由曲線(xiàn)的幾何意義，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率是

所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：

即：

（2）曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)處的切線(xiàn)可能（1）P是切點(diǎn)；（2）P不是切點(diǎn)

當(dāng)P是切點(diǎn)時(shí)，即第（1）小問(wèn)的情形，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：

當(dāng)P不是切點(diǎn)時(shí)，假設(shè)切點(diǎn)為

這時(shí)曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為：

通過(guò)圖像可以驗(yàn)證曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P的曲線(xiàn)確實(shí)有兩條。

課堂的例題分析、講解是結(jié)束了，在課后回顧這道例題的時(shí)候，突然想到是否對(duì)任意的一條三次曲線(xiàn)，過(guò)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)都是有兩條切線(xiàn)嗎？

對(duì)于三次函數(shù)過(guò)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)作切線(xiàn)，切線(xiàn)的情形如何？

因?yàn)橐渣c(diǎn)P為切點(diǎn)的切線(xiàn)一定存在，切點(diǎn)不是點(diǎn)P的切線(xiàn)是否一定存在？

假設(shè)切點(diǎn)由點(diǎn)Q在曲線(xiàn)上，

得：

又，點(diǎn)Q在切線(xiàn)上，切線(xiàn)PQ的斜率

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：

所以，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，過(guò)點(diǎn)P有且只有一條切線(xiàn)；

當(dāng)?≠0，即時(shí)，過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)有兩條，切點(diǎn)分別是點(diǎn)P和點(diǎn)Q。

所以，如果，過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)有且只有一條，否則有兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別是點(diǎn)P和點(diǎn)Q。另一方面，正好也是的對(duì)稱(chēng)軸，這樣進(jìn)行判斷時(shí)就很容易了。

有什么特別的意義嗎？

我們知道是以為中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形嗎？其對(duì)稱(chēng)中心又是什么呢？

設(shè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為

按向量將函數(shù)的圖像平移，則所得函數(shù)是奇函數(shù)。

所以

化簡(jiǎn)得：

上式對(duì)恒成立，有

以上證明告訴我們：函數(shù)是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心為：

，該點(diǎn)在其導(dǎo)函數(shù)：

的對(duì)稱(chēng)軸上。

從對(duì)這道例題的反思中讓我更加體會(huì)到了教學(xué)的樂(lè)趣，一天的課下來(lái)，在無(wú)人的時(shí)候，翻著自己的教案，重溫課上的每一個(gè)細(xì)節(jié)，什么地方精彩，什么地方失敗，哪一句話(huà)引起了學(xué)生的共鳴，什么地方調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，再對(duì)教案進(jìn)行更進(jìn)一步的修改，同時(shí)記錄下課上的一些突發(fā)奇想，某個(gè)靈感或突然間悟到的一種更好的調(diào)控課堂的方法，與學(xué)生溝通的方式等。時(shí)間一長(zhǎng)，就發(fā)現(xiàn)自己對(duì)這些看似雞毛蒜皮的課堂細(xì)節(jié)的總結(jié)，在不知不覺(jué)中形成了自己獨(dú)特的教學(xué)風(fēng)格。但細(xì)節(jié)每堂都有，總結(jié)每天進(jìn)行，收獲樂(lè)趣多多。