江蘇省蘇州市吳中區(qū)木瀆金山高級中學(xué) 顧維維

回顧課程修訂的變化歷程，由“知識課程體系”到“能力課程體系”以及通過這幾年的不斷探索嘗試，再到現(xiàn)在的“素養(yǎng)為立意的課程體系”。課程的修訂是要結(jié)合各學(xué)科實際，將核心素養(yǎng)的踐行落實到各個學(xué)科，怎樣將這樣一個整體的教育思想落實到數(shù)學(xué)這門學(xué)科上，怎樣將這一思想滲透到日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，是每個一線教育工作者亟待解決的問題，以下就圍繞這一話題提出筆者的一些具體想法。

一、核心素養(yǎng)概念的界定

素養(yǎng)，可以理解為素質(zhì)與修養(yǎng)的結(jié)合，是指在先天的基礎(chǔ)上通過后天環(huán)境影響和教育訓(xùn)練所獲得的內(nèi)在的穩(wěn)定的身心特征及品質(zhì)結(jié)構(gòu)，是對知識、行為習(xí)慣、能力等人格特征的綜合反映。核心素養(yǎng)從字面可理解為“關(guān)鍵的”“必要的”“基本的”“重要的”，居于核心地位的素養(yǎng)。綜合世界各國和地區(qū)對核心素養(yǎng)概念的界定，同時考慮到不同學(xué)科的角度對核心素養(yǎng)的研究以及我國的現(xiàn)實需求和教育實際，林崇德教授對核心素養(yǎng)作了如下界定：核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過程中，逐步形成的適應(yīng)個人終生發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力。它是關(guān)于學(xué)生知識、技能、情感、態(tài)度及價值觀等多方面要求的結(jié)合體。

具體到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，王尚志、史寧中等專家根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)及教育部研制的學(xué)生學(xué)習(xí)計劃，并結(jié)合學(xué)生認(rèn)知和發(fā)展特點及學(xué)科特點，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作了如下界定：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是適應(yīng)個人終身發(fā)展及社會發(fā)展需求的具有數(shù)學(xué)基本特征的關(guān)鍵能力和必備品格。對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以從以下幾個方面來理解：

第一，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是基于數(shù)學(xué)知識和技能又高于具體的數(shù)學(xué)知識和技能，不是具體的知識技能，也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力。

第二，它可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合能力。

第三，反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在學(xué)習(xí)過程中形成的，具有綜合性、階段性和持久性。

具體概括起來包括六個方面：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。

二、數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是指摒棄所研究對象的所有物理屬性，得到的數(shù)學(xué)研究對象的思維過程。對研究對象進(jìn)行分析、比較、歸納總結(jié)提煉出“共性”或“本質(zhì)屬性”，舍去非本質(zhì)屬性，由感性認(rèn)識轉(zhuǎn)變成抽象的規(guī)定，即用專業(yè)符號、術(shù)語或圖形來表示。

比如數(shù)學(xué)概念的形成過程就是一個典型的數(shù)學(xué)抽象過程，以橢圓的概念為例，創(chuàng)設(shè)以下抽象思維過程：

1.回顧圓的概念。

2.若將圓定義中的“一個定點”改為“兩個定點”，那么得到的點集又是什么？

3.利用提前準(zhǔn)備好的材料（兩個圖釘和一根細(xì)繩），學(xué)生分組動手完成這個實驗，讓學(xué)生有個感性認(rèn)識。

4.教師通過幾何畫板不斷改變動點到定點的距離，讓學(xué)生觀察數(shù)據(jù)有何規(guī)律，這是一個直觀理性感受的過程。

5.能用數(shù)學(xué)式子概括上述規(guī)律嗎？試著用數(shù)學(xué)語言抽象概括，在學(xué)生概括的基礎(chǔ)之上，給出抽象定義。

6.思維再抽象：不斷改變繩長或者兩圖釘之間的距離，得到的動點的軌跡是否一定是橢圓？

學(xué)生在上述問題的引導(dǎo)下進(jìn)行自主觀察、分析、比較、總結(jié)概括，整個過程是學(xué)生自主完成的，由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識進(jìn)而抽象出橢圓概念的本質(zhì)屬性的整個過程事實上就是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象這種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提高的過程。

類似的，以橢圓概念為類比對象，通過展示“拉鏈”動畫，同樣讓學(xué)生抽象概括出雙曲線的定義，前面橢圓作了鋪墊，對于雙曲線定義的抽象概括就會容易一些，讓學(xué)生再次領(lǐng)會這種數(shù)學(xué)抽象思維過程。

我們都知道，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中是重中之重，而數(shù)學(xué)概念的抽象過程又是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象這種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的絕佳“機(jī)會”，因此概念教學(xué)不能“直講”概念，只要教師在教學(xué)中給予足夠重視，采取以學(xué)生為主的自主探究方式，逐步滲透，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象就能在學(xué)習(xí)中得到培養(yǎng)，并為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果除了可以用數(shù)學(xué)術(shù)語表示以外，還可以用圖形或符號表示，比如糖水問題：從含有a克糖的b克糖水中加入c克糖，糖水變甜，其中從數(shù)學(xué)的角度解釋這一現(xiàn)象可以用一個不等式表示：

