張 路a，季袁冬**

(四川大學 a.數(shù)學學院;b.空天科學與工程學院，成都 610065)

1 引 言

時延估計在目標定位、聲吶、雷達、地震學、通信系統(tǒng)同步和生物醫(yī)學工程等方面有著廣泛的應用[1-3]。傳統(tǒng)的雷達系統(tǒng)通常采用經(jīng)典的保證最大輸出信噪比的匹配濾波器實現(xiàn)目標的時延參數(shù)估計[4-5]，但是在多目標環(huán)境下，利用傳統(tǒng)的匹配濾波器的目標時延分辨力較低。

目前，較常用的時延估計改進算法主要有多重信號分類算法[6]和譜估計算法[7]，這兩類算法在低信噪比情況下容易產(chǎn)生大量的虛假目標。而極大似然估計算法[8]可在高信噪比時逼近克拉美羅界，在低信噪比情況下也具有很好的性能，但其運算涉及搜索算法，計算量較大從而很難直接應用。在匹配濾波器的啟發(fā)下，文獻[9-10]構造了一種具有可變指數(shù)的指數(shù)濾波器Ha，其指數(shù)a∈[-1,1]。匹配濾波器作為其指數(shù)a=1的特例，在具有單目標最大輸出信噪比的同時具有最低的目標分辨力。指數(shù)a<1的指數(shù)濾波器則可根據(jù)具體情況在充分保證輸出信噪比的情況下，產(chǎn)生高于匹配濾波器的目標分辨力，從而實現(xiàn)更高的目標參數(shù)估計精度。但是，僅僅采用單個指數(shù)濾波器進行多目標時延估計時仍存在輸出信噪比和目標時延分辨力均達不到實際需求的情況。

另一方面，針對多項式相位信號，文獻[11]提出了一種高階模糊函數(shù)對高階多項式相位信號進行降級處理，從而實現(xiàn)了多項式相位信號的參數(shù)估計。但是由于引入了非線性變換，高階模糊函數(shù)的參數(shù)估計性能會隨著輸入信噪比的降低而快速下降，同時，單個高階模糊函數(shù)在處理多分量多項式相位信號的輸出時會出現(xiàn)交叉項干擾引起的較高旁瓣[12]。針對此問題，文獻[13-14]又提出將不同階數(shù)的高階模糊函數(shù)相乘得到乘積型高階模糊函數(shù)或改進的乘積型高階模糊函數(shù)，從而在弱化了交叉項的同時增強了自身，進一步抑制了時延旁瓣。

在乘積型高階模糊函數(shù)乘積運算的啟發(fā)下，本文在指數(shù)濾波器的基礎上，融合多個指數(shù)濾波器分別在輸出信噪比和目標分辨力上的優(yōu)點，構造了一個新的多目標參數(shù)估計濾波器——乘積型指數(shù)濾波器。該濾波器可以保證較高的單目標輸出信噪比，還具有較單個指數(shù)濾波器更高的目標時延分辨力。特別地，如果將乘積型指數(shù)濾波器中的一個指數(shù)濾波器取為匹配濾波器，那么該濾波器較之傳統(tǒng)的匹配濾波器具有更理想的多目標時延估計精度，算法主要基于快速傅里葉變換和乘積運算，因此易于實現(xiàn)。

2 信號模型與指數(shù)濾波器

設雷達發(fā)射的參考信號為r(t)，其Fourier變換為R(ω)(幅度|R(ω)|，相位φR(ω))，那么疊加有噪聲的K個靜止點目標的接收信號可以表示為[3]

(1)

式中：ck和τk分別表示第k個目標的散射系數(shù)和時延，n(t)是均值為零、方差為σ的高斯白噪聲。

雷達接收機通常采用一個頻率響應為H(ω)的線性濾波器處理接收信號，為保證最優(yōu)的檢測和參數(shù)估計性能，需要單目標接收信號經(jīng)過線性濾波器的輸出信噪比[9]最大化，這通常是由經(jīng)典的匹配濾波器實現(xiàn)的[4]；另一方面，也需要輸出響應的目標分辨力常數(shù)最大化[9,15]。事實上，采用逆濾波器可實現(xiàn)目標分辨力常數(shù)最大化[9]，但是，逆濾波器的輸出信噪比較之匹配濾波器的輸出信噪比大大惡化[16]。在匹配濾波器和逆濾波器的啟發(fā)下，文獻[9]將雷達接收機線性濾波器的頻率響應推廣到更一般的形式：

