■陜西洋縣中學(xué) 劉大鳴(特級教師)

一、選擇題：本大題共1 2小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合M={x|y=l o g2(1-x)},N則M∩N=( )。

A.(-∞,0]∪[3,+∞)

B.(-∞,1)∪[3,+∞)

C.(-∞,1)

D.(-∞,0]

2.若復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)=( )。

A.9+i B.9-i

C.2+i D.2-i

3.中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“某賈人擅營,月入益功疾(注：從第2月開始,每月比前一月多入相同量的銅錢),1月入1 5貫,從第2月開始,每月比前一月多入5貫”,則該商人全年(按1 2個月計)共營收貫數(shù)為( )。

A.5 0 0 B.5 1 0

C.5 0 5 D.5 2 5

4.已知兩點A(1,0),B(1,3),O為坐標(biāo)原點,點C在第二象限,且∠A O C=,設(shè)則λ等于( )。

A.—2 B.1

C.-D.2

5.由直線y=x,x=和曲線y=s i nx所圍成的圖形的面積為 ( )。

6.已知不等式組表示的平面區(qū)域為M,若直線y=k x-9k+5與平面區(qū)域M 有公共點,則實數(shù)k的取值范圍是( )。

7.如果+2x)2018=a0+a1x+a2x2+…+a2018x2018,那么(a1+a3+a5+…+a2017)2-(a0+a2+a4+…+a2018)2=( )。

A.-1 B.1 C.2 D.-2

8.閱讀如圖1所示的程序框圖,當(dāng)輸出的結(jié)果S為時,判斷框中應(yīng)填( )。

圖1

Ai.≤20 1 9 Bi.≤20 1 6

Ci.≤20 1 7 Di.≤20 1 8

9.以下有關(guān)命題的說法錯誤的是( )。

A.已知隨機變量服從正態(tài)分布N(1,σ2),P(ζ≤5)=0.8 1,則P(ζ≤-3)=0.1 9

B.“x=1”是“x2+x-2=0”成立的充分不必要條件

C.“若s i nα≠,則α≠”是真命題

D.若l ga+l gb=l g(a+b),則a+b的最大值為4

1 0.若方程恰有兩個不同的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍為( )。

1 1.已知F1,F2是雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左右焦點,P為雙曲線右支上的一點,且有=0,若|P F1|=λ|P F2|,λ∈(1,2],則雙曲線的離心率的取值范圍是( )。

1 2.已知P為曲線C上的任一點,設(shè)曲線C在點P處的切線為直線l,若曲線C上的點都在直線l的上方或直線l上,則稱曲線C為“切線上的曲線”。有下列曲線：①y=2x;②y=x+;③y=x3+1;④y=x-l n(x+a),其中是“切線上的曲線”的為( )。

A.①② B.①③

C.①④ D.①③④

二、填空題：本大題共4小題,每小題5分。

1 3.若為奇函數(shù),則f[g(-2)]=______。

1 4.三棱錐的三視圖如圖2所示,則該三棱錐的外接球的表面積為____。

1 5.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,則a2018=____。

圖2

1 6.設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點,過F的直線l與C相交于A,B兩點,線段A B的垂直平分線交x軸于點M,垂足為E,若|A B=6|,則|EM|的長為____。

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

1 7.(本小題滿分1 2分)

在△A B C中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且

(Ⅰ)求A。

(Ⅱ)若a=2,求△A B C面積的最大值。

1 8.(本小題滿分1 2分)

某培訓(xùn)部從20 0 0余名大學(xué)生志愿者中隨機抽取1 0 0名參加培訓(xùn),按年齡分組,得到如表1所示的頻數(shù)分布表。

表1 __________________

(Ⅰ)若用分層抽樣的方法抽取6名,求從年齡在[2 2,2 4),[2 4,2 6),[2 6,2 8]內(nèi)的志愿者中分別抽取的人數(shù)。

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若從年齡在[2 2,2 4),[2 4,2 6),[2 6,2 8)內(nèi)的志愿者中隨機抽取2人,求這2人中年齡在[2 4,2 6)內(nèi)的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

