張巖
【摘要】用xvef(G)分別表示圖G的完備色數(shù)。本文證明:若△(G)=6的平面圖G且不含有4-圈,5-圈,則xvef(G)≤△(G)+4。
【關(guān)鍵詞】△(G)=6 平面圖 完備色數(shù)
圖論起源于一個非常經(jīng)典的問題——柯尼斯堡(Konigsberg)問題。
1738年,瑞典數(shù)學家歐拉(Leornhard Euler)解決了柯尼斯堡問題。由此圖論誕生。歐拉也成為圖論的創(chuàng)始人。
1859年,英國數(shù)學家漢密爾頓發(fā)明了一種游戲:用一個規(guī)則的實心十二面體,它的20個頂點標出世界著名的20個城市,要求游戲者找一條沿著各邊通過每個頂點剛好一次的閉回路,即“繞行世界”。用圖論的語言來說,游戲的目的是在十二面體的圖中找出一個生成圈。這個生成圈后來被稱為漢密爾頓回路。這個問題后來就叫做漢密爾頓問題。由于運籌學、計算機科學和編碼理論中的很多問題都可以化為漢密爾頓問題,從而引起廣泛的注意和研究。圖論是門應用十分廣泛且內(nèi)容非常豐富的數(shù)學分支,它在生產(chǎn)管理,軍事,交通運輸,計算機網(wǎng)絡(luò)等許多領(lǐng)域都有重要的應用。在圖論的歷史中,還有一個最著名的問題一一四色猜想。這個猜想說,在一個平面或球面上的任何地圖能夠只用四種顏色來著色,使得沒有兩個相鄰的國家有相同的顏色。每個國家必須由一個單連通域構(gòu)成,而兩個國家相鄰是指它們有一段公共的邊界,而不僅僅只有一個公共點。這一問題最早于1852年由Francis Guthrie提出,最早的文字記載則現(xiàn)于德摩根于同一年寫給哈密頓的信上。包括凱萊、肯普等在內(nèi)的許多人都曾給出過錯誤的證明。泰特(Tait)、希伍德(Heawood)、拉姆齊和哈德維格(Hadwiger)對此問題的研究與推廣引發(fā)了對嵌入具有不同虧格的曲面的圖的著色問題的研究。一百多年后,四色問題仍未解決。1969年,HeinrichHeesch發(fā)表了一個用計算機解決此問題的方法。1976年,阿佩爾(Appel)和哈肯(Haken)借助計算機給出了一個證明,此方法按某些性質(zhì)將所有地圖分為1936類并利用計算機,運行了1200個小時,驗正了它們可以用四種顏色染色。四色定理是第一個主要由電腦證明的理論,這一證明并不被所有的數(shù)學家接受,因為采用的方法不能由人工直接驗證。最終,人們必須對電腦編譯的正確性以及運行這一程序的硬件設(shè)備充分信任。主要是因為此證明缺乏數(shù)學應有的規(guī)范,以至于有人這樣評論“一個好的數(shù)學證明應當像一首詩——而這純粹是一本電話簿!”染色問題是圖論的重要內(nèi)容,也是圖論的起源之一,具有重要的理論意義和實際意義。幾百年來,它深深汲引著數(shù)學家們的注意力,圖的染色問題又有很多種分類,如頂點染色,邊染色,全染色,點面染色,邊面染色,完備染色等等。關(guān)于平面圖的染色問題一直是圖論界的研究熱點。
本文討論的是完備染色問題。平面圖G的一個完備染色是指一個映射ψ:V(G)∪E(G)∪F(G)→{1,2,…,k),滿足對于任意不同的相鄰或相關(guān)聯(lián)的元素x,y∈V(G)∪E(G)∪F(G)都有ψ(x)≠ψ(y)。G的完備色數(shù)是指G有一個完備k-染色的數(shù)k的最小值。
文中未加定義的術(shù)語和記號請參閱文獻[1].用V,E,F(xiàn)δ和△分別表示平面圖G的頂點集,邊集,面集,最小度和最大度.設(shè)v是圖G的一個頂點,于v相關(guān)聯(lián)的邊的條數(shù)叫做v的度數(shù),記作d(v),若d(v)=k(d(v)≥k),則稱v為一個k-點(≥k一點)。在平面圖G中,面f∈F(G),用b(f)表示圍繞面f的閉途徑。把閉途徑b(f)的長度稱為面f的度,記為d(f),若d(f)=k(d(f)≥k),則稱f為一個k-面(≥k面)。
若V∪E∪F中的元素能用k個顏色進行染色,使得相鄰或相關(guān)聯(lián)的元素都接受不同的顏色,則稱G是k完備可染的,G的完備色數(shù)xvef(G)=min{kG是k-完備可染的}.
關(guān)于平面圖的完備染色是Ringel(1965)提出的,Kronk和Mitchem猜想:對任何簡單圖G,xvef(G)≤△(G)+4.Borodin已在1993年證明了對于任意的平面圖G:若△(G)≥12,Xvef(G)≤△(G)+2。并且后來他提出了一個問題,對于△(G)≤11的平面圖G,能否找到完備色數(shù)的一個緊的上界,對于△(G)≥7的平面圖G,Borodin證明了chvef(G)≤△(G)+4.對于△(G)≥6的平面圖G,Dong證明了chvef(G)≤△(G)+5.本文證明:定理1:若△(G)=6的平面圖G且不含有4,5-圈,則xvef(G)≤△(G)+4=10.
一、引理
設(shè)G是滿足定理1但不是10-完備可染的且6(G)=|V|+|E|盡可能小的這樣一個平面圖,則不難證明:
引理1 G是2-連通的,從而δ≥2且G的每個面的邊界都是圈。
引理2 設(shè)uv是G的一條邊,若d(u)=2,則d(u)+d(v)≥8。即2-點只能與6-點相鄰。
證明:假設(shè)d(v)≤6,且設(shè)u相鄰的另一個點為w,由引理1可得G-{u)+{vw}是簡單圖,且是10-完備可染的,現(xiàn)在把vw的色染給uw,則依次可染上uv,u。
引理3 任意點u關(guān)聯(lián)一個3面,則d(u)≥4
證明:假設(shè)存在點u,關(guān)聯(lián)一個3面f,且d(u)=2,設(shè)與邊uv關(guān)聯(lián)的另一個面為f1,設(shè)與點u相鄰的另兩個點為v,w,則G-{u}是10-完備可染的,現(xiàn)在對G進行染色,把面{f∪f1}的顏色染給f1,則可依次可染上邊uv,vw,面f,點u。假設(shè)存在點u,關(guān)聯(lián)一個3-面f,且d(u)=3,設(shè)與點u相鄰的另兩個點為v,w,則G-{uv}是10-完備可染的,設(shè)與邊uv關(guān)聯(lián)的另一個面為f1,把面{f∪f1}的顏色染給f1,刪去u的色,現(xiàn)在對G進行染色,則可依次可染上邊uv,面f,點u。
引理4 若G內(nèi)有一個5-面關(guān)聯(lián)2個2-點,則G是11-完備可染的.
證明:假設(shè)存在一個5-面f,關(guān)聯(lián)2個2-點u,v,則G-{u,v}是11-完備可染的,現(xiàn)在對G進行染色,可依次可染上面f,與u,v相關(guān)聯(lián)的四條邊,以及點u,v.
二、定理1的證明
其次考察面的新權(quán):
3-面f:由引理3,f不關(guān)聯(lián)2-點,3-點。即f關(guān)聯(lián)三個≥4-點則由R1,R2,w'(v)=-3+3×1=0.≥6-面f:w'(f)≥0。
參考文獻:
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