■江蘇省太倉高級中學(xué) 陸 麗

分類討論思想作為高中數(shù)學(xué)最基本的思想方法之一,歷來是高考數(shù)學(xué)考查的一個重要內(nèi)容?？v覽近五年新課標高考試題,分類討論思想在高考試題中頻頻出現(xiàn),已成為高考數(shù)學(xué)的一個熱點,也是高考的難點。高考試卷中經(jīng)常會有幾道題,其解題思路是直接依賴于分類討論思想的,特別在解答題中(尤其是導(dǎo)數(shù)與函數(shù))常有一道分類討論求解的把關(guān)題,選擇題、填空題也會出現(xiàn)不同情形的分類討論題。

一、知識要點概述

1.分類討論思想方法的原理及作用。

在研究與解決數(shù)學(xué)問題時,如果問題不能以同一種方法處理或同一種形式表述、概括,可根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點,按照一定的原則或某一確定的標準,在比較的基礎(chǔ)上,將數(shù)學(xué)對象劃分為若干既有聯(lián)系又有區(qū)別的部分,然后逐類進行討論,再把這幾類的結(jié)論匯總,從而得出問題的答案,這種研究解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。分類討論的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本方法之一,在近幾年的高考試題中都把分類討論思想方法列為重要的思想方法來考查,體現(xiàn)出其重要的位置。分類討論的思想方法不僅具有明顯的邏輯性、題型覆蓋知識點較多、綜合性強等特點,而且還有利于對考生知識面的考查,需要考生有一定的分析能力、分類技巧,對考生能力的考查有著重要的作用。分類討論思想方法的實質(zhì)就是化解數(shù)學(xué)問題中各種條件的制約及變動因素的影響而采取的化整為零、各個突破的解題手段。

2.引起分類討論的主要原因。

(1)問題所涉及的數(shù)學(xué)概念是分類進行定義的。例如,|a|的定義分a＞0,a=0,a＜0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。

(2)問題中涉及的數(shù)學(xué)定理、公式和運算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制,或者是分類給出的。例如,等比數(shù)列的前n項和的公式,分q=1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。

(3)解含有參數(shù)的題目時,必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論。例如,解不等式a x＞3時分a＞0,a=0,a＜0三種情況討論。這種稱為含參型。

另外,某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等,都可以通過分類討論,保證其完整性,使之具有確定性。

二、解題方法指導(dǎo)

1.運用分類討論思想方法的步驟。

(1)確定標準;

(2)合理分類;

(3)逐類討論;

(4)歸納總結(jié)。

2.簡化分類討論的策略。

(1)消去參數(shù);

(2)整體換元;

(3)變更主元;

(4)考慮反面;

(5)整體變形;

(6)數(shù)形結(jié)合;

(7)縮小范圍。

3.進行分類討論時需遵循的原則。

分類的對象是確定的,標準是統(tǒng)一的,不遺漏、不重復(fù),科學(xué)地劃分,分清主次,不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。

4.解題時把好“四關(guān)”。

(1)要深刻理解基本知識與基本原理,把好“基礎(chǔ)關(guān)”;

(2)要找準劃分標準,把好“分類關(guān)”;

(3)要保證條理分明,層次清晰,把好“邏輯關(guān)”;

(4)要注意對照題中的限制條件或隱含信息,合理取舍,把好“檢驗關(guān)”。

三、基本題型分析

1.由概念、法則、公式、性質(zhì)引起的分類討論。

例1 (1)函數(shù)f(x)=若f(1)+f(a)=2,則a的所有可能值的集合為____。

(2)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù),前n項和為Sn,已知則a=

8____。

解析：(1)f(1)=e0=1,即f(1)=1。

當a≥0時,f(a)=1=ea-1,所以a=1;