1 9.(本小題滿分1 2分)

如圖3,在正三棱柱A B C-A1B1C1中,A A1=k A B,P是側(cè)棱A A1的中點。

(Ⅰ)當(dāng)B C1⊥P B1時,求k的值;

(Ⅱ)k=1時,求二面角B-P B1-C的正弦值。

2 0.(本小題滿分1 2分)

動點M(x,y)與定點F(1,0)的距離和它到定直線x=4的距離的比是1∶2,記點M的軌跡為C。

(Ⅰ)求C的軌跡方程;

(Ⅱ)過橢圓M的右焦點F的直線l與橢圓交于A,B兩點,點A關(guān)于原點的對稱點為D,求△A B D的面積的取值范圍。

圖3

2 1.(本小題滿分1 2分)

設(shè)函數(shù)f(x)=[a x2-(a+1)x+1]ex,在[0,1]上單調(diào)遞減。

(Ⅰ)求實數(shù)a的取值范圍;

(Ⅱ)當(dāng)＜a＜1時,求證f(x)＞f'(x)+(1-a)e在[0,1]上恒成立。

請考生在第2 2、2 3題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目,如果多做,則按所做的第一個題目計分。

2 2.(本小題滿分1 0分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

過拋物線：y2=4x的焦點作傾斜角為的直線與拋物線交于A,B兩點,以拋物線C的焦點F為極點,以x軸在點F右側(cè)部分為極軸建立極坐標(biāo)系。

(Ⅰ)求拋物線C的極坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)求弦長|A B|及△A O B的面積。(O是直角坐標(biāo)系的原點)

2 3.(本小題滿分1 0分)選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x-3|。

(Ⅰ)解不等式f(x)＞4;

(Ⅱ)已知a,b∈R,且a≠0,若|2a+b|+|2a-b|≥|a|f(x)對滿足條件的所有a,b都成立,求實數(shù)x的取值范圍。

一、選擇題

1.D 【解析】由1-x＞0,得x＜1,即M=(-∞,1)。又由x2-3x≥0,得x≤0或x≥3,即N=(-∞,0)∪[3,+∞),則M∩N=(-∞,0]。故選D。

2.A 【解析】方法1：由=1+4 i,得z+3 i=(1+4 i)(1-2 i)=9+2 i,則z=9-i,所以=9+i。故選A。

方法2：設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則(1+2 i)=[a-2(b+3)+(2a+b+3)i]=1+4 i,所以解得所以=9+i。故選A。

3.B 【解析】由題設(shè)知,該商人每月營收貫數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列{an},設(shè)首項為a1,公差為d,前n項和為Sn,因為所以5=5 1 0。故選B。

4.C 【解析】因為所以=(λ+1,3λ)。又因為∠A O C=,則點C在第二象限,所以所以λ=-。故選C。

5.B 【解析】如圖4所示,故選B。

圖4

6.B 【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域,如圖5所示,直線y=k x-9k+5=k(x-9)+5恒過定點D(9,5),則滿足條件的直線介于直線DA與直線D C之間。A(3,5),C(8,0),其中k∈[kDA,kDC],即實數(shù)k的取值范圍是[0,5]。故選B。

圖5

8.C 【解析】該程序框圖是計算S=s i n的前n項的和為時n的值,根據(jù)三角函數(shù)的圖像可知所以當(dāng)i=20 1 7時,此時n=20 1 8,退出循環(huán),輸出所以判斷框中應(yīng)填i≤20 1 7。故選C。

9.D 【解析】由隨機變量ζ服從正態(tài)分布N(1,σ2),P(ζ≤5)=0.8 1,則P(ζ≤-3)=P(ζ≥5)=1-0.8 1=0.1 9,則 A正確;

