陳 濤，崔岳寒，郭立民

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

0 引 言

陣列信號(hào)處理是信號(hào)處理的一個(gè)重要分支，著重于空間傳輸波攜帶信號(hào)的獲取、處理和傳輸，即對(duì)空間分布的組傳感器接收的空間傳輸波信號(hào)進(jìn)行處理以提取信息。

波達(dá)方向(Direction of arrival，DOA)估計(jì)作為陣列信號(hào)處理中的關(guān)鍵問(wèn)題，主要研究如何從背景噪聲中估計(jì)信號(hào)的到達(dá)角信息[1]。這個(gè)領(lǐng)域的研究經(jīng)歷了幾十年的發(fā)展，已經(jīng)形成了比較系統(tǒng)的理論體系[2]。DOA估計(jì)技術(shù)在雷達(dá)、聲吶、地質(zhì)開(kāi)發(fā)、微波無(wú)線電通訊、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用，并取得了很大發(fā)展[3]。由于子空間算法,如MUSIC(Multiple signal classification)等可以突破瑞利極限，實(shí)現(xiàn)超分辨，所以近年來(lái)涌現(xiàn)出很多新型的基于子空間的測(cè)向算法[4，5]。

短快拍測(cè)向算法的研究主要針對(duì)軍事和衛(wèi)星通信，在陣列接收數(shù)據(jù)有限、目標(biāo)高速運(yùn)動(dòng)的前提下，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的實(shí)時(shí)處理，并具有較高的DOA估計(jì)精度，可為高速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的定位和跟蹤提供技術(shù)支持[6，7]。單快拍類(lèi)測(cè)向算法因其快拍數(shù)達(dá)到了短快拍的極限，屬于短快拍測(cè)向算法中的特殊情況，而被單獨(dú)歸為一類(lèi)進(jìn)行研究，近年來(lái)很多專家學(xué)者將研究的目光鎖向少快拍甚至單快拍下的陣列信號(hào)處理[8，9]。

DOA估計(jì)算法以高分辨MUSIC算法和ESPRIT算法為代表[10]。MUSIC算法中，通常先得到協(xié)方差矩陣，對(duì)其進(jìn)行特征分解和奇異值分解后得到噪聲子空間，然后利用導(dǎo)向矢量與噪聲子空間的正交性對(duì)信號(hào)入射方向進(jìn)行估計(jì)[1]?；趨f(xié)方差矩陣MUSIC算法的漸近性能接近克拉美-羅界[11，12]，但無(wú)法有效地應(yīng)用于單快拍情況[13，14]。

本文分析了經(jīng)典MUSIC算法不適用于單快拍的原因，并對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種適用于單快拍的MUSIC改進(jìn)(Improved-single-snapshot MUSIC，ISS-MUSIC)算法。該方法將偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造法與共軛增強(qiáng)法相結(jié)合，適用于單快拍，且性能優(yōu)于未進(jìn)行共軛增強(qiáng)的基于偽協(xié)方差矩陣單快拍MUSIC算法。

1 信號(hào)模型

假設(shè)K個(gè)同頻不相關(guān)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到由M個(gè)全向陣元組成的均勻線陣上，信號(hào)數(shù)K已知或已經(jīng)估計(jì)得到，于是陣列輸出矢量為[1]：

x(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T=As(t)+n(t)

(1)

式中：信號(hào)矢量s(t)=[s1(t),s2(t),…,sk(t)]T；噪聲矢量n(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T；導(dǎo)向矢量A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θk)]，a(θi)=[1,e-jφ1,…,e-j(M-1)φi]T，φi=2πdsin(θi)/λ，θi為第i個(gè)信號(hào)的入射角度，λ為信號(hào)波長(zhǎng)。

2 適用于單快拍的ISS-MUSIC算法

2.1 經(jīng)典MUSIC算法不適用于單快拍的原因

在第1節(jié)的基礎(chǔ)之上，得到陣列輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為：

(2)

對(duì)R進(jìn)行特征分解，有：

(3)

信號(hào)子空間和噪聲子空間是正交的，而信號(hào)波達(dá)方向上的陣列導(dǎo)向矢量在信號(hào)子空間內(nèi)，所以其與噪聲子空間是正交的，于是MUSIC算法通過(guò)搜索下列的極大值點(diǎn)來(lái)估計(jì)信號(hào)DOA[15]：

(4)

實(shí)際應(yīng)用中，只能得到協(xié)方差矩陣R的估計(jì)值R′(稱為采樣協(xié)方差矩陣)，通常?。?/p>

(5)

