■鄭州市教研室 段全慶

數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來,使代數(shù)問題幾何化,幾何問題代數(shù)化,通過數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)形結(jié)合思想主要包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”。“以形助數(shù)”指借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系,即以形作為手段,數(shù)作為目的,例如,應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)。

“以數(shù)輔形”指借助于數(shù)的精確性、規(guī)范性和嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性,即以數(shù)作為手段,形作為目的,例如,應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。

運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時,要遵循三個原則：

(1)等價性原則。在數(shù)形結(jié)合時,代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的,否則解題將會出現(xiàn)漏洞。有時,由于圖形的局限性,不能完整地表現(xiàn)數(shù)的一般性,這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明,要注意其帶來的負(fù)面效應(yīng)。

(2)雙方性原則。既要進行幾何直觀分析,又要進行相應(yīng)的代數(shù)抽象探究,僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易出錯。

(3)簡單性原則。不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合。具體運用時,一要考慮是否可行和是否有利;二要選擇好突破口,恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化;三要挖掘隱含條件,準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍,特別是運用函數(shù)圖像時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線。

在高考試題中,選擇題、填空題由于不要求寫出解答過程,我們可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)化,找到簡捷的思路,快速而準(zhǔn)確地作答;對于要求完整地寫出解題過程的解答題,數(shù)形結(jié)合的思想主要用于思路分析、化簡運算及推理的過程,快速準(zhǔn)確地分析問題、解決問題。

數(shù)形結(jié)合思想方法可以解決很多數(shù)學(xué)問題,比如,在解析幾何中與斜率、距離、截距、定義等相關(guān)的問題,在函數(shù)中與零點、單調(diào)性、比較數(shù)值大小等相關(guān)的問題,還可以運用數(shù)形結(jié)合思想解不等式、三角函數(shù)、集合、線性規(guī)劃、立體幾何等相關(guān)的問題。

在運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時,需做到以下四點：

(1)要徹底明白一些概念和運算的幾何意義,以及曲線的代數(shù)特征;

(2)要恰當(dāng)設(shè)參,合理用參,建立關(guān)系,做好轉(zhuǎn)化;

(3)要正確確定參數(shù)的取值范圍,以防重復(fù)和遺漏;

(4)精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”,使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化,幾何問題代數(shù)化,以便于問題的求解。

很多數(shù)學(xué)概念都具有明顯的幾何意義,善于利用這些幾何意義,往往能收到事半功倍的效果。

【方法講解】

一、數(shù)形結(jié)合在集合和函數(shù)中的應(yīng)用

1.集合。

在集合的學(xué)習(xí)過程中也常常利用V e n n圖和數(shù)軸來解決與集合有關(guān)的運算問題。但需要注意的是用V e n n圖和數(shù)軸表示時要表現(xiàn)出集合的三個重要性質(zhì)(無序性、確定性、互異性)。

例1 有4 5名學(xué)生,要求每人至少參加一個活動小組,參加數(shù)、理、化小組的人數(shù)分別為2 7、2 4、1 4,同時參加數(shù)、理小組的有8人,同時參加數(shù)、化小組的有6人,同時參加理、化小組的有7人,問：同時參加數(shù)、理、化小組的有多少人?

解析：在V e n n圖中,我們可用圓A、B、C分別表示參加數(shù)、理、化小組的人數(shù)(如圖1),則三圓的公共部分表示同時參加數(shù)、理、化小組的人數(shù)。

圖1

用c a r d表示集合中元素的個數(shù),則有c a r d(A)+c a r d(B)+c a r d(C)-c a r d(A∩B)-c a r d(A∩C)-c a r d(B∩C)+c a r d(A∩B∩C)=4 5,即2 7+2 4+1 4-8-6-7+c a r d(A∩B∩C)=4 5,故c a r d(A∩B∩C)=1,即同時參加數(shù)、理、化小組的有1人。

當(dāng)兩個集合的解集是不等式形式時,要求其交集或并集,常借助于數(shù)軸,把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來,通過數(shù)軸便可直觀地觀察它們的交集或并集。

例2 已知集合A={x|-2＜x＜6},B={a＜x＜3a(a∈R)}。

(1)若A?B,求a的范圍。

(2)若B?A,求a的范圍。

解析：(1)在數(shù)軸上表示出集合A,要使A?B,則集合B應(yīng)該覆蓋集合A,如圖2所示,從而有此時a值不存在。

圖2

(2)要使B?A,當(dāng)a＞0時,集合A應(yīng)該覆蓋集合B,則有成立,即0＜a≤2。當(dāng)a≤0時,B=?,B?A顯然成立。故B?A時a的取值范圍為a≤2,如圖3所示。