由x2-5x-6=0?(x+1)(x-6)=0?x=-1或x=6,則B正確;

因為α=,所以s i nα=是真命題,則它的逆否命題為真命題,則C正確;

因為l ga+l gb=l g(a+b),a＞0,b＞0,a+b=所以a+b≥4,故a+b的最小值為4,則D錯誤。故選D。

1 0.D 【解析】令f(x)問題轉(zhuǎn)化 為(x)與f g(x)=k x-2圖像有兩個交點的問題,作出兩個函數(shù)圖像,如圖6所示。注意g(x)為恒過(0,-2)的直線系,f(x)不過點(1,-2)和(1,2)的特點,形助數(shù)可得到實數(shù)k的取值范圍為(0,1)∪(1,4)。故選D。

圖6

1 1.C 【解析】由題知|P F1|2+|P F2|2=4c2,|P F1|-|P F2|=2a。又|P F1|=λ|P F2|,所 以 (λ2+1)|P F2|2=4c2,(λ-1)|P F2|=2a,即又λ∈(1,2],所以λ+所以故選C。

1 2.C 【解析】對于②,曲線在x=1處的切線為y=2,當(dāng)x＜0時,曲線上的點在切線下方,不符合題意。

對于③,曲線在x=0處的切線為y=1,當(dāng)x＜0時,曲線上的點在切線下方,不符合題意。

對于①,由圖像易知為“切線上的曲線”,可仿④證明。

對于④,我們來證明是“切線上的曲線”。設(shè)P(t,t-l n(t+a))為曲線上任意一點,則點P處的切線,只要證明x-l n(x+a)-恒成立即可。

設(shè)f(x)=x-l n(x+a)-,則f'(x)易知當(dāng)x=t時,f(x)取最小值,f(x)min=f(t)=0,所以f(x)≥0恒成立,④是“切線上的曲線”。故選C。

二、填空題

1 3.-1 6 【解析】由于f(x)為奇函數(shù),所以g(x)=-x2。

所以f[g(-2)]=f(-4)=g(-4)=-(-4)2=-1 6。

1 4.6 π 【解析】由題意知,把該三棱錐放入底面邊長分別為2,1,高為1的長方體中,三棱錐的直觀圖如圖7中的三棱錐A-B C D所示,則長方體的外接球的直徑所 以 S=4 πR2=6 π。

1 5.a2018=20 1 9×22016【解析】因為所

圖7

以是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,所以當(dāng)n=1時,a1=1,當(dāng)n≥2,an=Sn-Sn-1=n×2n-1-(n-1)×2n-2=(n+1)×2n-2,所以a2018=20 1 9×22016。

1 6【解析】由可得到所以t a n注意弦A B的垂直平分線的垂足為E,在R t△ME F中

三、解答題

1 7.(Ⅰ)由和正弦定理可得

因為B=π-(A+C),所以s i nAc o sC+s i nAs i nC=s i nC+s i n(A+C),整理可得s i nAs i nC=s i nC+c o sAs i nC。

因為s i nC≠0,所以1,所以

(Ⅱ)方法1：化邊滿足的關(guān)系,由余弦定理a2=b2+c2-2b cc o sA,得b2+c2-b c-4=0。

又因為b2+c2≥2b c,代入上式得b c≤4,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立。

所以當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立。

方法2：化角滿足的關(guān)系,因為2r=所以b=

因為,所以2B-所以當(dāng)時,S取得最大值,

△ABC且最大值為

1 8.(Ⅰ)由分層抽樣可得,從年齡在[2 2,2 4)內(nèi)抽取的人數(shù)為從年齡[2 4,2 6)內(nèi)抽取的人數(shù)為2,從年齡[2 6,2 8)內(nèi)抽取的人數(shù)為

