黃汝平

（福建省龍巖市高級中學(xué) 福建龍巖 364000）

本專題是在學(xué)習(xí)了直線與方程、圓與方程以及圓錐曲線與方程的基礎(chǔ)上，對解析幾何初步內(nèi)容進一步深化。學(xué)習(xí)坐標(biāo)系與參數(shù)方程，有助于學(xué)生體會解決問題中數(shù)學(xué)方法的靈活多變。本專題的教育價值，從以下幾個方面得到體現(xiàn)：

一、重視與學(xué)科內(nèi)之間聯(lián)系

從縱向看，直線、圓、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識、基本方法和基本技能發(fā)揮著重要作用。比如直角坐標(biāo)系中，用數(shù)組表示點的坐標(biāo)，用表示曲線的方程。在極坐標(biāo)系中用數(shù)組表示點的坐標(biāo)，用表示曲線的方程等等，揭示新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系。從橫向看，此分支與數(shù)學(xué)科的其它分支的知識進行交匯。如與三角函數(shù)、平面向量、函數(shù)等知識交匯。如極坐標(biāo)（方程）與直角坐標(biāo)（方程）的互化公式利用了三角函數(shù)定義揭示點的橫、縱坐標(biāo)與的關(guān)系。又如將橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，應(yīng)用了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。在互化過程中，還應(yīng)用了代入法、平方消元法、加減消元法等數(shù)學(xué)方法。

二、重視數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法在本專題中應(yīng)用廣泛。① 引導(dǎo)學(xué)生運用類比的思想、如極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系類比能更好地理解極坐標(biāo)定義，為正確進行直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化提供保證。又如求簡單的曲線的極坐標(biāo)方程；② 考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程的思想：如求圓心的極坐標(biāo)為，半徑為的圓的方程；③ 化歸與轉(zhuǎn)化思想：如畫出方程的圖像，這問題情景是陌生的，就要引導(dǎo)學(xué)生將陌生問題化為熟悉的問題即將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；④ 有限與無限思想：如極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)比較有許多長處，它也有不足，平面上的點對應(yīng)的極坐標(biāo)卻有無數(shù)個。如果ρ＞0，0≤θ＜2π或－π＜θ≤ π，那么除極點外，平面內(nèi)的點和極坐標(biāo)就可以一一對應(yīng)了。注意：如無特別要求，通常取ρ≥0 ，數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，因此，在平時教學(xué)中要意識進行地滲透 ，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中得到潛移默化。

三、重視數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)

新課程改革非常突出能力培養(yǎng)，本專題也不例外，學(xué)生通過學(xué)習(xí)，了解曲線的多種表現(xiàn)形式，體會從實際問題抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)探究數(shù)學(xué)問題的興趣和能力。1。抽象概括能力:如學(xué)習(xí)參數(shù)方程時，教材從拋物運動談起，從物理現(xiàn)象抽象出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；2。運算求解能力和推理論證能力：教材P12 例2題目的表面意義求曲線的直角坐標(biāo)方程。當(dāng)求出了曲線的普通方程后，進一步探究曲線的類型，運用了分類與整合的思想，對進行討論，得出了當(dāng)是橢圓、拋物線與雙曲線這三種圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程。這道題信息量很大，除了考查了分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化，特殊與一般等數(shù)學(xué)思想外，培養(yǎng)學(xué)生運算求解能力、推理論證能力和抽象概括能力，最想說明的是極坐標(biāo)方程表示曲線的簡潔。取不同的值時，表示不同的曲線（橢圓、拋物線和雙曲線）。最后下了極其耀眼的結(jié)論：

四、重視跨學(xué)科之間聯(lián)系和應(yīng)用意識

比較典型的教材引用了物理的斜拋運動和平拋運動的兩個實際問題來說明參數(shù)是聯(lián)系之間關(guān)系的中介變量，由于例子的背景是學(xué)生所熟悉的，體現(xiàn)了化歸問題的簡單原則，對于我們的教學(xué)有借鑒作用的。數(shù)學(xué)與物理的聯(lián)系是緊密的，類似于數(shù)與形的關(guān)系。如圓的參數(shù)方程若寫成為參數(shù)，ω為角速度），