Ha(ω)=|R(ω)|ae-jφR(ω)，

(2)

得到指數(shù)為a的指數(shù)濾波器，a∈[-1,1]。指數(shù)濾波器的輸出響應在τ=0處取到最大值，其輸出信噪比SNR(a)在區(qū)間[-1,1]上為增函數(shù)，目標分辨力ISL(a)在區(qū)間[-1,1]上為減函數(shù)。

3 乘積型指數(shù)濾波器及其性能分析

3.1 乘積型指數(shù)濾波器

從指數(shù)濾波器的性質可以看到，單一的指數(shù)濾波器無法同時實現(xiàn)輸出信噪比和目標分辨力的最優(yōu)化，如果能將多個指數(shù)濾波器進行融合將有望實現(xiàn)比單一指數(shù)濾波器更優(yōu)的目標參數(shù)估計性能。事實上，借用乘積型高階模糊函數(shù)[13,17]的思想，本文將多個指數(shù)器并聯(lián)后再串聯(lián)一個乘法器從而得到乘積型指數(shù)濾波器，可以證明其輸出幅度平方仍然可以對多目標接收信號實現(xiàn)時延估計，同時由于乘積運算可在弱化旁瓣等雜項的同時增強自項，因此可進一步提高分辨力抑制噪聲。

設有N個指數(shù)濾波器Hi,i=1,2,…,N,多目標接收信號為x(t)，第i個指數(shù)濾波器的頻率響應為Hi(ω)，對x(t)的輸出響應為

(3)

式中：ri(t)是指數(shù)濾波器Hi對參考信號r(t)的輸出響應，ni(t)是Hi對高斯白噪聲n(t)的輸出響應。則乘積型指濾波器的輸出為

(4)

在本文中，將N取定為2。在單目標情況下，兩個指數(shù)濾波器構成的乘積型指數(shù)濾波器的輸出為

c1r2(t-τ1)n1(t)+c1r1(t-τ1)n2(t)+

n1(t)n2(t)。

(5)

若沒有噪聲存在，因為|r1(t-τ1)|、|r2(t-τ1)|均在t=τ1處取得最大值，因此|Y(t)|也在t=τ1處取得最大值，因此最終可以通過對乘積型指數(shù)濾波器輸出的模進行極大值搜索來實現(xiàn)對多目標時延參數(shù)的估計。

3.2 乘積型指數(shù)濾波器性能分析

首先假設指數(shù)分別為a1和a2的指數(shù)濾波器分別對參考信號r(t)的響應為r1(t)和r2(t)，這兩個指數(shù)濾波器構成的乘積型指數(shù)濾波器對參考信號r(t)的響應為Y(t)=r1(t)r2(t)。由于|r1(t)|和|r2(t)|均在t=0處取得最大值，則|Y(t)|=|r1(t)||r2(t)|也將在t=0處取得最大值，類似地，它的目標時延分辨力可以定義為

(6)

由于

(7)

因此，ISL12>ISL(a1)，同理得ISL12>ISL(a2)。可見乘積型指數(shù)濾波器的目標分辨力高于單個指數(shù)濾波器的目標分辨力。圖1給出了當參考信號為一段相位編碼信號時，匹配濾波器、指數(shù)為0的指數(shù)濾波器以及相應的乘積型指數(shù)濾波器對此參考信號的輸出響應的歸一化模。其中，相位編碼采用13位巴克碼[1,1,1,1,1,-1,-1,1,1,-1,1,-1,1]，采樣間隔Δt=10-2μs，采樣時長T=2 000Δt。從圖1可以看到，乘積型指數(shù)濾波器具有更尖銳的主峰和更低的旁瓣。

