張士濤，張 葆，李賢濤，王正璽，田大鵬

(1.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所, 長(zhǎng)春130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

0 引 言

快速反射鏡(Fast steer mirror, FSM)一般由音圈電機(jī)或壓電陶瓷作為致動(dòng)器，并配合一塊反射鏡組成[1]，具有慣性較小、易于安裝和控制、響應(yīng)速度快和定位精度高的優(yōu)點(diǎn)。目前，F(xiàn)SM作為安裝在目標(biāo)與接受器之間，用以控制光束方向的反射鏡裝置已廣泛地應(yīng)用在天文望遠(yuǎn)鏡、激光通信、圖像穩(wěn)定、復(fù)合軸精密跟蹤、瞄準(zhǔn)等光學(xué)系統(tǒng)中。

在航空光電偵查系統(tǒng)中[2]，F(xiàn)SM主要用來(lái)消除飛機(jī)飛行帶來(lái)的像移和抑制高頻擾動(dòng)。其中抑制高頻擾動(dòng)需要FSM具有較快的響應(yīng)速度、較高的響應(yīng)帶寬、較小的超調(diào)和相位滯后[3]。目前，通過(guò)傳統(tǒng)的PID控制可以在一定程度上達(dá)到提高帶寬和減小超調(diào)的目的，但是傳統(tǒng)PID控制器作為一種經(jīng)典的反饋控制器，無(wú)法滿足航空光電偵察系統(tǒng)對(duì)FSM的高帶寬、高精度和快速性的要求。

Tomizuka[4]提出的零相差軌跡控制(Zero phase error tracking control,ZPETC)方法是一種針對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡控制的前饋控制方法。這種控制方法建立在對(duì)被控對(duì)象精確建模的基礎(chǔ)上，基于零極點(diǎn)控制理論，通過(guò)在控制環(huán)路中加入前饋控制器達(dá)到消除零極點(diǎn)或者相位差并盡可能完美復(fù)現(xiàn)理想軌跡的目的[5-7]。在FSM的控制系統(tǒng)中引入ZPETC技術(shù)，可以起到減小相位延遲，降低控制系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間和抑制超調(diào)進(jìn)而提升控制系統(tǒng)性能的作用。

本文首先介紹了零相位誤差軌跡控制的基本原理。然后給出了被控對(duì)象的精確建模過(guò)程和零相差控制的仿真試驗(yàn)。最后進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明：相比于傳統(tǒng)PID控制，加入零相差控制器以后，快速反射鏡性能有明顯提升。

1 ZPETC原理

1.1 理想軌跡控制原理

ZPETC方法針對(duì)已有的閉環(huán)控制環(huán)路做了前饋矯正[8]，設(shè)被控的閉環(huán)控制環(huán)路為：

(1)

式中：z-d為閉環(huán)系統(tǒng)帶來(lái)的d階滯后；Bc(z-1)和Ac(z-1)可以分別表示成如下形式：

Bc(z-1)=bc0+bc1z-1+…+bcmz-m,bc0≠0

Ac(z-1)=1+ac1z-1+…+acnz-n

針對(duì)式(1)所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)，加入一個(gè)前饋控制器r(k)：

(2)

式中：yd(k+d)為d階的相位超前用以補(bǔ)償閉環(huán)系統(tǒng)引入的d階滯后。

設(shè)系統(tǒng)的輸入為yin(k)，輸出為yout(k)，則：

yout(k)=yin(k)r(k)Gclosed(z-1)

(3)

從式(3)可以看出：通過(guò)加入前饋控制器r(k)可以消除閉環(huán)控制系統(tǒng)中所有的零點(diǎn)和極點(diǎn)，使得系統(tǒng)的整體傳遞函數(shù)變成單位1。只要保證初始狀態(tài)為零，便可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出對(duì)輸入的完美復(fù)現(xiàn)，達(dá)到理想控制的效果。理想控制的控制結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 理想控制結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of perfect control structure

理想控制可以達(dá)到消除零點(diǎn)和極點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)完美輸出的目的，但是當(dāng)被控對(duì)象Gclosed(z-1)存在單位圓外的零點(diǎn)時(shí)，便不可以直接消除。因?yàn)槿绻苯酉豢貙?duì)象單位圓外的零點(diǎn)，會(huì)在控制器r(k)中引入單位圓外的極點(diǎn)，而單位圓上或者是單位圓外的極點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)震蕩或者不穩(wěn)定。針對(duì)這些不可以直接消除的零點(diǎn)，Tomizuka[4]提出了零相差軌跡控制方法。