則具有物理意義。又如直線的參數(shù)方程

其中的物理意義就是位移，在數(shù)學(xué)中稱為數(shù)量。在物理學(xué)中，位移是矢量，它是具有大小，又有方向的。這樣解釋學(xué)生對的幾何意義也就不難理解。再如物理學(xué)科中簡諧振動的圖象中研究振動質(zhì)點的速度，從數(shù)學(xué)實質(zhì)看就是研究過曲線上的點的切線的斜率變化，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合能很直觀地分析出振動質(zhì)點的速度變化情況。數(shù)學(xué)是物理的工具，物理促進數(shù)學(xué)的發(fā)展。啟發(fā)學(xué)生對這類問題可從物理、數(shù)學(xué)不同的角度去分析。

五、重視極坐標(biāo)法和參數(shù)法的工具性作用

1.實際應(yīng)用：學(xué)生的學(xué)習(xí)用品中直尺用來畫直線、圓規(guī)用來畫圓，那要畫橢圓呢?有這工具嗎?教材介紹了橢圓規(guī)的工具制作，若對其原理進行分析，導(dǎo)入了參數(shù)的選取問題?？稍鰪妼W(xué)生解題參數(shù)意識。

2.解題方法：我們一般認(rèn)為，三角函數(shù)、平面向量是數(shù)學(xué)解題工具，那么學(xué)習(xí)了極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程，極坐標(biāo)法和參數(shù)法也可作為工具。在求平面上的動點的軌跡方程便能體現(xiàn)它們的優(yōu)越性。

題目: 已知定點及定直線是上的動點，且滿足求直線與的交點的軌跡方程。

分析：觀察圖形，由于點M的軌跡與直線PF（QF）的運動有關(guān)，可考慮選PF的斜率為參數(shù)；若注意到M的軌跡又取決于P、Q，故又可以考慮P、Q的坐標(biāo)為參數(shù)。

評析： 許多軌跡問題都與直線的運動或點的運動有關(guān)。因此直線的斜率與動點坐標(biāo)是使用得最多的參數(shù)之一。

六、數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)美

本專題作為選修教材，其中大量體現(xiàn)著數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)美，我們看看教材中列舉了美麗曲線種種。如擺線、卡丹轉(zhuǎn)盤和齒輪、葉形線、對數(shù)螺線、玫瑰線（如圖，用幾何畫板作）等等，無不體現(xiàn)著數(shù)學(xué)美，應(yīng)讓學(xué)生好好地去欣賞，去思考這些充滿美感的曲線怎么畫的?在感受數(shù)學(xué)的曲線美的同時，別忘了三位數(shù)學(xué)家：阿基米德、卡丹和帕斯卡。在幾何學(xué)上，卡丹發(fā)明了畫橢圓的“卡丹轉(zhuǎn)盤”，是研究擺線的第一人；帕斯卡系統(tǒng)研究擺線，寫出三本關(guān)于擺線的著作；阿基米德是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，是發(fā)現(xiàn)且證明圓面積公式與球體積的第一人，其名著《論螺線》論述阿基米德螺母和空間等進螺線的性質(zhì)。這些數(shù)學(xué)家取得偉大的成就，為真理而孜孜以求的奮斗精神，以及對美和善的崇高追求，不就是培養(yǎng)學(xué)生良好的情感態(tài)度和價值觀的典范。

七、信息技術(shù)應(yīng)用

利用現(xiàn)代學(xué)習(xí)工具，促進學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動：猜想論證，探索與推理，問題的提出與分析解決，計算與檢驗等，可加深對數(shù)學(xué)概念、思想方法的理解，培養(yǎng)分析問題與解決問題的能力。如在學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的伸縮變換時可借助幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生觀察動點變化規(guī)律，猜想其軌跡，然后再進行論證。這樣設(shè)計激發(fā)了學(xué)生的好奇心，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。