這也是一個簡單的數(shù)學(xué)建模過程，對于上述現(xiàn)象，也可以用圖形語言表示，如下圖所示：

又如立體幾何，首先以實際背景為依托給出三個公理并用數(shù)學(xué)符號表示，再以此為基礎(chǔ)推出線與線、線與面、面與面的位置關(guān)系，并給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號表示，建立了數(shù)學(xué)符號體系，進(jìn)而推出線面和面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，建立了一套統(tǒng)一性、完整性、整體性的數(shù)學(xué)知識和思想體系。在具體課堂中，可以很自然、很有條理地進(jìn)行教學(xué)調(diào)控和滲透，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。

三、直觀想象

直觀想象指的是依據(jù)空間想象和幾何直觀來感知事物的變化或形態(tài)，利用數(shù)學(xué)語言分析并解決數(shù)學(xué)問題的過程。具體包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化；利用數(shù)學(xué)語言分析數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，并構(gòu)建相應(yīng)的直觀模型，探索解決問題的思路。

下面從平面幾何和立體幾何兩方面各取一個實例來說明這一概念及如何逐步滲透在課堂中。

例1 已知直線l：圓C：（x-2）2+（y-1）2=1，p是l上一動點，Q是圓C上一動點，求PQ的最小值和最大值。

解析：在同一直角坐標(biāo)系中作出該直線和圓，由題意可知線段PQ取得最值需要保證PQ所在的直線與直線l垂直，而滿足這一條件的線段有無數(shù)個，如何確定符合題意的P點和Q點？此時要有一定的教學(xué)等待，放慢教學(xué)的節(jié)奏，不能簡單給出結(jié)果，要給學(xué)生留有足夠的時間，適當(dāng)引導(dǎo)，充分發(fā)揮學(xué)生的直觀想象。在這樣一個過程中，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：過圓心C向直線l作垂線，垂足即為所求的P點，與圓的交點即為所求的Q點，不妨設(shè)圓心C到直線的距離為d,那么有：

擴(kuò)展：設(shè)P,Q分別是圓C：和橢圓上的兩動點，求PQ長的最大值。解析：由題意作出相應(yīng)圖形，如下圖所示：那么學(xué)生根據(jù)上題的解題經(jīng)驗，結(jié)合具體圖形，發(fā)揮直觀想象，教師再適當(dāng)適時引導(dǎo)一下，便可得到PQ長度的最大值可轉(zhuǎn)化為圓心C到動點Q的距離的最大值加上圓C半徑，即求兩動點間的最大值轉(zhuǎn)化為一定點到一動點距離的最大值，那么這樣一來，本題的關(guān)鍵就已解決，剩下的步驟可根據(jù)Q在橢圓上，設(shè)參數(shù)坐標(biāo)解決。

例2 用膠水可以將若干個完全相同的小立方體作出積木模型。

嘗試1：需要多少個小立方體才能作出如圖所示的積木模型？

嘗試2：想用比實際少的小立方體來作出如圖所示的積木模型，可以用膠水黏出一個外部相同但內(nèi)部是中空的模型，需要多少個小立方體？

嘗試3：現(xiàn)在想做一個6個小正方體長，5個小正方體寬，4個小立方高的積木模型。假如用最少的小立方體，并在內(nèi)部留出可能最大的空心空間，最少需要幾個小立方體？

解析：本題的原型是一道(國際學(xué)生評估項目)數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試題，在學(xué)習(xí)立體幾何初，此題就可以應(yīng)用到我們的課堂上，它是一個實際問題，不通過實際動手做模型也可以很好解決，在課堂上，教師只需用PPT展示這樣一個3階立體圖形，這個像魔方一樣的積木模型首先會引起學(xué)生的研究興趣，通過逐步深入分析，學(xué)生借助空間想象和基本立體理論知識建立了形與數(shù)的聯(lián)系，最終可以很自然地解決這樣一個問題。

“直觀想象”素養(yǎng)的培養(yǎng)往往是教學(xué)中最容易忽視的。比如有些教師在處理一些作業(yè)或例題時，認(rèn)為某些結(jié)果是很自然的，就忽視了學(xué)生的感受，學(xué)生并不是“很自然”，那么由這樣一個“不自然”到“很自然”的過程就是“直觀想象”這種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的過程。

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個逐步的長期的過程，教師應(yīng)堅守這一過程并重視起來，首先應(yīng)重視自身數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，學(xué)習(xí)新的教學(xué)知識和教學(xué)理念，為學(xué)生創(chuàng)造良好的教育環(huán)境；其次是重視學(xué)生，尤其在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時，要敢于創(chuàng)新，不妨精心選取或設(shè)計一些合適案例，采取以學(xué)生為主、全程參與的探究方式開展教學(xué)，聚焦核心問題，深入探討。在教學(xué)中通過這種逐步滲透的方式，便能在一定程度上取得逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的效果。