■江蘇省太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué) 王佩其

二項(xiàng)式定理是初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式乘法的繼續(xù),它所研究的是一種特殊的多項(xiàng)式——二項(xiàng)式的乘方的展開(kāi)式。二項(xiàng)式定理既是排列組合的直接應(yīng)用,又與概率理論中的三大概率分布之一的二項(xiàng)分布有著密切聯(lián)系。掌握好二項(xiàng)式定理既可對(duì)初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式的變形起到很好的復(fù)習(xí)、深化作用,又可為進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)做好必要的知識(shí)儲(chǔ)備。那么,什么是二項(xiàng)式定理?讓我們一起來(lái)學(xué)習(xí)吧!

一、二項(xiàng)式定理知識(shí)要點(diǎn)

(a+b)n=(n∈N*),這個(gè)公式叫作二項(xiàng)式定理,等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫作(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式,共有n+1項(xiàng),其中各項(xiàng)的系數(shù)

(一)二項(xiàng)式定理

(k∈{0,1,2,…,n})叫作二項(xiàng)式系數(shù),這個(gè)公式叫作二項(xiàng)式定理。二項(xiàng)展開(kāi)式中的叫作二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),用Tk+1表示,即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第k+1項(xiàng):Tk+1=

注意:二項(xiàng)式系數(shù)是指,它是組合數(shù),只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而與a,b的值無(wú)關(guān);而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而且也與a,b的值有關(guān)。如(a+bx)n的展開(kāi)式中,第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是,而該項(xiàng)的系數(shù)是。當(dāng)然,某些特殊的二項(xiàng)展開(kāi)式如(1+x)n,各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的。

(二)二項(xiàng)式定理的性質(zhì)

(1)對(duì)稱性。與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等。事實(shí)上,這一性質(zhì)可直接由公式Cmn=Cn-mn得到。

(2)增減性與最大值。當(dāng)項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的;當(dāng)式系數(shù)是逐漸減小的。因此二項(xiàng)式系數(shù)在中間取得最大值。當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),中間的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大。

(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和。已知(1+x)n=。令x=1,則。也就是說(shuō),(a+b)n的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n。

(4)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和,即

(三)必記結(jié)論

(1)Cknan-kbk是第k+1項(xiàng),而不是第k項(xiàng)。

(2)通項(xiàng)公式中a,b的位置不能顛倒。

(3)通項(xiàng)公式中含有a,b,n,k,Tk+1五個(gè)元素,只要知道其中四個(gè)就可以求出第五個(gè),即“知四求一”。

二、二項(xiàng)式定理基本題型

(一)求二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)

例1 已知在中,第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)。

(1)求n;(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù);(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)。

因?yàn)閞∈Z,所以k應(yīng)為偶數(shù)。故k可取2,0,-2,即r可取2,5,8。

點(diǎn)評(píng):①解此類問(wèn)題可以分兩步完成:第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式,建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負(fù)整數(shù),且n≥r);第二步是根據(jù)所求的指數(shù),再求所求解的項(xiàng)。②求二項(xiàng)展開(kāi)式中的有理項(xiàng),一般是根據(jù)通項(xiàng)公式所得到的項(xiàng),找出所有的變量的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)。解這種類型的問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其屬于整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解。若求二項(xiàng)展開(kāi)式中的整式項(xiàng),則其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù),求解方式與求有理項(xiàng)的方式一致。

(二)二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題

例2 在二項(xiàng)式(2x-3y)9的展開(kāi)式中,求:(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和;(2)各項(xiàng)系數(shù)之和;(3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和;(4)系數(shù)絕對(duì)值的和。

解析:設(shè)(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9。

(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為。

(2)各項(xiàng)系數(shù)之和為:a0+a1+a2+…+a9。

令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1。

(3)由(2)知a0+a1+a2+…+a9=-1。①

令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=(2+3)9=59。②

(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…+a8-a9=59。

點(diǎn)評(píng):二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)恒等式,對(duì)于a,b的一切值均成立。因此,可將a,b設(shè)定一些特殊的值。在使用賦值法時(shí),令a,b等于多少,應(yīng)視具體情況而定,一般可取“1,-1,0”,有時(shí)也取其他值。一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)

(三)二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

(1)計(jì)算近似值。

例3 求1.00355精確到0.001的近似值。

解析:1.00355=(1+0.0035)5=1+C15·0.0035+…,因?yàn)橹恍杞频?.001即可,所以后面的不需計(jì)算,其近似值為1.0175,約為1.018。