(a)匹配濾波器

(b)指數(shù)為0的指數(shù)濾波器

(c)乘積型指數(shù)濾波器圖1 三種濾波器輸出響應的歸一化模Fig.1 Normalized modules for the output response of the three filters

在噪聲存在的情況下，指數(shù)分別為a1和a2的指數(shù)濾波器分別對接收信號s(t)=r(t)+n(t)的響應為yn1(t)=r1(t)+n1(t)和yn2(t)=r2(t)+n2(t)，這兩個指數(shù)濾波器構成的乘積型指數(shù)濾波器對參考信號s(t)的響應為Yn(t)，則有

Yn(t)=yn1(t)yn2(t)=r1(t)r2(t)+r2(t)n1(t)+

r1(t)n2(t)+n1(t)n2(t) 。

(8)

因此，在乘積型指數(shù)濾波器的輸出Yn(t)中，信號為Y(t)=r1(t)r2(t)，噪聲為

N(t)=r2(t)n1(t)+r1(t)n2(t)+n1(t)n2(t) 。

(9)

于是輸出信噪比可定義為

(10)

當參考信號設置為圖1中的相位編碼信號時，圖2利用數(shù)值仿真給出了單個指數(shù)濾波器輸出信噪比和乘積型指數(shù)濾波器的輸出信噪比的比較結果。圖2(a)給出了當輸入信噪比在-10～10 dB之間變化時，匹配濾波器、指數(shù)為a=0的指數(shù)濾波器以及由匹配濾波器和該指數(shù)濾波器得到的乘積型指數(shù)濾波器的輸出信噪比隨著輸入信噪比變化的曲線圖，可以看到，指數(shù)濾波器的輸出信噪比較匹配濾波器低8 dB,而乘積型指數(shù)濾波器較匹配濾波器的輸出信噪比則有7.5 dB左右的提高。圖2(b)給出了輸入信噪比固定為0 dB時，匹配濾波器、指數(shù)為a的指數(shù)濾波器以及相應的乘積型指數(shù)濾波器的輸出信噪比隨著指數(shù)a變化的曲線圖，可以看到，匹配濾波器的輸出信噪比為10 dB;指數(shù)濾波器的輸出信噪比隨著指數(shù)a的增加而不斷增加并逐漸平緩地趨于匹配濾波器(a=1)輸出信噪比，這和前面給出結論一致；相應地，乘積型指數(shù)濾波器的輸出信噪比在指數(shù)a較小時低于匹配濾波器輸出信噪比；隨著指數(shù)的不斷增加，乘積型指數(shù)濾波器的輸出信噪比逐漸增加，當a>-0.1時，則超過了匹配濾波器的輸出信噪比。

(a)三種濾波器輸出信噪比

(b)指數(shù)濾波器輸出信噪比隨指數(shù)變化的曲線圖2 輸出信噪比比較Fig.2 Comparison of output SNR

從上面的討論可以看到，乘積型指數(shù)濾波器具有比單個指數(shù)濾波器更優(yōu)的輸出信噪比和目標時延分辨力，但是在多目標情況下由于乘法運算將不可避免地引入交叉項，比如，本文考慮具有兩個目標的帶噪聲回波信號s(t)=c1r(t-τ1)+c2r(t-τ2)+n(t)，指數(shù)分別為a1和a2的指數(shù)濾波器分別對接收信號s(t)的響應為yn1(t)=c1r1(t-τ1)+c2r1(t-τ2)+n1(t)和yn2(t)=c1r2(t-τ1)+c2r2(t-τ2)+n2(t)，這兩個指數(shù)濾波器構成的乘積型指數(shù)濾波器對參考信號s(t)的響應為Yn(t)，則有

Yn(t)=yn1(t)yn2(t)=

|c1|r1(t-τ1)r2(t-τ1)+|c2|2r1(t-τ2)r2(t-τ2)+

c1c2[r1(t-τ2)r2(t-τ1)+r1(t-τ1)r2(t-τ2)]+

[c1r2(t-τ1)+c2r2(t-τ2)]n1(t)+

[c1r1(t-τ1)+c2r1(t-τ2)]n2(t)+n1(t)n2(t)。

(11)

