■本刊編輯部

1.在銳角△A B C中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知s i n

(1)求t a n2的值;

(2)若a=2,求b的值。

2.已知公差不為零的等差數(shù)列{an},滿足a1+a3+a5=9,且a1,a4,a16成等比數(shù)列。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)求數(shù)列的前

nn項(xiàng)和Sn。

3.甲、乙兩人參加某種選拔測(cè)試。在備選的1 0道題中,甲答對(duì)其中每道題的概率都是,乙能答對(duì)其中的5道題。規(guī)定每次考試都從備選的1 0道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試,答對(duì)一題加1 0分,答錯(cuò)一題(不答視為答錯(cuò))減5分,得分最低為0分,至少得1 5分才能入選。求：

(1)乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)甲、乙兩人中至少有一人入選的概率。

4.已知正三棱柱A B C-A'B'C',如圖1所示,其中G是B C的中點(diǎn),D,E分別在線段常數(shù)λ,記點(diǎn)M的軌跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程,并討論C的形狀與λ值的關(guān)系;

(2)若,m=1時(shí),得到的曲線為C1,將曲線C1向左平移一個(gè)單位得到曲線E,過點(diǎn)P(-2,0)的直線l1與曲線E交于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),過F(1,0)的直線A F,B F分別交曲線E于D,Q兩點(diǎn),設(shè)α,β∈R,求α+β的取值范圍。

6.已知函數(shù)f (x)=l nx-x2+a x,x1,x2是函數(shù)f (x)的兩個(gè)零點(diǎn),且x1＜x2。

(1)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性;

(2)求a的取值范圍;

(3)設(shè)f'(x)是函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù),求證

1.(1)在銳角△A B C中,A+B+C=π,

故

(2)因?yàn)?/p>

將c2-2b cc o sA(余弦定理)中,得b4-6b2+9=0,解得

圖1

2.(1)因?yàn)閍1+a3+a5=9,所以3a3=9,A G,A'C上運(yùn)動(dòng),使得D E∥平面B C C'B',F是B B'上的一點(diǎn),且C C'=2B C=8B'F=4。

(1)求證：C'F⊥B'D;

(2)求二面角A'-B'C-C'的余弦值;

(3)求線段D E的最小值。

5.設(shè)動(dòng)點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離和它到直線l：x=-m(m＞0)的距離之比是一個(gè)所以a3=3。

因?yàn)閍1,a4,a16成等比數(shù)列,所以a24=a1a16,(3+d)2=(3-2d)(3+1 3d),因?yàn)閐≠0,則d=1。所以an=a3+(n-3)d=3+(n-3)=n。

(2)由(1)得：

3.(1)設(shè)乙得分為ξ,則ξ=0,1 5,3 0。

所以ξ的分布列如表1所示。

表1

(2)設(shè)“甲入選”為事件A,“乙入選”為事件B,則故所求概率P=1-

4.(1)如圖2,連接B'G。因?yàn)镚是B C的中點(diǎn),所以A G⊥B C,所以A G⊥平面B B'C'C。因?yàn)镃'F?平面B B'C'C,所以A G⊥C'F。

圖2

又∠C'B'B=所以△C'B'F∽△B'B G,所以B'G⊥C'F。因?yàn)锳 G∩B'G=G,所以C'F⊥平面A B'G。因?yàn)锽'D?平面A B'G,所以C'F⊥B'D。

(2)如圖2,以G為坐標(biāo)原點(diǎn),G B、G A所在直線分別為x軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則G(0,0,0),B(1,0,0),B'(1,4,0),A'(0,4,),C(-1,0,0),A(0,0,)。所以

設(shè)平面A'B'C的法向量為m=(x,y,z),則即

令,得則平面 的A'B'C一個(gè)法向量為m=(2 3,-3,2)。

又平面B'C C'的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),故所求二面角的余弦值為c o s＜m,n＞=

(3)由題意,可設(shè)D(0,0,k)(0≤k≤

由故E(λ-1,4λ所以=(λ-1,4λ,3λ-k)。易知為平面B C C'B'的一個(gè)法向量。

因?yàn)镈 E∥平面B C C'B',所以

又故當(dāng)時(shí),線段D E有最小值

5.(1)設(shè)M(x,y),由題設(shè)有故曲線C的方程為(1-λ2)x2+y2-2m λ2x-m2λ2=0。

①λ=1時(shí),曲線C的方程為：y2=2m·(x+m)是拋物線。

②λ≠1時(shí),曲線C 的方程為

λ＞1時(shí),曲線C的方程為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線;0＜λ＜1時(shí),曲線C的方程為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓。

當(dāng)x∈(0 ,x0)時(shí),f'(x)＞0,f (x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f'(x)＜0,f (x)單調(diào)遞減。

(2)由于函數(shù)f (x)存在兩個(gè)零點(diǎn),所以f (x)max＞0。

由(1)可知f (x)max=f (x0)=l nx0-+a x0,且

所以f (x)max=l nx0-+-1=l nx0+-1＞0。

由于g (x0)=l nx0+-1在(0,+∞)上為增函數(shù),且g(1)=0,所以

所以a的取值范圍是(1,+∞)。

(3)由于x1,x2是函數(shù)f (x)的兩個(gè)零點(diǎn),且x1＜x2,所以l nx1-+a x1=0,l nx2-+a x2=0。