■鄭州一中 孫錫九

高考數(shù)學(xué)全國卷第2 1題是多年延續(xù)下來且定型的有關(guān)導(dǎo)數(shù)的壓軸試題,它在試卷中的地位和重要性是不言而喻的,試題主要涉及函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的極值與值域,函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),函數(shù)所含字母的取值范圍,以及與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式證明等。由于試題承載了考查功能和選拔功能,所以第2 1題大多具有較大的難度,對考生的能力與素養(yǎng)有著較高要求。

近六年來,第2 1題所給出的函數(shù)表達(dá)式中均含有字母參數(shù),給問題解決帶來了更多的困難,令許多考生望而生畏。筆者認(rèn)為,問題主要集中在如下一些方面：①不會(huì)或不能完整地對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論;②對一些較為復(fù)雜和煩瑣的導(dǎo)函數(shù),方法單一或束手無策,不會(huì)轉(zhuǎn)化和整合;③不會(huì)尋求極值點(diǎn)或不會(huì)確定零點(diǎn)存在的充要條件;④不會(huì)或不知道如何去構(gòu)造函數(shù);⑤不會(huì)或不知道利用放縮法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、換元法、分析法、逆推法等數(shù)學(xué)方法去化歸。

針對考生所存在的上面所列舉的諸多困惑,本文把筆者對多年高考第2 1題研究的一些感悟呈現(xiàn)給讀者,希望能對考生有所幫助。

因篇幅所限,上述問題無法一一涉及,又因?yàn)橹饕堑? 1題的解答思路、方法與策略,所以本文的解析并非標(biāo)準(zhǔn)解答模式,特予以說明。

例1 已知函數(shù)f(x)=l n(x+1)+a(x2-x),其中a∈R。

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由;

(Ⅱ)若對任意x＞0,f(x)≥0成立,求a的取值范圍。

思路分析：f(x)的定義域?yàn)?-1,+∞),且表達(dá)式含字母參數(shù)a,故需分類討論。

(1)若a=0,則f'(x)＞0,f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,即f(x)無極值點(diǎn)。

(2)若a≠0,設(shè)g(x)=2a x2+a x+1-a,則Δ=9a2-8a。

①當(dāng)0＜a≤時(shí),Δ≤0,g(x)＞0,即得f'(x)＞0,所以f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,即f(x)無極值點(diǎn);

②當(dāng)a＞時(shí),Δ＞0,設(shè)g(x)=0的兩

根為x,x(x＜x),x=(-a-12121,所以g(x)在(-1,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn),即f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn);

③當(dāng)a＜0時(shí),由0,知x1,x2為一正根和一負(fù)根,又g(-1)＞0,所以x1＜-1＜x2,f(x)在(-1,x2)上單調(diào)遞增,在(x2,+∞)上單調(diào)遞減,故f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又由f(0)=0,可知f(x)＞0恒成立。

(1)當(dāng)時(shí),由于,此時(shí)無法判斷1-a的正負(fù),所以還要分進(jìn)行討論。

①若＜a≤1,g(x)無正根,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)＞f(0)=0;

②若a＞1,x1x2＜0,即x1＜0,x2＞0,則f(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減,而f(0)=0,故f(x)＞0不恒成立。

(2)當(dāng)a＜0時(shí),f(x)=l n(x+1)+a x2-a x,由l n(x+1)＜x(x＞0),得f(x)＜,當(dāng)x＞1-時(shí),f(x)＜0,即f(x)≥0不成立。

綜上,得0≤a≤1。

評析：(1)因?yàn)閍∈R,故要對所有實(shí)數(shù)a的取值范圍加以討論,不能遺漏;(2)因?yàn)榈?問與第2問里x的取值范圍不同,所以討論要注意極值點(diǎn)是否在定義域之內(nèi);(3)放縮法是證明不等式問題經(jīng)常采用的方法。

例2 (2 0 1 8年“南柳聯(lián)考”)已知函數(shù)f(x)=l nx-a x2+(2-a)x。

(1)討論f(x)的單調(diào)性。

(2)設(shè)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是x1,x2,求證：

思路分析：(1)由已知條件得f'(x)=

①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)＞0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

②當(dāng)a＞0時(shí),由f'(x)=0得x=,當(dāng)0＜x＜時(shí) ,f'(x)＞0,f(x)在 (0 ,)上單調(diào)遞增;當(dāng)x≥時(shí),f'(x)≤0,f(x)在上單調(diào)遞減。

(2)當(dāng)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),如何證明如何構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)?構(gòu)造一個(gè)什么樣的新函數(shù)才能有利于問題的解決?