1.2 零相差控制原理

針對(duì)閉環(huán)傳遞函數(shù)分子Bc(z-1)中部分零點(diǎn)不可以直接消除的情況，首先把Bc(z-1)分成兩個(gè)部分，具體表示為：

(4)

根據(jù)式(4)對(duì)Bc(z-1)的分解情況，利用r(k)前饋控制器把分子中位于單位圓外的零點(diǎn)消掉。r(k)的具體表達(dá)式為：

(5)

加入該前饋控制器之后，輸出與輸入之間的關(guān)系為：

yout(k)=r(k)Gclosed(z-1)yin(k)=

(6)

軌跡控制的誤差在頻率域可以分為幅度誤差和相位誤差。設(shè)輸入一個(gè)正弦函數(shù)為：

yin(k)=asin(ωTk),0≤ωT≤π

(7)

式中：a為輸入正弦函數(shù)的幅值；T為控制系統(tǒng)的抽樣時(shí)間。

經(jīng)過(guò)式(5)所示的前饋控制器和閉環(huán)系統(tǒng)之后的輸出響應(yīng)為：

yout(k)=aMsin(ωTk+φ)

(8)

式中：M、φ分別為控制系統(tǒng)所帶來(lái)的幅度增益和相位誤差。

把傳遞函數(shù)(式(6))從Z域變換到頻率域：

(9)

由式(8)(9)可以得出：

(10)

由于單位圓上和圓外的零點(diǎn)無(wú)法利用理想控制理論直接消除，而這些零點(diǎn)會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)M倍的幅度增益和φ度的相位誤差。在低頻段，上述兩個(gè)誤差值較小，影響不大，但是在高頻段，這些誤差會(huì)對(duì)控制系統(tǒng)的控制性能造成很大的影響。尤其是相位滯后，φ度的相位滯后量將導(dǎo)致φ/ω秒的時(shí)間滯后。因此在不能完全消除掉零點(diǎn)的情況下，可以盡量消掉零點(diǎn)所帶來(lái)的相位滯后量，對(duì)提高控制系統(tǒng)性能具有重要意義。

針對(duì)上述問(wèn)題，Tomizuka[4]提出了零相差控制方法。在式(5)所示的前饋控制器中加入不可消除零點(diǎn)的共軛，即：

(11)

此時(shí)，系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)變?yōu)椋?/p>

(12)

將其變換到頻域?yàn)椋?/p>

[Re(ω)-jIm(ω)][Re(ω)+jIm(ω)]=

Re(ω)2+Im(ω)2

(13)

式(12)表示的傳遞函數(shù)沒(méi)有虛數(shù)項(xiàng)，因此不會(huì)引入相位延遲，解決了不可直接消除零點(diǎn)會(huì)帶來(lái)相位滯后的問(wèn)題。零相差軌跡控制的控制結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 零相差控制的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic of ZPETC structure

2 被控對(duì)象建模及仿真結(jié)果分析

2.1 被控對(duì)象精確建模

通過(guò)之前的理論分析可以看出，零相差控制方法可以有效地抑制閉環(huán)控制系統(tǒng)的相位滯后，提高系統(tǒng)的控制性能。但是這種方法的實(shí)現(xiàn)是建立在精確建模的基礎(chǔ)之上的。如果建模不精確[9-11]，則零相差控制方法的效果將會(huì)大打折扣，甚至出現(xiàn)反作用。為了盡可能地保證零相差控制器的性能，本文采用白噪聲掃頻的方法對(duì)快速反射鏡進(jìn)行建模。

圖3為快速反射鏡通過(guò)白噪聲掃頻獲得的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。從圖3可以看出：在幅頻曲線中存在一個(gè)凸起，這是由快速反射鏡模型中二階諧振環(huán)節(jié)引起的。從圖3中可以看出：諧振頻率約為178 rad/s，峰值大小為-67.7 dB。相頻曲線的第1個(gè)相位下降點(diǎn)與幅頻曲線的諧振點(diǎn)幾乎重合，下降幅度為180 rad。另外相頻曲線在高頻段還有一個(gè)垂直下降階段,下降的幅度比較大，這部分是掃頻時(shí)出現(xiàn)的誤差，在建模的時(shí)候應(yīng)該舍去。