當-1＜a＜0時,f(a)=s i n(πa2)=1,所以所以a2=2k+只能取0,此時因為-1＜a＜0,所以

所以a的所有可能值的集合為

(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q。

若q=1時,有S6=2S3,但由已知S6=

當q≠1時,解得則

友情提示：解決由概念、法則、公式、性質(zhì)引起的分類討論問題一般分四個步驟：

第一步：確定需分類的目標與對象。確定需要分類的目標,一般把需要用到公式、定理解決問題的對象作為分類目標。

第二步：根據(jù)公式、定理確定分類標準。運用公式、定理對分類對象進行區(qū)分。

第三步：分類解決“分目標”問題。對分類出來的“分目標”分別進行處理。

第四步：匯總“分目標”。將“分目標”問題進行匯總,并作進一步處理。

【變式訓(xùn)練一】

(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和Sn＞0(n=1,2,3,…),則q的取值范圍是____。

(2)若函數(shù)f(x)=l o g(a2-3)(a x+4)在[-1,1]上是單調(diào)增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是____。

2.由圖形位置或形狀引起的分類討論。

例2 (1)設(shè)A,B是橢圓長軸的兩個端點。若C上存在點M滿足∠AMB=1 2 0°,則m的取值范圍是( )。

(2)將一張長8c m,寬6c m的長方形紙片沿著一條直線折疊,折痕(線段)將紙片分成兩部分,面積分別為S1c m2,S2c m2,其中S1≤S2。記折痕長為lc m。

①若l=4,求S1的最大值;

②若S1∶S2=1∶2,求l的取值范圍。

解析：(1)當0＜m＜3時,焦點在x軸上,要使C上存在點M滿足∠AMB=1 2 0°,則1;當m＞3時,焦點在y軸上,要使C上存在點M滿足∠AMB=1 2 0°,則故m的取值范圍為(0,1]∪[9,+∞),故選A。

(2)不妨設(shè)紙片為長方形A B C D,A B=8c m,A D=6c m,其中A點在面積為S1的部分內(nèi)。折痕有下列三種情形：如圖1,折痕的端點M,N分別在邊A B,A D上;如圖2,折痕的端點M,N分別在邊A B,C D上;如圖3,折痕的端點M,N分別在邊A D,B C上。

圖1

①在圖1和圖2中,MN≥6,故當l=4時,折痕必定是圖1中情形。

設(shè)AM=xc m,AN=yc m,則x2+y2=1 6。因為x2+y2≥2x y,當且僅當x=y時取等號,所以S1=x y≤4,當且僅當x=時取等號,即S1的最大值為4。

圖2

圖3

②由題意知,長方形的面積為S=6×8=4 8。

因為S1∶S2=1∶2,S1≤S2,所以S1=1 6,S2=3 2。

當折痕是圖1中的情形時,設(shè)AM=xc m,AN=yc m,則

故f'(x)與f(x)的變化情況如表1：

___________________表1

所以f(x)的取值范圍為[6 4,8 0],從而l的范圍是

當折痕是圖2中的情形時,設(shè)AM=xc m,DN=yc m,則(x+y)×6=1 6,即

友情提示：幾類常見的由圖形的位置或形狀變化引起的分類討論：(1)二次函數(shù)對稱軸的變化;(2)函數(shù)問題中區(qū)間的變化;(3)函數(shù)圖像形狀的變化;(4)直線由斜率引起的位置變化;(5)圓錐曲線由焦點引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化;(6)立體幾何中點、線、面的位置變化等。

【變式訓(xùn)練二】

(1)已知雙曲線的離心率為則其漸近線方程為____;

圖4

3.由問題中的條件是分類給出的而引起的分類討論。

例3 設(shè)a1,a2,…,an是各項均不為零的n(n≥4)項等差數(shù)列,且公差d≠0,若將此數(shù)列刪去某一項后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列。

(1)當n=4時,求的數(shù)值;