可見乘積型指數(shù)濾波器的輸出引入了交叉項c1c2[r1(t-τ2)r2(t-τ1)+r1(t-τ1)r2(t-τ2)]，由于這一項的存在可能導致輸出旁瓣的增加或主瓣的展寬，因此乘積型指數(shù)濾波器的性能不能簡單地看成優(yōu)于單個指數(shù)濾波器，它應該是一般指數(shù)濾波器和匹配濾波器的折中處理器，在一定信噪比情況下會實現(xiàn)比單個指數(shù)濾波器以及匹配濾波器更優(yōu)的參數(shù)估計性能。

4 多目標時延估計算法

結合前面的分析推導，下面給出基于乘積型指數(shù)濾波器的多目標時延估計算法的具體步驟：

Step1 將接收信號輸入匹配濾波器和指數(shù)為a的指數(shù)濾波器中，得到輸出信號。

Step2 將指數(shù)濾波器和匹配濾波器的輸出輸入乘法器，得到乘積型指數(shù)階濾波器的輸出。

Step3 對乘積型指數(shù)階濾波器輸出的模進行極大值搜索，依次得到各個目標的時延估計量。

5 仿真結果及分析

5.1 仿真實驗1

下面的仿真實驗中，選定圖1中的相位編碼信號作為參考信號，利用匹配濾波器和指數(shù)為a的指數(shù)濾波器構成乘積型指數(shù)濾波器來實現(xiàn)具有兩個目標的帶噪聲回波信號的時延參數(shù)估計，并將其結果與傳統(tǒng)的匹配濾波器以及單個的指數(shù)濾波器進行比較。其中，一強一弱兩個相鄰目標的時延參數(shù)分別為τ1=100、τ2=117，單位為采樣間隔Δt=10-2μs,散射系數(shù)分別為c1=1、c2=0.88，輸入信噪比0 dB。圖3給出了匹配濾波器、指數(shù)為a=0的指數(shù)濾波器以及相應的乘積型指數(shù)濾波器對此接收信號的響應的歸一化模，可以看到，匹配濾波器只檢測到了最大的目標，而指數(shù)濾波器檢測到了兩個目標，對兩個目標時延估計誤差分別為1、0(單位同上)；乘積型指數(shù)濾波器也檢測到了兩個目標，對兩個目標時延估計誤差分別為1、0。

(a)匹配濾波器

(b)指數(shù)a=0的指數(shù)濾波器

(c)乘積型指數(shù)濾波器圖3 參考信號為相位編碼信號時三種濾波器對兩目標接收信號輸出響應的歸一化模Fig.3 Normalized modules for the output response of the three filters when the reference signal is a phase coded signal

讓輸入信噪比在[-10,10] dB內變化，圖4給出了三種濾波器對最大目標時延估計的均方差誤差隨著輸入信噪比變化的曲線圖，其中數(shù)值仿真平均次數(shù)為5 000次?？梢钥吹剑诘托旁氡葏^(qū)域([-10,-2] dB)，具有最大輸出信噪比的匹配濾波器有最低的估計誤差；隨著信噪比的增加，在中等信噪比區(qū)域([-2,5] dB)，乘積型指數(shù)濾波器具有最低的估計誤差，這是因為乘積型指數(shù)濾波器較之指數(shù)濾波器有更高的輸出信噪比，較之匹配濾波器有更高的分辨力，但是由于乘積型指數(shù)濾波器交叉項的存在導致其在高信噪比區(qū)域([5,10] dB)的估計誤差高于指數(shù)濾波器。由此可見，乘積型指數(shù)濾波器作為匹配濾波器和指數(shù)小于1的指數(shù)濾波器的折中濾波器，在中等信噪比區(qū)域有最低的時延估計誤差。

圖4 參考信號為相位編碼信號時三種濾波器時延估計均方差誤差(指數(shù)a=0)Fig.4 Mean variance errors of delays of the three filters(a=0) when the reference signal is a phase coded signal