圖3

通過上面的例子我們可以知道,一般對于比較復(fù)雜的集合運算題,涉及求一些參數(shù)取值或范圍的題我們都可以用數(shù)形結(jié)合的方法求解。

2.對稱問題。

例3 已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(-x)=2-f(x),若函數(shù)與y=f(x)圖像的交點為(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),則

A.0 B.m C.2m D.4m

解析：函數(shù)f(x)滿足f(-x)=2-f(x),即f(x)關(guān)于點(0,1)對稱,也關(guān)于點(0,1)對稱,所以交點(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)也兩兩關(guān)于點(0,1)對稱。

所以m=m。

點評：函數(shù)圖像問題有用的結(jié)論：如果函數(shù)f(x)(x∈D),滿足?x∈D,恒有f(a+x)=f(b-x),那么函數(shù)的圖像有對稱軸;如果函數(shù)f(x)(x∈D),滿足?x∈D,恒有f(a-x)=-f(b+x),那么函數(shù)的圖像有對稱中心。利用函數(shù)圖像的對稱性轉(zhuǎn)化問題。

例4 設(shè)α、β分別是方程l o g2x+x-4=0和2x+x-4=0的根,則α+β=____。

解析：依題意,分別作出函數(shù)y=x-4、y=2x及y=l o g2x的圖像,如圖4所示,則點

圖4

B、A的橫坐標(biāo)即為α、β,可知B、A關(guān)于直線y=x對稱,由方程組得點 的坐C標(biāo)為(2,2),所以α+β=4。

點評：利用原函數(shù)與反函數(shù)的圖像性質(zhì)進行數(shù)形結(jié)合,以數(shù)助形可巧妙求解。

例5 (2 0 1 8年鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測理科1 2)已知函數(shù)f(x)=x3-9x2+2 9x-3 0,若實數(shù)m,n滿足f(m)=-1 2,f(n)=1 8,則m+n=( )。

A.6 B.8 C.1 0 D.1 2

解析：由題意知f'(x)=3x2-1 8x+2 9=3(x-3)2+2,而f(3)=3,所以f(x)關(guān)于點(3,3)對稱。因為f(m)+f(n)=6,所以m+n=6。

結(jié)論：一般的三次函數(shù)f(x)=a x3+b x2+c x+d(a≠0)的對稱中心是下面給出證明。

證法1：二次函數(shù)通過配方可以消去一次項。類似地,三次函數(shù)通過配方可以消去二次項。

證法2：設(shè)函數(shù)f(x)=a x3+b x2+c x+d(a≠0)的對稱中心為(m,n)。

按向量a=(-m,-n)將函數(shù)的圖像平移,則所得函數(shù)y=f(x+m)-n是奇函數(shù),所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化簡得(3m a+b)x2+a m2+c m+d-n=0。①

式①對x∈R恒成立,故3m a+b=0,得m

所以函數(shù)f(x)=a x3+b x2+c x+d(a≠0)的對稱中心是

可見,y=f(x)圖像的對稱中心在導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的對稱軸上,且又是兩個極值點連線的中點。

3.零點問題。

例6 已知函數(shù)f(x)=其中m＞0,若存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個不同的根,則m的取值范圍是____。

解析：由題意畫出函數(shù)圖像如圖5所示,要滿足存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個不同的根,則4m-m2＜m,解得m＞3,故m的取值范圍是(3,+∞)。

圖5

點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、函數(shù)與方程思想、分段函數(shù)的概念。解答本題,關(guān)鍵在于能否利用數(shù)形結(jié)合思想,通過對函數(shù)圖像的分析,轉(zhuǎn)化得到代數(shù)不等式。本題能較好地考查考生對數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的掌握情況,以及他們的基本運算求解能力。

例7 已知函數(shù)f(x)=|l nx|,g(x)則方程|f(x)+g(x)|=1的實根的個數(shù)為____。

解析：由|f(x)+g(x)|=1,得g(x)=±1-f(x)。如圖6所示,交點個數(shù)為4,即|f(x)+g(x)|=1有4個實根。

圖6

點評：(1)在運用函數(shù)圖像解決問題時,首先要正確理解和把握函數(shù)圖像本身的含義及其表示的內(nèi)容,熟悉圖像所能夠表達的函數(shù)的性質(zhì)。(2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點時,要注意用好其與圖像的關(guān)系,結(jié)合圖像研究。

