(西安歐亞學(xué)院 陜西西安 710065)
期望效用函數(shù)理論(Expected Utility Theory)是20世紀(jì)50年代,馮·諾依曼和摩根斯坦(Von Neumann and Morgenstern)在公理化假設(shè)的基礎(chǔ)上,運(yùn)用邏輯和數(shù)學(xué)工具,建立了不確定條件下對(duì)理性人(rational actor)選擇進(jìn)行分析的框架。2 0 世紀(jì)中期誕生的期望效用理論(簡(jiǎn)稱EU理論)將效用的分析從確定性條件或環(huán)境帶入了不確定性條件或環(huán)境,成為了人們?cè)诓淮_定性條件或環(huán)境下的決策依據(jù)。[1]
如果某個(gè)隨機(jī)變量X以概率Pi取值Xi,i=1,2,...,n,如果確定地得到Xi時(shí)的效用為u(Xi),那么,該隨機(jī)變量給他的效用便是:
其中,E[u(X)]表示關(guān)于隨機(jī)變量X的期望效用。因此U(X)稱為期望效用函數(shù),又叫做馮·諾依曼—摩根斯坦效用函數(shù)(VNM函數(shù))。概率的效用函數(shù)表達(dá)式叫期望效用函數(shù)。
期望效用理論描述理性人在風(fēng)險(xiǎn)或不確定性環(huán)境下的消費(fèi)( 投資)選擇。若一個(gè)決策是在風(fēng)險(xiǎn)下做出的則意味著決策者能夠列出該決策可能產(chǎn)生的所有后果及其相對(duì)應(yīng)的可能性( 概率),風(fēng)險(xiǎn)意味著決策者對(duì)于決策結(jié)果的概率分布是已知的。
如果u(w)為一連續(xù)且二階可導(dǎo)的 V N M 效用函數(shù)
為投資者在財(cái)富水平為w 時(shí)的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù);
為投資者在財(cái)富水平為w 時(shí)的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)。
常見的效用函數(shù)有以下幾種:
1.負(fù)指數(shù)效用函數(shù)u(w)=-exp(-rAw )
3.冪指數(shù)效用函數(shù)u(w)=-exp(-βwα),α<0,α β>0
4.對(duì)數(shù)效用函數(shù)u( w)=ln(w )
6.雙曲線效用函數(shù)
利用期望效用理論解決投資決策問(wèn)題,主要解決的是資產(chǎn)配置問(wèn)題和收益最大化問(wèn)題,通過(guò)決策優(yōu)化得到預(yù)期收益。所以,作為現(xiàn)代資產(chǎn)定價(jià)理論的基石,依據(jù)EU理論建立的投資模型,在投資組合優(yōu)化中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。
在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究和金融投資領(lǐng)域,投資者追求的是自身的期望效用最大化。所以,做出最優(yōu)資產(chǎn)組合,決策的關(guān)鍵是要設(shè)計(jì)一個(gè)投資比例,使其保證投資者的期望效用最大化。[2]
假如有一投資者,其投資風(fēng)險(xiǎn)行為符合對(duì)數(shù)效用函數(shù),其擁有初始財(cái)富值為100000人民幣。假定他選擇兩種投資產(chǎn)品,產(chǎn)品一投資x 元(產(chǎn)品一為風(fēng)險(xiǎn)型投資產(chǎn)品,比如股票),剩余資金投資產(chǎn)品二(為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的固定收益投資產(chǎn)品,比如國(guó)債),并獲5% 的年化收益率。[3]
現(xiàn)考慮風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品的單期損益情形:
情形一:
投資者的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值在一年后會(huì)增值5 0%,即變?yōu)?1.5x ;
情形二:
投資者的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值在一年后會(huì)損失30%,即變?yōu)?0 . 7x 。
在上述兩種情形下投資者一年后的財(cái)富分別為
投資者詁計(jì)情形一發(fā)生的概率為0.6,情形二發(fā)生的概率為0.4
可以得出期望效用函數(shù)
要使該投資者風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資份額 x 效用最大化,對(duì)上式一階求導(dǎo)并令其等于0,則有
可得x≈86666.7
得到相應(yīng)的期望效用E[u(x)]=11.56
這樣投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品一,投份額為86666.7元,就可以得到效用最大化的收益。
該理論的應(yīng)用前提是投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的損益要有量化估計(jì),要對(duì)產(chǎn)品損益情況發(fā)生的概率有所估計(jì),這本身是一件難事。所以該理論的應(yīng)用具有一定得局限性。
[1]宋立軍楊永愉基于效用函數(shù)的投資組合[J].北京化工大學(xué)學(xué)報(bào),2008,35(2):110-112.
[2]馮素芬效用函數(shù)在金融學(xué)中的應(yīng)用[J].北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2010,9(1):119-121.
[3]陳凱黃滋才基于期望效用與前景理論的行為決策精算定價(jià)模型[J].保險(xiǎn)研究2017(J):56-67