蘇義鑫, 趙 俊, 張華軍

(武漢理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院, 湖北 武漢 430070)

隨著人們對(duì)海洋資源開發(fā)的深入,船舶動(dòng)力定位(dynamic positioning,DP)系統(tǒng)在深水定點(diǎn)作業(yè)中得到越來越廣泛的應(yīng)用.由于船舶自身的非線性特性和定位過程中受到海浪、海風(fēng)等隨機(jī)擾動(dòng)的影響,研究人員在動(dòng)力定位系統(tǒng)中應(yīng)用了各種先進(jìn)的濾波和控制技術(shù)以提高定位性能.針對(duì)船舶動(dòng)力定位過程中的濾波問題,目前多利用擴(kuò)展卡爾曼濾波算法[1]來解決.擴(kuò)展卡爾曼濾波算法是采用高效率遞歸方式獲得最小方差的最優(yōu)估計(jì)算法[2],是進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)與預(yù)測的有力工具,但擴(kuò)展卡爾曼濾波算法需將非線性模型線性化,而線性化可能給估計(jì)帶來誤差,且計(jì)算較為復(fù)雜.文獻(xiàn)[3]中采用粒子濾波算法估計(jì)船舶運(yùn)動(dòng)狀態(tài),無需線性化,但粒子濾波算法存在樣本退化的問題.文獻(xiàn)[4-5]中應(yīng)用無跡卡爾曼濾波算法估計(jì)船舶狀態(tài),但需對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行離散化,可能會(huì)產(chǎn)生截?cái)嗾`差.文獻(xiàn)[6]中提出了一種無跡卡爾曼布西濾波(unscented Kalman-Bucy filtering,UKBF)算法,該算法應(yīng)用確定性采樣策略逼近非線性分布,防止了樣本退化;同時(shí),該算法不需要對(duì)非線性模型進(jìn)行線性化和離散化,防止了由二者帶來的誤差過大和難以計(jì)算的問題[7].

針對(duì)船舶動(dòng)力定位非線性控制,文獻(xiàn)[8-9]中分別給出了一種模糊動(dòng)力定位控制器,這些控制器具有較強(qiáng)的魯棒性,但針對(duì)不同船舶的模糊規(guī)則相差較大.文獻(xiàn)[10]中提出了一種滑模動(dòng)力定位控制器,該控制器具有物理實(shí)現(xiàn)簡單和魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn),但滑模控制器的抖振問題對(duì)推進(jìn)器的磨損較大.文獻(xiàn)[11]中應(yīng)用非切換解析模型預(yù)測控制(non-switch analytic model predictive control, NSAMPC)方法設(shè)計(jì)動(dòng)力定位控制器,取得了較好的控制效果.

本文將UKBF與NSAMPC相結(jié)合提出一種船舶動(dòng)力定位控制器設(shè)計(jì)方法.根據(jù)船舶運(yùn)動(dòng)模型,利用UKBF方法估計(jì)船舶運(yùn)動(dòng)狀態(tài);結(jié)合相對(duì)階概念應(yīng)用NSAMPC方法設(shè)計(jì)船舶動(dòng)力定位預(yù)測控制器,該方法不僅能夠解決動(dòng)力定位過程中的推力約束,而且還能夠提高推進(jìn)器輸出的平滑度.

1 船舶運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

對(duì)于水面船舶的動(dòng)力定位,只需考慮船舶在3個(gè)自由度上的運(yùn)動(dòng),分別為縱蕩、橫蕩和艏搖[11].船舶低速運(yùn)動(dòng)下3個(gè)自由度船舶運(yùn)動(dòng)模型[12-13]如式(1)所示

若令:

x=[xyψu(yù)vr]T;

u=[τXτYτN]T;

y=[y1y2y3]T=[xyψ]T.

將式(1)整理為規(guī)范形式,并考慮過程擾動(dòng)和測量噪聲對(duì)船舶運(yùn)動(dòng)的影響,則有式(2).