圖3 白噪聲掃頻圖Fig.3 Diagram of white noise sweep

利用Matlab中的Matlab System Idengification Toolbox工具箱結(jié)合上面的掃頻獲得數(shù)據(jù)對(duì)快速反射鏡進(jìn)行擬合建模，擬合出的快速反射鏡模型形式為：

(14)

式中：k、α、β為待定的模型參數(shù)，結(jié)合白噪聲掃頻獲得的數(shù)據(jù)可以初步確定參數(shù)。

通過(guò)Matlab System Idengification Toolbox工具箱擬合出的模型還是一個(gè)比較粗糙的模型，并不能很好地與掃頻獲得的響應(yīng)曲線相符。此時(shí)，在這個(gè)原始模型的基礎(chǔ)上手動(dòng)修改各個(gè)參數(shù)并讓其伯德圖盡可能地與掃頻曲線重合，達(dá)到精準(zhǔn)建模的目的。通過(guò)這種方法確定出3個(gè)參數(shù)分別為：k=0.5593，α=7.428，β=31500，并畫(huà)出其伯德圖如圖4所示。

圖4 快速反射鏡模型伯德圖Fig.4 Bode chart of FSM model

通過(guò)對(duì)比白噪聲掃頻獲得的頻響曲線和擬合出模型的頻響曲線可以看出：①兩幅圖的諧振頻率基本相同，分別為190和178 rad/s；②兩幅圖的諧振峰值分別為-66.4和-67.7 dB，基本相同；③兩幅圖的相位拐點(diǎn)分別為147.3 rad/s和149 rad/s，基本重合?？偟膩?lái)說(shuō)，本文模型基本上復(fù)現(xiàn)了快速反射鏡的性能曲線，可以作為后續(xù)控制器設(shè)計(jì)的模型依據(jù)。

2.2 仿真試驗(yàn)及結(jié)果分析

圖5為加入零相差前饋控制器的快速反射鏡控制結(jié)構(gòu)框圖。圖中后半部分是依據(jù)白噪聲掃頻方法建立的模型，以及根據(jù)模型設(shè)計(jì)的PID閉環(huán)控制器。前半部分則是根據(jù)閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)出的零相差前饋控制器。從圖5中可以看出：零相差前饋控制器包含兩個(gè)部分：①前饋控制器的被控對(duì)象中可以直接消除零極點(diǎn)的部分；②不可以直接消除零極點(diǎn)需要消除相位差的部分。將前饋控制器的輸出r(k)作為后續(xù)閉環(huán)控制的輸入，與反饋信號(hào)作差，并直接給到PI控制器。為了仿真?zhèn)鞲衅魉氲脑肼晫?duì)控制系統(tǒng)的影響，在反饋環(huán)路中加入了幅值為0.002的白噪聲。

圖5 快速反射鏡控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.5 FSM control block diagram

圖6和圖7分別為單純PID控制下和PID結(jié)合ZPETC下快速反射鏡的階躍響應(yīng)曲線。輸入的階躍信號(hào)的響應(yīng)時(shí)間為0 s、終值為0.08 s，擾動(dòng)幅值為0.002。通過(guò)對(duì)比兩幅圖可以獲得兩種控制策略的性能差異如表1所示。

圖6 單純PID控制下快速反射鏡的階躍響應(yīng)Fig.6 Step response of FSM under PI control

圖7 PID和ZPETC下快速反射鏡的階躍響應(yīng)Fig.7 Step response of FSM under ZPETC and PI contol

表1 PID控制和零相差控制的階躍響應(yīng)性能比較Table 1 Comparison of step response performance between PID control and ZPETC

結(jié)合圖6、圖7和表1可以看出：加入零相差前饋控制器之后，快速反射鏡的性能獲得很大提升。從階躍響應(yīng)上來(lái)看，結(jié)合零相差控制方法的輸出曲線在保持穩(wěn)態(tài)誤差不變的基礎(chǔ)上，響應(yīng)時(shí)間變得更短，響應(yīng)速度獲得大幅度提高，提升了快速反射鏡的控制精度和快速性。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

對(duì)上述理論在實(shí)際快速反射鏡中進(jìn)行實(shí)際試驗(yàn)驗(yàn)證，試驗(yàn)裝置如圖8所示。

圖中，快速反射鏡的制動(dòng)器為音圈電機(jī)可以做兩個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)；位置傳感器用來(lái)測(cè)量位置反饋信號(hào)；控制和驅(qū)動(dòng)芯片的核心控制芯片采用TMS320型DSP，驅(qū)動(dòng)方式為PWM驅(qū)動(dòng)。

