周永興

(江蘇省前黃高級(jí)中學(xué) 213161)

一、問題提出

圖1 圖2

二、教材探源

問題3 (蘇教版教材必修四89頁第12題)求證：

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)，如何構(gòu)造一個(gè)圖形解釋這個(gè)公式的幾何意義？

證明只研究a,b不共線的情形.

這表明，平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.

向量是連結(jié)代數(shù)和幾何的橋梁，極化恒等式源于教材又高于教材，它起源于高等數(shù)學(xué)中的泛函分析，它的巧妙之處在于建立了向量和幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)了向量與幾何、代數(shù)的有機(jī)結(jié)合，在解決與數(shù)量積有關(guān)的問題,特別是共起點(diǎn)的向量數(shù)量積的最值問題中有著獨(dú)特的作用，也越來越受到命題老師的青睞.

三、解決問題1和問題2

問題1解設(shè)BD=a，AD=3b則FD=b，由極化恒等式，

圖3

四、教材相關(guān)題

問題4 (蘇教版教材選修2-1 64頁習(xí)題2.6(2)第1題)已知線段AB長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離的平方和為10，求點(diǎn)M的軌跡方程.

簡(jiǎn)證設(shè)線段AB的中點(diǎn)為C.

問題5 (蘇教版教材必修四98頁第20題)設(shè)a,b,c都是單位向量，且a·b=0，求(c-a)·(c-b)的最小值.

圖4

參考文獻(xiàn)：

[1]田鵬.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修5[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社,2012.