(1)

式中:x、y、ψ分別為船舶的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)和艏向角；u、v、r分別為船舶的縱蕩速度、橫蕩速度和艏搖角速度；τX、τY、τN分別為縱向推力、橫向推力和艏搖力矩；mi0j、di0j(1≤i0≤3,1≤j≤3)分別為慣性系數(shù)和阻尼系數(shù)；y1、y2、y3為系統(tǒng)輸出.

(2)

式中:z=[z1z2z3]T為測量輸出;

ω(t)和υ(t)為零均值白噪聲;

(3)

g(x)=[g1(x)g2(x)g3(x)]=

(4)

h(x)=[h1h2h3]T=[xyψ]T.

(5)

2 動(dòng)力定位系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

本文將連續(xù)非線性濾波方法UKBF與NSAMPC相結(jié)合,設(shè)計(jì)船舶DP非線性控制器，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 船舶DP控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of the proposed marine DP control system

2.1 UKBF算法

UKBF運(yùn)用確定性采樣方式逼近非線性分布,不需要對(duì)非線性模型進(jìn)行線性化和離散化,防止了由二者帶來的誤差過大和難以計(jì)算的問題,且無需計(jì)算Jacobian和Hessian矩陣,能有效防止計(jì)算量過大或難以計(jì)算等問題.

給定連續(xù)非線性系統(tǒng)

設(shè)：Q(t)為協(xié)方差矩陣(ω(t))；Qc(t)為譜密度(ω(t));R(t)為協(xié)方差矩陣(υ(t))；Rc(t)為譜密度(υ(t)).

首先選取Sigma點(diǎn)陣X(t),然后在系統(tǒng)狀態(tài)和測量過程的有限連續(xù)時(shí)域內(nèi),應(yīng)用無跡卡爾曼濾波的隨機(jī)微分方程求解Sigma點(diǎn)的狀態(tài)均值m(t),將其作為系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)值，即

K(t)(z(t)-h(x(t),t)ωm),

式中:K(t)為濾波器增益；ωm為權(quán)值矩陣.

2.2 UKBF濾波器設(shè)計(jì)

將式(2)轉(zhuǎn)換成式(6).

(6)

式中:x(t)∈Rn;

F(x(t),t)=f(x(t),t)+g(x(t),t)u(t);

H(x(t),t)=h(x(t)).

設(shè)：Δt為采樣周期;Q(t)≈Qc(t)Δt;R(t)≈Rc(t)Δt.

選取近似采樣點(diǎn)Sigma,Sigma點(diǎn)矩陣X(t)定義為

X(t)=[m(t) …m(t)]+

(7)

P(t)為Sigma點(diǎn)的狀態(tài)協(xié)方差矩陣;

X(t)∈Rn×dS,為Sigma點(diǎn)的矩陣(dS為Sigma點(diǎn)個(gè)數(shù),dS=2n+1).

連續(xù)UKBF遞推過程的微分方程為

X(t)=X(t)WHT(X(t),t)×

[R(t)Rc(t)RT(t)]-1，

(8)

K(t)[z(t)-H(X(t),t)ωm]，

(9)

FT(X(t),t)WXT(t)+Q(t)Qc(t)QT(t)-

K(t)R(t)Rc(t)RT(t)KT(t),

(10)

式中：

ωm=[Wm(0)…Wm(2n)]T,

W=(I-[ωm…ωm])×

diag(Wc(0),…,Wc(2n))×

(I-[ωm…ωm])T,

其中：Wm(0)=λ/(n+λ),

Wc(0)=λ/(m+λ)+(1-α2+β),α、β分別為設(shè)定參數(shù)，

Wm(i1)=1/2(n+λ),i1=1,…,2n,

Wc(i1)=1/2(n+λ),i1=1,…,2n.

采用連續(xù)表達(dá)式(8)～(10)計(jì)算得到的狀態(tài)均值m(t),該值作為動(dòng)力定位系統(tǒng)在t時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值.

2.3 非切換解析模型預(yù)測控制器設(shè)計(jì)

本文采用的滾動(dòng)時(shí)域內(nèi)的目標(biāo)函數(shù)如式(11)所示.

