（北京理工大學(xué)珠海學(xué)院 廣東珠海 519088）

引言

許多微積分[1]～[5]教材只給出了繞x軸或繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積，這具有局限性。本文研究了繞任意直線y=kx+b和繞極軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積，推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)體積公式。

一、直角坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)體體積

定理1：光滑曲線段y=f(x),x1≤x≤x2繞直線y=kx+b旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積為：

特別地，當(dāng)k= 0 ,b=0時(shí)，

證明：光滑曲線段任意一點(diǎn)(x,f(x))到直線y=kx+b的距離為：

即為旋轉(zhuǎn)曲面橫截面的旋轉(zhuǎn)半徑，橫截面元素的高：

其中θ為該直線的傾斜角。該旋轉(zhuǎn)曲面對(duì)應(yīng)的元素體積為

例1 求y=x2與y=x+2圍成的圖形繞直線y=x+2旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積

解：y=x2與y=x+2的交點(diǎn)是(-1,1),(2,4)，由定理1可知，所求旋轉(zhuǎn)體體積

例2[1]求y=x2與y=x+2圍成的圖形繞直線x=3旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積

解：方法一：

y=x2與y=x+2的交點(diǎn)為(-1,1),(2,4)，取典型區(qū)間[x,x+dx]，則其對(duì)應(yīng)元素體積可看作長(zhǎng)為2π(x+ 2 -x2)，寬為3 -x，高為dx的長(zhǎng)方體，由此對(duì)應(yīng)元素體積為dV= 2π(x+ 2 -x2) (3 -x)dx；故

方法二：

y=x2與y=x+2的交點(diǎn)是(-1,1),(2,4)，取典型區(qū)間[y,y+dy]，則當(dāng)0≤y≤1時(shí)，對(duì)應(yīng)體積元素為

當(dāng)1≤y≤4時(shí)，對(duì)應(yīng)體積元素為

故

二、極坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)體體積

定理2：光滑曲線段r=r(θ) ≥ 0 ,0≤α≤θ≤β繞極軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積為

證明：記在[α, θ]的曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為V(θ)，則：

故體積元素

例3 求心形線r=a( 1 - c o sθ) ,0 ≤θ≤π繞極軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積

例4 求伯努利雙紐線r2=a2c os2θ, 0 ≤θ≤π繞極軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積。

解：由定理2得

[1]賈曉峰,孫洪波,賈云濤.微積分與數(shù)學(xué)模型(第三版)[M].高等教育出版社,2015.9.

[2]韓云瑞，扈志明.微積分教程[M].清華大學(xué)出版社,1999.9.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第7版)[M].北京:高等教育出版社,2014.7

[4]GerogeBThomas.Thomas’Calculus.(11thEdition).PearsonEducation,2004.

[5]JamesStewart.Calculus(8thEdition).McMasterUniversityandUniv ersityofToronto,2015.