由(1)知道,當(dāng)a＞0時(shí)是f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn),f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于的兩側(cè),我們不妨設(shè)因?yàn)閒'(x)在上單調(diào)遞減,所以證明等價(jià)于證明下面就從分析的必要條件入手。

證明F(x)＜0,注意到F()=0,所以只需證F(x)＜F(),則只要證F(x)在(0)上單調(diào)遞增即可。

事實(shí)上,F'(x)=f'(x)-[f (-x)']

顯然F'(x)＞0,問題得到解決。

評析：(1)解答第2問時(shí),一定要結(jié)合第1問的情況,注意利用第1問的結(jié)果。(2)要學(xué)會(huì)自覺運(yùn)用分析的方法,這樣的解題才具有方向性,避免走彎路。

例3 已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)·ex-x。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍。

思路分析：本題兩問均與字母參數(shù)a有關(guān),所以要對a分類討論。

(1)f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2 ex+1)。

當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)＜0,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減。

當(dāng)a＞0時(shí),令aex=1,得x=l n, 當(dāng)

x＞l n時(shí),f'(x)＞0,f(x)在(l n,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)x＜l n時(shí), f'(x)＜0,f(x)在 (- ∞,l n)上單調(diào)遞減。

(2)由(1)知,當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)至多一個(gè)零點(diǎn)。f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件是a＞0,由(1)知,此時(shí)x=l n是f(x)的極小值點(diǎn),所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)的充要條件是f(l n)＜0,且在l n的左、右兩側(cè)均存在函數(shù)值大于零的點(diǎn)。

由f(l n)=1-+l na＜0,得l na+1＜,當(dāng)0＜a＜1時(shí),此不等式成立。

當(dāng)a≥1時(shí),不等式不成立,故0＜a＜1。當(dāng)0＜a＜1時(shí),l n＞0,在l n的左側(cè) 取點(diǎn)x=-1,則

現(xiàn)在問題是：如何在l n的右方取點(diǎn)?由于l n的值不定,那么取什么樣的點(diǎn)才能使該點(diǎn)在l n的右方,且在該點(diǎn)處的函數(shù)值還必須是正數(shù)?

這里我們采取待定系數(shù)法,設(shè)滿足上述條件的點(diǎn)為x=t,f(t)=ae2t+(a-2)ett=et(aet+a-2)-t＞0,易知et＞t,所以只需aet+a-2=1即可,所以et=-1,解得

t=l n(- 1)。

因l n(-1)=l n(+-1)＞l n, 故取t=l n(a3- 1),有f(l n (a3- 1))＞0。

綜上,當(dāng)0＜a＜1時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)。

評析：(1)上面用到的et＞t要加以證明;(2)待定系數(shù)法是一種逆向思維與分析的方法,它對拓寬思路很有益處。

例4 設(shè)函數(shù)f(x)=l n(x+1)+,曲線y=f(x)與直線y=x在(0,0)處相切。

(1)求a,b值;

(2)證明：當(dāng)

思路分析：(1)由已知條件可得f'(x)=得a=0,b=-1。

(2)證不等式即證在(0,2)上成立,此不等式中既有自然對數(shù),又有根式和分式,如果直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo),不僅運(yùn)算煩瑣,而且所求導(dǎo)函數(shù)形式復(fù)雜,不易求解,故應(yīng)考慮放縮法。

令h(x)=l n(x+1)-x,則h'(x)=當(dāng)x≥0時(shí),h'(x)≤0,即h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,所以h(x)≤h(0)=0,得l n(x+1)≤x,當(dāng)x=0時(shí)取等號。

因?yàn)?＜x＜2,所以g'(x)＜0。

所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,當(dāng)x→0時(shí),g(x)→0,所以g(x)＜0。

綜上可得

評析：(1)放縮法是用在g'(x)的表達(dá)式上,而不要直接對g(x)放縮,那樣就不是證明原不等關(guān)系了。

(2)導(dǎo)數(shù)問題中比較常用的不等式有：ex≥x+1,兩邊取對數(shù)有x≥l n(x+1)(x＞-1),用x-1代換x,得ex-1≥x,x-1≥l nx(x＞0),用x+1代換x,得ex+1≥x+2,x+1≥l n(x+2)(x＞-2),以及其他變形不等式,如等,還有本題中用到的由均值不等式推出的其他不等關(guān)系。

(3)以上不等式在使用時(shí)要先給出證明。

例5 已知函數(shù)f(x)=a x2-a-l nx(a∈R)。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

思路分析：本題兩問均與字母參數(shù)有關(guān),所以需進(jìn)行分類討論。

(1)顯然當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)＜0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