(2)求n的所有可能值。

解析：(1)當n=4時,a1,a2,a3,a4中不可能刪去首項或末項,否則等差數(shù)列中連續(xù)三項成等比數(shù)列,則推出d=0。

若刪去a2,則=a1·a4,即(a1+2d)2=a1·(a1+3d),化簡得a1+4d=0,得=-4。

若刪去a3,則=a1·a4,即(a1+d)2=a1·(a1+3d),化簡得a1-d=0,得=1。

綜上可得=-4或=1。

(2)當n=5時,a1,a2,a3,a4,a5中同樣不可能刪去a1,a2,a4,a5,否則會出現(xiàn)連續(xù)三項。

若刪去a3,則a1·a5=a2·a4,即a1(a1+4d)=(a1+d)(a1+3d),化簡得3d2=0,因為d≠0,所以a3不能刪去。

當a≥6時,不存在這樣的等差數(shù)列。事實上,在數(shù)列a1,a2,a3,…,an-2,an-1,an中,由于不能刪去首項或末項,若刪去a2,則必有a1·an=a3·an-2,這與d≠0矛盾;同樣若刪去an-1也有a1·an=a3·an-2,這與d≠0矛盾;若刪去a3,…,an-2中任意一個,則必有a1·an=a2·an-1,這與d≠0矛盾。(或者說：當n≥6時,無論刪去哪一項,剩余的項中必有連續(xù)的三項)

綜上所述,n=4。

友情提示：由于問題中的條件包含多種情形,每一種情形都會產(chǎn)生一個結(jié)果,故在解題時必須分類討論,而且不可漏掉任何一種情形,解答這類問題必須要做到耐心細致,否則答案會出現(xiàn)“對而不全”的現(xiàn)象,而對于填空題來說更是“前功盡棄”。

【變式訓(xùn)練三】

(1)在 △A B C 中,已 知,且△A B C的一個內(nèi)角為直角,則實數(shù)k的值為____。

(2)在等差數(shù)列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6。

①求{an}的通項公式;

②設(shè)bn=[an],求數(shù)列{bn}的前1 0項和,其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[2.6]=2。

4.由變量或參數(shù)引起的分類討論。

例4 設(shè)a＞0,函數(shù)f(x)=x2+a|l nx-1|。

(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;

(2)當x∈[1,+∞)時,求函數(shù)f(x)的最小值。

解析：(1)當a=1時,f(x)=x2+|l nx-1|,令x=1得f(1)=2,f'(1)=1,所以切點為(1,2),切線的斜率為1,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為xy+1=0。

(2)①當x≥e時,f(x)＞0=x2+

因為a＞0,所以f'(x)＞0恒成立,所以f(x)在[e,+∞)上是增函數(shù)。

故當x=e時,ymin=f(e)=e2。

②當1≤x≤e時,f(x)=x2-al nx+

當時,f'(x)在x∈(1,e)上為正數(shù),所以f(x)在區(qū)間[1,e)上為增函數(shù)。故當x=1時,ymin=1+a,此時f(1)＜f(e)。

當即2＜a＜2 e2時,f'(x)在上 為 負 數(shù),在x∈上為正數(shù)。

當時,f'(x)在x∈(1,e)上為負數(shù),所以f(x)在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù),故當x=e時,ymin=f(e)=e2。

綜上所述,當a≥2 e2時,f(x)在x≥e和1≤x≤e時的最小值都是e2,所以此時f(x)的最小值為f(e)=e2;當2＜a＜2 e2時,f(x)在x≥e時的最小值為所以此時f(x)的最小值為當0＜a≤2時,f(x)在x≥e時的最小值為e2,在1≤x＜e時的最小值為f(1)=1+a,而f(1)＜f(e),所以此時f(x)的最小值為f(1)=1+a。

所以函數(shù)y=f(x)的最小值為ymin=

友情提示：一般地,遇到題目中含有參數(shù)的問題,常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響進行分類討論。這類問題有兩種情形：(1)由于所求的變量或參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致結(jié)果不同,所以要對某些問題中所求的變量進行討論;(2)有的問題中雖然不需要對變量討論,但卻要對參數(shù)討論。在求解時要注意討論的對象,同時應(yīng)理順討論的目的。

【變式訓(xùn)練四】

(1)若不等式x2+x-1＜m2x2-m x對x∈R恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是____。

(2)當實數(shù)x,y滿足時,a x+y≤4恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是____。

四、分類討論高考備忘

分類討論思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題,通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略。對問題實行分類與整合,分類標準等于增加一個已知條件,實現(xiàn)了有效增設(shè),將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題),優(yōu)化解題思想,降低問題難度。