(11)

式中：T為預(yù)測周期;

τ為滾動(dòng)時(shí)域內(nèi)的時(shí)間；

通常μ1、μ2為非負(fù)數(shù),μ3為正數(shù),依次為系統(tǒng)輸出約束、控制輸入、跟蹤誤差所占比重的反映，加有上標(biāo)“^”的變量為預(yù)測變量.

(12)

其初始狀態(tài)為系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài),即

(13)

根據(jù)式(12)、(13)可以預(yù)測[t,t+T]時(shí)間段內(nèi)的系統(tǒng)輸出.通過目標(biāo)函數(shù)J的最小化,求取[t,t+T]時(shí)間段內(nèi)的最優(yōu)控制輸入.

綜上所述,非線性模型預(yù)測控制可以描述為

(14)

式(12)、(13)是式(14)的約束.

(15)

式中：

因此,式(11)所示的目標(biāo)函數(shù)J的N階泰勒級(jí)數(shù)展開可以近似為

(16)

式中：

M=μ1τ(τ)τT(τ)|τ=T+

式(14)等價(jià)于

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

式中：

用ρi3j(1≤i3≤l, 1≤j≤m)表示控制輸入ui3到系統(tǒng)輸出yj的相對(duì)階,相對(duì)階的計(jì)算法方法可以參見文獻(xiàn)[14].經(jīng)計(jì)算可得,對(duì)所有狀態(tài)滿足Lg3Lfh3≠0,因此，ρ33可確定相對(duì)階ρ11、ρ12、ρ13、ρ21、ρ22、ρ23、ρ31和ρ32.在某些狀態(tài)下為0,則ρ11、ρ12、ρ13、ρ21、ρ22、ρ23、ρ31、ρ32是不確定相對(duì)階.

qi3(x)=[q1,i3(x)q2,i3(x)q3,i3(x)]T.

(22)

(23)

q1T(x)M(q0-yd)+

(24)

式中：

可由式(24),得到NSAMPC的解,取其初值,即為船舶動(dòng)力定位的NSAMPC控制律，即

q1T(x)M(q0-yd).

(25)

3 仿 真

為了驗(yàn)證本文提出的船舶動(dòng)力定位控制方法的有效性,分別對(duì)動(dòng)力定位NSAMPC控制器,帶有EKF的動(dòng)力定位PID控制器和帶有UKBF的動(dòng)力定位NSAMPC控制器進(jìn)行仿真.

主要參數(shù):

船長76.2 m,船寬18.8 m,船舶凈重4 200 t,主發(fā)動(dòng)機(jī)功率3 533 kW,縱向推力(kN)[-1 000,1 000],橫向推力(kN)[-300,300],艏搖力矩(kN·m)[-7 620,7 620].

m11=1.127 4,m22=1.890 2,m23=-0.074 4,m32=-0.074 4,m33=-0.127 8,d11=-0.035 8,d22=-0.118 3,d23=-0.012 4,d32=-0.004 1,d33=-0.030 8.

船舶的起始位置為(0 m,0 m,0°),定位位置為(0 m,50 m,0°)，濾波采樣間隔Δt=0.1 s,系統(tǒng)隨機(jī)擾動(dòng)的均值為0,協(xié)方差為diag(10-2,10-2,10-2,10-2,10-2,10-2),測量噪聲的均值為0,協(xié)方差為diag(1,1,10-1).

設(shè)定參數(shù):

κ=-2，α=0.5,β=2,T=1.4 s,仿真時(shí)長取500 s,μ1=1.0,μ2=0.05,μ3=0;PID控制器參數(shù)KPx=0.08,KIx=0.001,KDx=0.8,KPy=8,KIy=0.000 01,KDx=5,KPψ=10,KIψ=0.000 1,KDψ=6.

應(yīng)用帶有UKBF的動(dòng)力定位NSAMPC控制器的船舶的位置和艏向的測量值和估計(jì)值,以及應(yīng)用帶有EKF的動(dòng)力定位PID控制器的船舶位置和艏向的估計(jì)值如圖2所示，圖中：實(shí)線為應(yīng)用帶有UKBF的動(dòng)力定位NSAMPC控制器的船舶位置和艏向的測量值；虛線為其估計(jì)值,點(diǎn)線為應(yīng)用帶有EKF的動(dòng)力定位PID控制器的船舶位置和艏向的估計(jì)值.