例8 設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)=則關(guān)于x的方程f2(x)+b f(x)+c=0有7個不同實數(shù)解的充要條件是( )。

A.b＜0,c＞0

B.b＞0,c＜0

C.b＜0,c=0

D.b≥0,c=0

解析：設(shè)f(x)=t,方程t2+b t+c=0應(yīng)有2個根,由f(x)的圖像可知,如圖7所示,要使方程有7個解,應(yīng)有t2+b t+c=0的2個解t1=0,t1＞0,所以

圖7

點評：復(fù)合函數(shù)有多個解的問題,可以用換元法分析方程的根,再結(jié)合函數(shù)圖像尋找相應(yīng)的x。

4.抽象函數(shù)。

例9 設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2 π的偶函數(shù),f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)。當(dāng)x∈[0,π]時,0≤f(x)≤1;當(dāng)x∈(0,π)且f'(x)＞0。則函數(shù)y=f(x)-s i nx在[-3 π,3 π]上的零點個數(shù)為( )。

A.4 B.5 C.6 D.8

解析：因為當(dāng)x∈[0,π]時,0≤f(x)≤1,f(x)是最小正周期為2 π的偶函數(shù),所以當(dāng)x∈[-3 π,3 π]時,0≤f(x)≤1。

因為當(dāng)x∈(0,π)且時,所以當(dāng)時,f(x)為單調(diào)減函數(shù);當(dāng)時,f(x)為單調(diào)增函數(shù)。

因為當(dāng)x∈[0,π]時,0≤f(x)≤1,定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2 π的偶函數(shù),在同一坐標(biāo)系中作出y=s i nx和y=f(x)的草圖,如圖8所示。

圖8

由圖知y=f(x)-s i nx在[-3 π,3 π]上的零點個數(shù)為6,故選C。

5.與其他知識的交匯問題。

例1 0 已知數(shù)列{an}滿足an=最大時,n=____。

解析：考慮函數(shù)y=的圖像,如圖9,注意到x∈N*,有n=9時,an最大。

圖9

例1 1 如圖1 0,在直角三棱柱A B C-A1B1C1中,,A B=A C=A A=

11,已知G與E分別為A1B1和C C1的中點,D與F分別為線段A C和A B上的動點(不包括端點),若G D⊥E F,則線段D F的長度取值范圍為 。

圖1 0

分析：由題可知三棱柱A B C-A1B1C1是底面為直角三角形的直三棱柱,且∠B A C=可以以點A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-x y z,接著寫出空間圖形內(nèi)的幾個要點、向量的坐標(biāo)。以數(shù)助形,通過坐標(biāo)系內(nèi)的向量關(guān)系將異面的線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系。

解：建立坐標(biāo)系A(chǔ)-x y z,如圖1 1所示,

圖1 1

二、數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用

1.斜率問題。

例1 2 在區(qū)間[-1,1]上隨機地取一個數(shù)k,則事件“直線y=k x與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為____。

解析：直線y=k x與圓(x-5)2+y2=9相交,需要滿足圓心到直線的距離小于半徑,即而k∈[-1,1],所以所求概率

點評：本題是高考?？贾R內(nèi)容,考查幾何概型概率的計算。本題綜合性較強,具有“無圖考圖”的顯著特點,涉及點到直線的距離的計算。本題能較好地考查考生分析問題、解決問題的能力及基本計算能力等。

圖1 2

解析：作出不等式組所表示的可行域,如圖1 2中的陰影部分所示(包括邊界),其中A(2,1),B(1,2),令,根據(jù)t的幾何意義可知,t為可行域內(nèi)的點與坐標(biāo)原點連線的斜率,連接O A,O B,顯然O A的斜率最小,O B的斜率2最大,即由于函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,即的取值范圍是