當(dāng)a＞0時(shí),令2a x2=1,得x=當(dāng)時(shí),f'(x)＞0,則 f(x)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),f'(x)＜0,則f(x)在上單調(diào)遞減。

(2)根據(jù)題目要求,我們可以將字母參數(shù)a從不等式中反解出來,這樣得到然后求右邊函數(shù)的最大值,但是可以想象,對右式求導(dǎo)后的式子必定非常煩瑣,于是我們可以另辟蹊徑。注意到第1問已經(jīng)對f(x)的單調(diào)性做過討論,所以我們可以從不等式右邊的入手。

設(shè)令h(x)=ex-1-x,由h'(x)=ex-1-1＞0知h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x)＞h(1)=0,得g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)＞g(1)=0。

又由(1)知,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)＜f(1)=0,得f(x)＜g(x),即所證不等式在a≤0時(shí)不成立。

當(dāng)a＞0時(shí),由于x∈(1,+∞),所以還要討論與1的大小。

當(dāng),由(1)知,f(x)在上 單調(diào)遞減,所 以 當(dāng)1＜時(shí),f(x)＜f(1)=0,不等式

0f(x)＞g(x)不成立。

當(dāng)＜1,在(1,+∞)上f(x)＞0,g(x)＞0,無法判斷f(x)-g(x)的符號,故構(gòu)造函數(shù)φ(x)=f(x)-g(x)(x＞1),由f(1)=g(1)=0,得φ(1)=0,則f(x)-g(x)＞0等價(jià)于φ(x)＞φ(1)(x＞1),故只需證明φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增即可。

綜上,當(dāng)a≥時(shí),f(x)＞g(x)在(1,+∞)恒成立。

評析：這里采用了化繁為簡,各個(gè)擊破的解題策略和放縮法。

例6 已知f(x)=a(x-l nx)+

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a=1時(shí),證明：f(x)＞f'(x)+對任意x∈[1,2]成立。

思路分析：(1)f(x)的定義域是x＞0,其表達(dá)式含字母參數(shù)a,所以要對a進(jìn)行分類討論。

由條件得這里要分a=0與a≠0兩種情況。

當(dāng)a≠0時(shí),f'(x)=則要分a＞0與a＜0兩種情況,在a＞0時(shí),還要分三種情況,一定要對全體實(shí)數(shù)a討論,做到不重不漏。

①當(dāng)a≤0時(shí),僅有x=1為極值點(diǎn),當(dāng)0＜x＜1時(shí),f'(x)＞0,f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增;在(1,+∞)上單調(diào)遞減。

②當(dāng),當(dāng)0＜x≤1時(shí),f'(x)≥0,f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),f'(x)≤0,f(x)在上單調(diào)遞減;當(dāng)＞0,f(x)在上單調(diào)遞增。

③當(dāng)a=2時(shí),＞0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

④當(dāng)a＞2時(shí),當(dāng)0＜x≤f(x)在上 單 調(diào)遞增;當(dāng)在上單調(diào)遞減;當(dāng)x＞1時(shí),f(x)＞0,f'(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增。

然后綜上所述,給出單調(diào)性的結(jié)論即可。

(2)當(dāng)a=1時(shí),f(x)-f'(x)=x-l nx要證f(x)-f'(x)＞在x∈[1,2]上成立,常規(guī)思路是證明f(x)-f'(x)的最小值大于,不難看出f(x)-f'(x)的表達(dá)式比較煩瑣冗長,它的導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)四次分式函數(shù),更是令人望而生畏。

這里我們注意到,由l nx≤x-1(x＞0),可得x-l nx-1≥0,當(dāng)x=1時(shí)取等號,故只要證即可。

設(shè)h(x)=x∈[1,2],則

令g(x)=-3x2-2x+6,顯然g(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,由g(2)=-1 0,g(1)=1,知在[1,2]中有x0,使得g(x0)=0,當(dāng)1≤x＜x0時(shí),g(x)＞g(x0)=0;當(dāng)x0≤x≤2時(shí),g(x)≤g(x0)=0,所以x0是h(x)的一個(gè)極大值點(diǎn),h(x)的最小值應(yīng)為h(1)與h(2)中的較小者,由h(1)=2,h(2)=,得

h(x)≥。

因?yàn)閤-l nx-1≥0與h(x)≥不能同時(shí)取等號,故有f(x)-f'(x)＞,命題得證。

評析：(1)這里的x-l nx-1≥0(x＞0)需加以證明。(2)面對一個(gè)較為繁雜的表達(dá)式,我們可以采用一分為二,各個(gè)擊破的策略。(3)注意放縮法和常見不等式的應(yīng)用。