5.2 仿真實驗2

下面的仿真實驗中，選定一段FM調頻廣播信號(帶寬5 kHz，采樣間隔Δt=10-5s，采樣時長T=2 000Δt)，利用匹配濾波器和指數(shù)為a=0的指數(shù)濾波器構成乘積型指數(shù)濾波器來實現(xiàn)具有兩個目標的帶噪聲回波信號的時延參數(shù)估計，并將其結果與傳統(tǒng)的匹配濾波器以及單個的指數(shù)濾波器進行比較。其中，一強一弱兩個相鄰兩個目標的時延參數(shù)設置為τ1=100、τ2=105，單位為采樣間隔Δt=10-5s，散射系數(shù)分別為c1=1、c2=0.9，輸入信噪比-5 dB。圖5分別給出了匹配濾波器、指數(shù)為a=0的指數(shù)濾波器以及相應的乘積型指數(shù)濾波器對此接收信號的響應的歸一化模?？梢钥吹?，匹配濾波器只檢測到了最大的目標，而指數(shù)濾波器檢測到了兩個目標，對兩個目標時延估計誤差分別為0、0(單位同上)；乘積型指數(shù)濾波器也檢測到了兩個目標，對兩個目標時延估計誤差分別為0、0。

(a)匹配濾波器

(b)指數(shù)為a=0的指數(shù)濾波器

(c)乘積型指數(shù)濾波器圖5 參考信號為調頻廣播信號時三種濾波器輸出響應的歸一化模Fig.5 Normalized modules for the output response of the three filters when the reference signal is an FM broadcast signal

讓輸入信噪比在[-20,10] dB內變化，圖6給出了三種濾波器對最大目標時延估計的均方差誤差隨著輸入信噪比變化的曲線圖，其中數(shù)值仿真平均次數(shù)為5 000次。圖中，指數(shù)濾波器和乘積型指數(shù)濾波器的估計誤差曲線的突然中止表示估計誤差減小為0，而取對數(shù)結果為負無窮所以無法顯示。從圖6可以看到，當輸入信噪比小于-15 dB時，具有最大輸出信噪比的匹配濾波器有最低的估計誤差；隨著信噪比的增加，當輸入信噪比大于-15 dB時，乘積型指數(shù)濾波器具有最低的估計誤差。

圖6 參考信號為調頻廣播信號時三種濾波器時延估計均方差誤差(指數(shù)a=0)Fig.6 Mean variance errors of delays of the three filters(a=0) when the reference signal is an FM broadcast signal

6 結束語

本文研究了多目標情況下的目標時延估計問題。指數(shù)濾波器是一類新構造的輸出信噪比和目標時延分辨力隨指數(shù)變化的濾波器，在損失一定輸出信噪比的前提下可有效提高目標時延分辨力，從而提高目標時延估計精度，但研究表明僅采用單個指數(shù)濾波器仍存在輸出信噪比和目標時延分辨力達不到實際需求的情況。

本文在乘積型高階模糊函數(shù)乘積運算的啟發(fā)下,通過乘積運算融合多個指數(shù)濾波器分別在輸出信噪比和目標分辨力上的優(yōu)點，構造了一個新的多目標時延估計濾波器——乘積型指數(shù)濾波器，并進一步研究了乘積型指數(shù)濾波器的輸出信噪比和時延分辨力等性能。和指數(shù)濾波器不同的是,乘積型指數(shù)濾波器在保證較高單目標輸出信噪比的同時也具有較單個指數(shù)濾波器更高的目標時延分辨力。特別地，如果濾波器中的一個指數(shù)濾波器取為匹配濾波器，那么該濾波器較之傳統(tǒng)匹配濾波器具有更理想的多目標時延估計精度，并且算法易于實現(xiàn)，可用于實時性要求嚴苛的多目標參數(shù)估計任務。仿真表明，當參考信號為相位編碼信號，對于中等輸入信噪比,乘積型指數(shù)濾波器較之單一的指數(shù)濾波器和匹配濾波器有更低的時延估計誤差；當參考信號為FM調頻廣播信號時，對于大于-15 dB的輸入信噪比，乘積型指數(shù)濾波器具有更低的時延估計誤差。為達到更高的目標時延估計精度，下一步的研究可考慮結合CLEAN技術和乘積型指數(shù)濾波器來實現(xiàn)多目標時延的逐次估計。

：

[1] GU Y,GOODMAN N A. Information-theoretic compressive sensing kernel optimization and Bayesian Cramér-Rao bound for time delay estimation[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2017,65(17):4525-4537.