例1 4 (2 0 1 8年鄭州市高三第一次質(zhì)量預(yù)測)設(shè)函數(shù)f(x)=|x+3|,g(x)=|2x-1|。

(1)解不等式f(x)＜g(x)。

(2)若2f(x)+g(x)＞a x+4對任意的實數(shù)x恒成立,求a的取值范圍。

解析：(1)由已知可得|x+3|＜|2x-1|,即|x+3|2＜|2x-1|2,則有3x2-1 0x-8＞0,解得或x＞4。故所求不等式的解集為

(2)由已知,設(shè)h(x)=2f(x)+g(x)=2|x+3|+|2x-1|=作出h(x)和y=a x+4的圖像,如圖1 3所示。

圖1 3

直線l：y=a x+4恒過點C(0,4),當(dāng)l在兩條虛線之間時,有2f(x)+g(x)＞a x+4對任意的實數(shù)x恒成立。此時kAC＜a≤4,所以-1＜a≤4。

2.截距問題。

例1 5 在平面上,過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影。由區(qū)域中的點在直線x+y-2=0上的投影構(gòu)成的線段記為A B,則│A B│=( )。

A.2 2 B.4 C.3 2 D.6

圖1 4

解析：如圖1 4,△P Q R為線性區(qū)域,區(qū)域內(nèi)的點在直線x+y-2=0上的投影構(gòu)成了線段 R1Q1,即 A B,而 R1Q1=R Q,由得Q(-1,1),由得R(2,2),所以|A B|=|Q R|=故選C。

點評：先根據(jù)不等式組畫出可行域,再根據(jù)題目中的定義確定|A B|的值。畫不等式組所表示的平面區(qū)域時要注意通過特殊點驗證,防止出現(xiàn)錯誤。

例1 6 設(shè)有函數(shù)f(x)=a+已知x∈[-4,0]時恒有f(x)≤g(x),求實數(shù)a的取值范圍。

解析：先將不等式f(x)≤g(x)轉(zhuǎn)化為作出y=的圖像,移動使其滿足圖像在y=上方即可。

y=表示以(-2,0)為圓心,半徑為2的圓的上半圓;表示斜率為,縱截距為1-a的平行直線系,如圖1 5所示。

設(shè)直線A T與半圓相切,傾斜角為α,t a nα=,s i nα=,所以直線A T的橫截距為,所以a=-5。

圖1 5

要滿足需要直線上方,即直線的縱截距1-a≥1-(-5),所以a≤-5。

3.距離問題。

例1 7 已知P是直線l：3x+4y+8=0上的動點,P A,P B是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,A,B是切點,C是圓心,則四邊形P A C B面積的最小值為____。

圖1 6

解析：從運動的觀點看問題,如圖1 6,當(dāng)動點P沿直線3x+4y+8=0向左上方或右下方無窮遠處運動時,越來越大,從而S也

四邊形PACB越來越大;當(dāng)點P從左上、右下兩個方向向中間運動時,S四邊形PACB變小,顯然,當(dāng)點P到達一個最特殊的位置,即C P垂直直線l時,S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值,此時|P C|=從 而|P A|=所以(S四邊形PACB)min

例1 8 若函數(shù)f(x)=(x-m)3+(x-mem-1)3-a x(m∈R)在(-∞,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),則a的最大值為____。

解析：因為f(x)在(-∞,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),所以f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立。

可以將(x-m)2+(x-mem-1)2看成直線y=x上一點P(x,x)與曲線y=xex-1上一點Q(m,mem-1)之間距離平方的最小值。

設(shè)y=x+t與y=xex-1相切于(x0,y0),令y'=(x+1)ex=1得x0=0,則切點為(0,-1),|P Q|min為(0,-1)到直線y=x的距離,即,所以

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性,分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為平方和的最值問題,利用數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化為求兩點間的距離問題,最后將難題化解。

例1 9 已知函數(shù)f(x)=x3+a x2+b x+c在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減,則a2+b2的取值范圍為____。

解析：由題意得f'(x)=3x2+2a x+b≥0在區(qū)間(-1,0)上恒成立,即畫出可行域,如圖1 7所示,則點(a,b)到原點的距離最小值為所以(a2+b2)min=所以(a2+b2)的取值范圍為

圖1 7

【反思?xì)w納】如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊含著明顯的幾何特征,就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題,即所謂的幾何法求解,比較常見的類型有：

(1兩點連線的斜率;

(2)n)兩點之間的距離;

(3)a2+b2=c2?a,b,c為直角三角形的三邊;