所以從年齡[2 2,2 4),[2 4,2 6),[2 6,2 8)內(nèi)的志愿者中分別抽取的人數(shù)為3,2,1。

(Ⅱ)由題設(shè)及(Ⅰ)可知X的所有可能取值為0,1,2,服從超幾何分布,則P(X=0)

故X的分布列如表2：

______________表2

1 9.注意異面直線垂直和求二面角,利用向量法求解,建立如圖8所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-x y z,設(shè)A A1=b,A B=a。

圖8

因為B C1⊥P B1,所以,即所以a=b,所以k=1。

(Ⅱ)k=1時,設(shè)A A1=A B=2。

因為P(0,0,1),B10),所以

設(shè)n=(p,q,r)是平面P B1C的一個法向量,則n·故取q=1,r=2,得n=

取A B的中點M,連接CM,由正三棱柱和面面垂直的性質(zhì)定理知CM⊥平面A B B1A1。因為

(Ⅱ)方法1：由(Ⅰ)知右焦點為F(1,0),由題設(shè)知直線l的斜率不為零,設(shè)l的方程為x=m y+1,與橢圓的交點設(shè)為A(x1,y1),B(x2,y2),y1y2＜0,聯(lián)立對應(yīng)的方程組可得(3m2+4)x2+6m y-9=0,形助數(shù)知Δ＞0,且

點A關(guān)于原點的對稱點為D,原點O為A B的中點,由等底同高知,S△ABD=2S△ABO=2××1×|y-y|=|y-y|。1212

因為g(t)在(1,+∞)上遞減,所以0＜g(t)＜3。

故△A B D的面積的取值范圍為(0,3)。

方法2：由(Ⅰ)知右焦點為F(1,0),點A關(guān)于原點的對稱點為D,原點O為A B的中點,由等底同高知,S△ABD=2S△ABO=2×|A B|d=|A B|d,d為原點O到直線000A B的距離,則

由題設(shè)知直線l的斜率不為零,設(shè)l的方程為x=m y+1,與橢圓的交點設(shè)為A(x1,y1),B(x2,y2),y1y2＜0,聯(lián)立對應(yīng)的方程組可得(3m2+4)x2+6m y-9=0,形助數(shù)知Δ＞0,且

用換元法求最大值,令所以m2=t2-1,則

因為g(t)在(1,+∞)上遞減,所以0＜g(t)＜3。

故△A B D的面積的取值范圍為(0,3)。2

1.(Ⅰ)f'(x)=[a x2+(a-1)x-a]·ex。

因為f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f'(x)=[a x2+(a-1)x-a]ex≤0。

當(dāng)a＞0時,y=a x2+(a-1)x-a是開口向上的拋物線,因為f'(0)=-aex＜0,此時只需f'(1)=(a-1)e＜0,所以a＜1,所以0＜a＜1,所以當(dāng)a∈(0,1)時,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減;

當(dāng)a=0時,f'(x)=-xex≤0,此時f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減;

當(dāng)a＜0時,f'(0)=-aex＞0,不符合題意。

綜上所述,當(dāng)a的取值范圍為[0,1)時,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減。

(Ⅱ)令 g(x)=f(x)-f'(x)=(-2a x+1+a)ex,所以g'(x)=(-2a x+1-a)ex。

令g'(x)=(-2a x+1-a)ex=0,得

因為所以g(x)在上遞減,于是

因為g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,所以g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=(1+e),所以g(0)＞g(1),所以g(x)min=g(1)=(1-a)e。

故g(x)在[0,1]上恒有g(shù)(x)≥g(1)=(1-a)e,即有當(dāng)f'(x)+(1-a)e在[0,1]上恒成立。

2 2.(Ⅰ)設(shè)P(ρ,θ)為拋物線上任一點,由拋物線的定義得|P F|=ρ=d=2+ρc o sθ,所以即拋物線的極坐標(biāo)方程為

由(Ⅰ)知f(x)＞4的解集為(-∞,0)∪(2,+∞),所以f(x)≤4的解集為[0,2]。