圖8 快速反射鏡試驗(yàn)平臺(tái)Fig.8 Experimental platform of FSM

3.1 階躍響應(yīng)對(duì)比試驗(yàn)

為了測(cè)試引入零相差控制器以后系統(tǒng)的響應(yīng)速度，進(jìn)行階躍響應(yīng)試驗(yàn)。給定的階躍信號(hào)終值為0.08 s，分別采集獲得單純PI控制和ZPETC控制下響應(yīng)曲線如圖9所示。分析圖9中的曲線可以得到兩種控制方法的一些關(guān)鍵性能指標(biāo)，整理如表2所示。

圖9 PI和ZPETC下階躍響應(yīng)對(duì)比曲線Fig.9 Contrast step response curve of FSM under ZPETC and PI contol

表2 PID控制和零相差控制的階躍響應(yīng)性能比較Table 2 Comparison of step response performance between PID control and ZPETC

觀測(cè)圖9和表2可以看出：引入ZPETC方法以后，快速反射鏡的階躍響應(yīng)時(shí)間由原來(lái)的50 ms降低到12 ms，響應(yīng)速度提高了4倍多,證明零相差控制方法有助于提高快速反射鏡的響應(yīng)速度。但是通過(guò)對(duì)比表1和表2可以看出，仿真結(jié)果與實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果存在偏差。零相差控制器的響應(yīng)時(shí)間相比于仿真結(jié)果有所增加，另外零相差控制方法所帶來(lái)的超調(diào)量消失，兩種控制方法的穩(wěn)態(tài)誤差也都有所增加。零相差控制方法比仿真結(jié)果的響應(yīng)時(shí)間更長(zhǎng)是由建模誤差引起的，在試驗(yàn)過(guò)程中，通過(guò)不斷改進(jìn)模型可使實(shí)際的階躍響應(yīng)結(jié)果越來(lái)越接近理想的仿真結(jié)果。圖10給出了模型精校前、后的階躍響應(yīng)對(duì)比曲線，從圖中可以清楚地看到前面所述的趨勢(shì)。

圖10 被控模型矯正前、后階躍響應(yīng)對(duì)比曲線Fig.10 Contrast step response curve of FSM under original and corrected model

圖11 PI和ZPETC下正弦響應(yīng)對(duì)比曲線Fig.11 Contrast sinusodial response curve of FSM under ZPETC and PI control

3.2 正弦響應(yīng)對(duì)比試驗(yàn)

為了測(cè)試兩種控制方法的高頻響應(yīng)特性，進(jìn)行正弦響應(yīng)試驗(yàn)。輸入的正弦信號(hào)幅值為0.01，頻率為150 Hz。分別獲得兩種控制方法下輸出曲線如圖11所示。從圖11中可以看出：?jiǎn)渭働I控制下的快速反射鏡對(duì)于150 Hz的輸入，輸出衰減特別厲害，只能復(fù)現(xiàn)輸入的25%左右，衰減幅度達(dá)到75%。而加入零相差控制以后，輸出基本復(fù)現(xiàn)了輸入，只是由于建模誤差的原因產(chǎn)生了微小的超調(diào)。從圖11中還可以看出：?jiǎn)渭働I控制下，快速反射鏡的輸出相位滯后比較大，而引入零相差控制器以后相位滯后量有所減小。這一點(diǎn)在第1節(jié)零相差控制原理中已經(jīng)提到，零相差控制器的引入會(huì)消除被控對(duì)象中的相位差。

4 結(jié)束語(yǔ)

零相差控制方法作為一種前饋控制方法，可以引入到現(xiàn)有的PID控制中，以達(dá)到提升控制系統(tǒng)的性能的作用。通過(guò)一系列仿真試驗(yàn)證明了其理論上的可行性。針對(duì)快速反射鏡對(duì)于快速性和高帶寬的要求，在現(xiàn)有PI控制器的基礎(chǔ)之上引入ZPETC方法，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證在引入零相差控制器之后，快速反射鏡的響應(yīng)速度提高了4倍多，高頻響應(yīng)更加趨近于輸入而且相位滯后明顯減小，達(dá)到了提升快速反射鏡性能的目的。但同時(shí)零相差控制方法的實(shí)現(xiàn)有過(guò)分依賴于被控對(duì)象建模精度的弱點(diǎn)，這也是導(dǎo)致本文中仿真結(jié)果與實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果存在差異的主要原因。

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