(4)f(a-x)=f(b+x)?f(x)圖像的對稱軸為

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究中最古老、最重要的兩個方面。它們一直都是一對矛盾體。正如矛和盾一樣總是同時存在,有“形”必有“數(shù)”,有“數(shù)”必有“形”。數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一,它可以使某些抽象問題具體化,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想,有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。因此,在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)注重運用數(shù)形結(jié)合思想,提高自身的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾用“數(shù)缺形時少直觀,形離數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休”形象生動地闡述了數(shù)形結(jié)合的意義。在解決數(shù)學(xué)問題時,根據(jù)問題的條件和結(jié)論,借助形來觀察,從而解決數(shù)的問題。而對于形的問題也可以借助數(shù)來思考。它的主要特點就是：以形助數(shù)、以數(shù)輔形。數(shù)形結(jié)合是我們必備的數(shù)學(xué)解題技能,我們要讓數(shù)形結(jié)合成為一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣!

【數(shù)形結(jié)合配套練習(xí)題】

一、選擇題

Aa.＜b＜c Ba.＜c＜b

Cb.＜c＜a Db.＜a＜c

2.設(shè)函數(shù)若f(x0)＞1,則x0的取值范圍是( )。

A.(-1,1)

B.(-1,+∞)

C.(-∞,-2)∪(0,+∞)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

3.已知直線l1：4x-3y+6=0和直線l2：x=-1,那么拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是( )。

4.設(shè)D 是由所確定的平面區(qū)域,記“平面區(qū)域D被夾在直線x=-1和x=t(t∈[-1,1])之間的部分的面積”為S,則函數(shù)S=f(t)的大致圖像為圖1 8中的( )。

圖1 8

5.設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),且f(1)=0,則不等式的解集為( )。

A.(-1,0)∪(1,+∞)

B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

D.(-1,0)∪(0,1)

6.已知點P在拋物線y2=4x上,那么當(dāng)點P到點Q(2,-1)的距離與點P到拋物線焦點的距離之和取得最小值時,點P的坐標(biāo)為( )。

7.已知函數(shù)函數(shù)g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函數(shù)y=f(x)-g(x)恰有4個零點,則b的取值范圍是( )。

8.已知函數(shù)f(x)=|x-2|+1,g(x)=k x,若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根,則實數(shù)k的取值范圍是( )。

C.(1,2) D.(2,+∞)

9.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]時,f(x)=1-x2,函數(shù)g(x)則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[-5,5]內(nèi)零點的個數(shù)是( )。

A.5 B.7

C.8 D.1 0

1 0.設(shè)P是圓(x-3)2+(y+1)2=4上的動點,Q是直線x=-3上的動點,則|P Q|的最小值為( )。

A.6 B.4

C.3 D.2

1 1.已知圓C1：(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2：(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,則|PM|+|PN|的最小值為( )。

1 2.已知函數(shù) f(x)=若|f(x)|≥a x,則a的取值范圍是( )。

A.(-∞,0] B.(-∞,1]

C.[-2,1] D.[-2,0]

1 3.若f(x)=(m-2)x2+m x+2m+1的兩個零點分別在區(qū)間(-1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi),則m的取值范圍是( )。

1 4.設(shè)f(x)=m i n{2x+4,x2+1,5-3x},則f(x)的最大值是( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

1 5.若a,b,c均為單位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,則|a+b-c|的最大值為( )。

二、填空題

1 6.A B是過橢圓b2x2+a2y2=a2b2的中心弦,F(c,0)為它的右焦點,則△F A B面積的最大值是____。

1 7.已知y=f(x)是以2為周期的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x,如果在區(qū)間[-1,3]內(nèi),關(guān)于x的方程f(x)=k x+k+1(k∈R,k≠1)有4個根,則k的取值范圍為____。

1 8.若不等式的解集為區(qū)間[a,b],且b-a=2,則k=____。

1 9.已知y=f(x)=若不等式(x)≥2x-m f恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是____。

2 0.若 函 數(shù) f (x)=(,且)的值域是a＞0a≠1[4,+∞),則實數(shù)a的取值范圍是____。

2 1.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m＞0)在區(qū)間[-8,8]上有4個不同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=____。

2 2.已知函數(shù)f(x)=|x2+3x|,x∈R。若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個互異的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍為____。

2 3.過點引直線l與曲線y=相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,當(dāng)△A O B的面積取最大值時,則直線l的斜率為____。