[2] SUN M,PINEL N,WANG Y,et al.Estimation of time delay and interface roughness by GPR using modified MUSIC[J].Signal Processing,2016,132(C):272-283.

[3] 江雪,劉源源,雷維嘉，等. 低信噪比下互相關時延估計器的FPGA實現(xiàn)[J].電訊技術,2014,54(7),951-957.

JIANG Xue,LIU Yuanyuan,LEI Weijia,et al.FPGA realization of cross-correlation time delay estimator under low SNR[J].Telecommunication Engineering,2014,54(7):951-957.(in Chinese)

[4] RICHARDS M .雷達信號處理基礎[M].邢孟道，王彤，李真芳，等，譯.2版.北京：電子工業(yè)出版社，2017.

[5] VAN H L. Detection,estimation,and modulation theory:radar-sonar signal processing and Gaussian signals in noise[M].New Jersey:John Wiley & Sons,Inc.,2002.

[6] LI X,MA X,YAN S,et al.Super-resolution time delay estimation for narrowband signal[J].IET Radar Sonar and Navigation,2012,6(8):781-787.

[7] 邱天爽,王宏禹. 一種基于最大熵譜估計的高時延分辨力時間延遲估計方法[J].電子科學學刊,1997,19(2):269-273.

QIU Tianshuang,WANG Hongyu. A high resolution time delay estimation based on the maximum entropy power spectrum estimation[J].Journal of Electronics,1997,19(2):269-273.(in Chinese)

[8] 巴斌,鄭娜娥,朱世磊，等. 利用蒙特卡羅的最大似然時延估計算法[J].西安交通大學學報,2015,49(8):24-30.

BA Bin,ZHENG Na′e,ZHU Shilei,et al.A maximum likelihood time delay estimation algorithm using Monte Carlo method[J].Journal of Xi′an Jiaotong University,2015,49(8):24-30.(in Chinese)

[9] ZHANG L,DENG K,WANG H Q,et al.Exponential filter based delay estimation algorithm for active systems in the presence of multi-targets[J].IET Radar,Sonar and Navigation,2013,7(3):287-294.

[10] ZHANG L,DENG K,WANG H Q,et al.Time-delay estimation of multiple targets with wavelet based phase-only matched filter[J].International Journal of Electronics,2014,101(7):963-975.

[11] PORAT B,FRIEDLANDER B.Asymptotic statistical analysis of the high order ambiguity function for parameter estimation of polynomial-phase signals[J].IEEE Transactions on Information Theory,1996,42(3):995-1001.

[12] 李琳.低信噪比多項式相位信號的檢測與參數(shù)估計[D].重慶:重慶大學,2015.

LI Lin. Detection and parameter estimation of polynomial phase signal in low SNR[D].Chongqing:Chongqing University,2015.(in Chinese)

[13] BARBAROSSA S,SCAGLIONE A,GIANNAKIS G B. Product high-order ambiguity function for multi-component polynomial-phase signal modeling[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1998,46(3):691-708.

[14] WANG Y,ABDELKADER A C,ZHAO B,et al.Imaging of high-speed manoeuvering target via improved version of product high-order ambiguity function[J].IET Signal Processing,2016,10(4):385-394.

[15] NUNN C J,COXSON G E. Poly phase pulse compression codes with optimal peak and integrated sidelobes[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2009,45,(2):775-781.

[16] NITZBEGE R. Radar signal processing and adaptive systems[M].Boston:Artech House Press,1999.

[17] SCAGLIONE A,BARBAROSSA S. On the spectral properties of polynomial-phase signals[J].IEEE Signal Processing Letters,2016,5(9):237-240.