常見的分類討論問題有：

(1)集合：注意集合中對空集?的討論。

(2)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a,一般應(yīng)分a＞1和0＜a＜1的討論,函數(shù)y=a x2+b x+c有時候分a=0和a≠0的討論,對稱軸位置的討論,判別式的討論。

(3)數(shù)列：由Sn求an時分n=1和n＞1的討論;等比數(shù)列中分公比q=1和q≠1的討論。

(4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論。

(5)不等式：解不等式時含參數(shù)的討論,基本不等式相等條件是否滿足的討論。

(6)立體幾何：點線面及圖形位置關(guān)系的不確定性引起的討論。

(7)平面解析幾何：直線點斜式中k分存在和不存在的討論,直線截距式中分b=0和b≠0的討論;軌跡方程中含參數(shù)時對曲線類型及形狀的討論。

(8)去絕對值時的討論及分段函數(shù)的討論等。

【變式訓(xùn)練一答案】

(1)因為{an}是等比數(shù)列,Sn＞0,可得a1=S1＞0,q≠0。

當q=1時,Sn=n a1＞0;當q≠1時,

則有解得-1＜q＜1,或q＞1。

綜上可得q的取值范圍是(-1,0)∪(0,+∞)。

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可以依據(jù)同增異減來判斷。由題意可得,當或時,函數(shù)在[-1,1]上是遞增的,所以a的取值范圍是(2,4)∪(-2,

【變式訓(xùn)練二答案】

(1)由于則a2=3b2。

若雙曲線焦點在x軸上,漸近線方程為;若雙曲線焦點在y軸上,漸近線方程為

綜上可知,漸近線方程為或

(2)先考查拼成三棱柱,如圖5所示,全面積為1 2a2+4 8。

再考查拼成四棱柱,如圖6所示。

圖5

①若A C=5a,A B=4a,B C=3a,則該四棱柱的全面積為S2=2×4a×3a+2(3a+4a)×= 2 4a2+2 8;

②若A C=4a,A B=3a,B C=5a,則該四棱柱的全面積為S2=2×4a×3a+2(3a+5a)×= 2 4a2+3 2;

③若A C=3a,A B=5a,B C=4a,則該四棱柱的全面積為S2=2×4a×3a+2(4a+5a)×= 2 4a2+3 6。

圖6

在以上三種可能的情形中,全面積最小的是①,于是有2 4a2+2 8＜1 2a2+4 8?1 2a2＜2 0?0＜a＜,即a的取值范圍是

【變式訓(xùn)練三答案】

(1)哪一個角為直角,不知道,故本題首先需要進行分類討論,然后利用向量垂直的充要條件列出含有實數(shù)k的關(guān)系式,分別求之。

①若∠B A C=9 0°,即也就是,故2+3k=0,解得

②若∠B C A=9 0°,即也就是3),故-1+k(k-3)=0,解得

③若∠A B C=9 0°,即也就是故-2+3(k-3)=0,解得

綜合上面的討論可知或k=

(2)①設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,由題意知解得,a1=1d=。

所以數(shù)列{bn}的前1 0項和為1×3+2×2+3×3+4×2=2 4。

【變式訓(xùn)練四答案】

(1)原不等式可化為(m2-1)x2-(m+1)x+1＞0對∈R恒成立。

①當m2-1=0且m+1=0時,不等式恒成立,所以m=-1。

② 當 m2-1≠0 時,則解得或m＜-1。

綜合①②知,m的取值范圍為(-∞,

(2)由約束條件作可行域,如圖7所示。

圖7

在x-y-1=0中,取x=1,得A(1,0)。由a x+y≤4得y≤-a x+4,要使a x+y≤4恒成立,則平面區(qū)域在直線y=-a x+4的下方。

若a=0,則不等式等價于y≤4,此時滿足條件;

若-a＞0,即a＜0時,平面區(qū)域滿足條件;

若-a＜0,即a＞0時,要使平面區(qū)域在直線y=-a x+4的下方,則只要B在直線上或直線下方,所以2a+1≤4,得

綜上可得,實數(shù)a的取值范圍是