2 4.方程l gx=s i nx的實根的個數(shù)為____。

2 5.若方程l g(k x)=2 l g(x+1)僅有一個實根,則k的取值范圍是____。

三、解答題

2 6.(1)已知x,y滿足條件求y-3x的最大值與最小值。

(2)已知實數(shù)x,y滿足不等式組求函數(shù)的值域。

2 7.不等式x2+|2x-4|≥p對所有的x都成立,求實數(shù)p的最大值。

2 8.已知a＞0,函數(shù)f(x)=x|x-a|+1(x∈R)。

(1)當(dāng)a=1時,求所有使f(x)=x成立的x的值;

(2)當(dāng)a∈(0,3)時,求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[1,2]上的最小值;

(3)試討論函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=a的交點個數(shù)。

2 9.已知a,b∈R+且x2+a x+2b=0,x2+2b x+a=0都有實根,求a+b的取值范圍。

【數(shù)形結(jié)合配套練習(xí)題答案】

一、選擇題

1.D 2.D 3.A 4.B 5.D 6.A 7.D 8.B 9.C 1 0.B 1 1.A 1 2.D 1 3.C 1 4.B 1 5.B

二、填空題2

32 4.2 2 5.(-∞,0)∪{4}

三、解答題

2 6.(1)令y-3x=b,則y=3x+b,原問題轉(zhuǎn)化為在橢圓上找一點,使過該點的直線斜率為3,且在y軸上有最大截距或最小截距。

由圖1 9可知,當(dāng)直線y=3x+b與橢圓相切時,有最大截距或最小截距。

將y=3x+b代入得1 6 9x2+9 6b x+1 6b2-4 0 0=0。

令Δ=0,解得b=±1 3。

所以y-3x的最大值為1 3,最小值為-1 3。

(2)由解析幾何知識可知,所給的不等式組表示圓x2+y2=4的右半圓域(含邊界),可改寫為y+3=z(x+1),把z看作參數(shù),則此方程表示過定點P(-1,-3),斜率為z的直線系。

那么所求問題的幾何意義是：求過半圓域x2+y2≤4(x≥0)內(nèi)或邊界上任一點與過點P(-1,-3)的直線斜率的最大、最小值。

圖1 9

由圖2 0可知,過點P和點A(0,2)的直線斜率最大,則

過點P向半圓作切線,切線的斜率最小。設(shè)切點為B(a,b),則過點B的切線方程為a x+b y=4。

因點B在半圓周上,點P在切線上,則有

圖2 0

2 7.構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2+|2x-4|=

作出函數(shù)y=f(x)的圖像,如圖2 1所示。

圖2 1

由圖像知f(x)的最小值為3,所以p≤3,即p的最大值為3。

2 8.(1)當(dāng)a=1時,f(x)=x|x-1|+1=x,所以x=-1或x=1。

(2)f(x)=其示意圖如圖2 2所示。

圖2 2

①若0＜a≤1,當(dāng)x≥1≥a時,f(x)=x2-a x+1,對稱軸,所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,2]上遞增,f(x)min=f(1)=2-a。

②若1＜a≤2,當(dāng)x=a時,函數(shù)f(x)min=f(a)=1。

③若2＜a＜3,當(dāng)x≤2＜a時,f(x)=-x2+a x+1,對稱軸,f(1)=a,f(2)=2a-3。因為(2a-3)-a=a-3＜0,所以函數(shù)f(x)min=f(2)=2a-3。

(3)因為a＞0,所以,則y1=x2-a x+1在[a,+∞)上遞增;y2=-x2+a x+1在上遞減。

因為f(a)=1,所以當(dāng)a=1時,函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=a有2個交點。

又f,當(dāng)且僅當(dāng)a=2時,等號成立。

所以,當(dāng)0＜a＜1時,函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=a有1個交點;

當(dāng)a=1時,函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=a有2個交點;

當(dāng)1＜a＜2時,函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=a有3個交點;

當(dāng)a=2時,函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=a有2個交點;

當(dāng)a＞2時,函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=a有3個交點。

2 9.依題意得a2-8b≥0,b2-a≥0,即a2≥8b,b2≥a。 (*)

則滿足(*)式的點(a,b)在如圖2 3所示的陰影區(qū)域內(nèi)。

圖2 3

設(shè)z=a+b,則z=a+b所表示的直線系中,過點A(4,2)的直線在b軸上的截距即為滿足(*)式的z的最小值。

所以(a+b)min=4+2=6,故a+b≥6。