從圖2可以看出,系統(tǒng)的測量輸出與濾波器輸出相比,濾波器輸出更加平滑.北向位置調(diào)節(jié)時(shí)間小于40 s,超調(diào)量不超過5%;東向位置調(diào)節(jié)時(shí)間小于60 s,超調(diào)量不超過5%;艏向角度的最大偏移量小于1.5°.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出的均值、方差分別為(49.99 m,50.01 m,-0.01°)和(0.012 8 m,0.024 5 m,0.000 4°),可見系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的均值與設(shè)定值相差不大,方差很小.

從圖2(a)、(b)可以看出,與應(yīng)用帶有EKF的動(dòng)力定位PID控制器的船舶相比,應(yīng)用帶有UKBF的動(dòng)力定位NSAMPC控制器的船舶的北向位置調(diào)節(jié)時(shí)間短、超調(diào)量小,船舶的東向位置調(diào)節(jié)時(shí)間短.應(yīng)用帶有UKBF的動(dòng)力定位NSAMPC控制器,不帶有UKBF的動(dòng)力定位NSAMPC控制器和帶有EKF的動(dòng)力定位PID控制器的船舶的推力和力矩如圖3所示，圖中：實(shí)線為應(yīng)用不帶有UKBF的動(dòng)力定位NSAMPC控制器的船舶推力和力矩；虛線為應(yīng)用帶有UKBF的動(dòng)力定位NSAMPC控制器的船舶推力和力矩,點(diǎn)線為應(yīng)用帶有EKF的動(dòng)力定位PID控制器的船舶推力和力矩.

從圖3可以看出,應(yīng)用帶有UKBF的動(dòng)力定位NSAMPC控制器的船舶推力和力矩是連續(xù)的,且推力和力矩波動(dòng)更小.

從圖3(a)可以看出,應(yīng)用帶有UKBF的動(dòng)力定位NSAMPC控制器的船舶的縱向推力在穩(wěn)態(tài)階段波動(dòng)較小;

從圖3(b)可以看出,應(yīng)用帶有UKBF的動(dòng)力定位NSAMPC控制器的船舶橫向推力滿偏次數(shù)較少,在穩(wěn)態(tài)階段波動(dòng)較小;

從圖3(c)可以看出,應(yīng)用帶有UKBF的動(dòng)力定位NSAMPC控制器的船舶艏搖力矩滿偏次數(shù)較少,在穩(wěn)態(tài)階段波動(dòng)較小.

(a) 北向位置(b) 東向位置(c) 艏向角度圖2 船舶的位置和艏向Fig.2 Position and heading angle of the vessel

(a) 縱向推力(b) 橫向推力(c) 艏搖力矩圖3 船舶縱向推力、橫向推力和艏搖力矩Fig.3 Longitudinal thrust,lateral thrust and moment of the vessel

綜合以上分析可得,采用本文所設(shè)計(jì)的控制器時(shí),系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗隨機(jī)擾動(dòng)能力,能使船舶較快到達(dá)指定位置,并且控制力和力矩連續(xù)、在穩(wěn)態(tài)階段波動(dòng)較小.

4 結(jié) 論

本文將UKBF與NSAMPC相結(jié)合,用于設(shè)計(jì)船舶動(dòng)力定位非線性控制器,應(yīng)用UKBF連續(xù)濾波方法設(shè)計(jì)了非線性系統(tǒng)的濾波器,產(chǎn)生船舶狀態(tài)的估計(jì)值;應(yīng)用NSAMPC方法對(duì)動(dòng)力定位船舶進(jìn)行控制.該控制器是非奇異的,較好地解決了相對(duì)階不確定的系統(tǒng)控制問題,避免了由狀態(tài)切換可能引起的系統(tǒng)振蕩.仿真結(jié)果表明,本文設(shè)計(jì)的控制器能使船舶較快到達(dá)指定位置,并且控制力和力矩連續(xù)、在穩(wěn)態(tài)階段波動(dòng)較小，有利于減少推進(jìn)器的磨損.

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