式中：L為快拍數(shù)。

對(duì)R′進(jìn)行特征分解后可得噪聲子空間的估計(jì)值G′，此時(shí)搜索下列的極大值點(diǎn)來(lái)估計(jì)信號(hào)DOA：

(6)

如果只有一個(gè)快拍可用，由式(5)可知，采樣協(xié)方差矩陣的秩為1，而信號(hào)子空間的秩是大于信號(hào)數(shù)的，此時(shí)利用R′的特征分解無(wú)法區(qū)分出信號(hào)子空間和噪聲子空間，因此經(jīng)典MUSIC算法不適用于單快拍[16]。

2.2 偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法

矩陣Y的元素Y(p,q)可表示為：

exp{-j[φω+(q-1)Δφω]}dnω

(7)

式中:dnw為矩陣D的元素。

其中，矩陣中的可利用信息可表示為如下形式：

(8)

當(dāng)矩陣D為對(duì)角陣時(shí)，式(7)可表示為：

(9)

由式(8)可知，M個(gè)陣列接收信號(hào)的相位是位于[φn,φn+(M-1)Δφn]范圍內(nèi)的等差數(shù)列，可表示的相位范圍為(M-1)Δφn，固定相位φn的取值與相位參考點(diǎn)的選擇有關(guān)。這就是構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣時(shí)可用的信息。

(10)

式(10)的相位是位于[-φn,-φn-(M-1)Δφn]范圍內(nèi)的等差數(shù)列，這相當(dāng)于增加了可利用的信息量。

基于以上理論，令L=M、φn=0、dnn=sn并代入式(9)，此時(shí)偽協(xié)方差矩陣可表示為[17]：

(11)

2.3 共軛增強(qiáng)法

為進(jìn)一步提高算法性能，充分利用陣列輸出數(shù)據(jù)的共軛信息，在式(11)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造以下偽協(xié)方差矩陣[18]：

Y′=[Y,JY*J]

(12)

式中：J為交換矩陣，其反對(duì)角線元素為1，其他元素為0。

由式(12)可知，此方法將M×M維偽協(xié)方差矩陣拓展為M×2M維。

對(duì)拓展的偽協(xié)方差矩陣進(jìn)行二階積累，公式如下[16]：

(13)

2.4 ISS-MUSIC算法的步驟

綜上所述，將2.2節(jié)與2.3節(jié)提出的方法進(jìn)行合并為ISS-MUSIC算法，其步驟如下：

步驟1 利用式(11)得到偽協(xié)方差矩陣Y。

步驟2 利用式(12)得到共軛增強(qiáng)后的偽協(xié)方差矩陣Y′。

步驟3 求偽協(xié)方差矩陣的二階積累：

步驟5 搜索譜函數(shù):

的極大值點(diǎn)確定信號(hào)入射方向。

3 仿真試驗(yàn)及性能分析

3.1 ISS-MUSIC算法分辨能力

仿真條件：均勻線陣的陣元數(shù)為8；陣元間距為半波長(zhǎng)；快拍數(shù)為1；信噪比為10 dB；入射角分別在0°～10°和50°～60°隨機(jī)產(chǎn)生。ISS-MUSIC算法的空間譜圖如圖1所示，圖中的兩條豎線為原入射角度。由圖1可知，ISS-MUSIC算法具有較好的信號(hào)分辨能力。

圖1 ISS-MUSIC的空間譜圖Fig.1 Space spectrum of ISS-MUSIC

3.2 測(cè)角精度比較

將ISS-MUSIC算法與未進(jìn)行共軛增強(qiáng)的基于偽協(xié)方差矩陣單快拍MUSIC算法進(jìn)行性能比較。仿真中，均勻線陣的陣元數(shù)為8；陣元間距為半波長(zhǎng)；快拍數(shù)為1；入射角在0°～90°隨機(jī)產(chǎn)生。兩種算法隨信噪比變化的測(cè)向精度如圖2所示。

由圖2可知，ISS-MUSIC算法的測(cè)向精度高于未進(jìn)行共軛增強(qiáng)的基于偽協(xié)方差矩陣單快拍MUSIC算法的測(cè)向精度。

圖2 測(cè)向精度Fig.2 Accuracy of DOA

4 結(jié)束語(yǔ)

提出了一種單快拍下的測(cè)向算法。該算法對(duì)經(jīng)典MUSIC測(cè)向算法進(jìn)行了改進(jìn)，將偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造法與共軛增強(qiáng)法相結(jié)合。仿真試驗(yàn)結(jié)果表明：ISS-MUSIC算法在單快拍的條件下有較好的信號(hào)分辨能力，且測(cè)向精度優(yōu)于未進(jìn)行共軛增強(qiáng)的基于偽協(xié)方差矩陣單快拍MUSIC算法。

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