點(diǎn)評(píng):當(dāng)a的絕對(duì)值與1相比很小時(shí),且n不大時(shí),常用近似公式(1+a)n=1+na。

例4 求1.9975精確到0.001的近似值。

解析:1.9975=(2-0.003)5

=25-C15·0.003·24+C25·0.0032·23-…=32-0.24+0.00072-…≈31.761。

點(diǎn)評(píng):當(dāng)a的絕對(duì)值與1相比有一定的差距時(shí),我們常構(gòu)造成(b+a)n或(b-c)n的形式,然后利用二項(xiàng)式定理計(jì)算。

(2)證明整除問(wèn)題或求余數(shù)。

例5 試求199510除以8的余數(shù)。

解析:199510=(8×249+3)10。

因?yàn)槠湔归_(kāi)式中除末項(xiàng)為310外,其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù),所以求199510除以8的余數(shù)與310被8除的余數(shù)相同。

310=95=(8+1)5,展開(kāi)式中除末項(xiàng)為1外,其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù),所以310被8除的余數(shù)為1,即199510除以8的余數(shù)也為1。

點(diǎn)評(píng):解決這類問(wèn)題,必須構(gòu)成一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式。

例6 求證:32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除。

證明:32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9

=-8n-9

=+1-8n-9

=。

該式每一項(xiàng)都含有82因式,故其能被64整除。

點(diǎn)評(píng):利用二項(xiàng)式定理證明有關(guān)多項(xiàng)式的整除問(wèn)題,關(guān)鍵是將所給出的多項(xiàng)式通過(guò)恒等變形為二項(xiàng)式形式,使其展開(kāi)后的各項(xiàng)含有除式。

三、二項(xiàng)式定理的思想方法

(一)函數(shù)與方程思想

例7 已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an-1=29-n,求n。

分析:對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)求和問(wèn)題可用賦值法。

解:a0=1+1+…+1=n,an=1。令x=1,則2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+an。

所以2n+1-n-3=29-n,n=4。

點(diǎn)評(píng):二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中,求有關(guān)系數(shù)的問(wèn)題時(shí)經(jīng)常是列出方程,通過(guò)賦值求解,把二項(xiàng)展開(kāi)式看作x的函數(shù)f(x),將其系數(shù)問(wèn)題與函數(shù)值f(1)的展開(kāi)式相聯(lián)系。

(二)構(gòu)造思想

例8 已知(3x+x2)2n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x-1)n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和大992,則在求:(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)。

分析:首先根據(jù)題設(shè)條件解出n的值,再根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行求解。

在此,需構(gòu)造如下不等式組,以獲得系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的r值。

故的項(xiàng)是第4項(xiàng),T4=-C31027x4。

點(diǎn)評(píng):在運(yùn)用二項(xiàng)式定理時(shí)不能忽視展開(kāi)式中系數(shù)的正負(fù),當(dāng)然還須考慮二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)式某項(xiàng)的系數(shù)之間的差異:對(duì)于(a+b)n來(lái)說(shuō),二項(xiàng)式系數(shù)只與二項(xiàng)式的指數(shù)和項(xiàng)數(shù)有關(guān),與二項(xiàng)式中a、b的值無(wú)關(guān),而項(xiàng)的系數(shù)不僅與二項(xiàng)式的指數(shù)和項(xiàng)數(shù)有關(guān),還與二項(xiàng)式中a、b的值有關(guān)。

(三)轉(zhuǎn)化思想

例9項(xiàng)為-20,求n。

無(wú)論是哪一種情況,常數(shù)項(xiàng)均為(-1)nCn2n。令(-1)nCn2n=-20,以n=1,2,3,…逐個(gè)代入,得n=3。

點(diǎn)評(píng):這種把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為兩項(xiàng)式然后利用二項(xiàng)式定理把二項(xiàng)式展開(kāi)求值的思路,在求解二項(xiàng)式問(wèn)題中是一種常見(jiàn)的處理方法,也包括把四項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為兩項(xiàng)式。這就是說(shuō)當(dāng)我們遇到三項(xiàng)式或四項(xiàng)式時(shí),要先試一試是不是能轉(zhuǎn)換為兩項(xiàng)式,然后再用二項(xiàng)式定理解決問(wèn)題。