(中國西南電子技術研究所，成都610036)

1 引 言

數(shù)字延時濾波器作為一種用數(shù)字運算方法完成延時濾波作用的器件，已經在現(xiàn)代通信中得到了廣泛應用[1]。目前，濾波器的分類主要有模擬濾波器和數(shù)字濾波器。文獻[2]提到的傳統(tǒng)模擬延時器，其作用原理是利用不同長度的傳輸線和切換開關實現(xiàn)延時功能，但無法保證良好的延時精度。而數(shù)字延時濾波器可以實現(xiàn)高精度延時，其設計方法主要有時域、頻域、混合域設計等。文獻[3]和文獻[4]分別介紹了數(shù)字延時濾波器的時域和頻域設計方法，但針對不同的延時值，必須重新設計濾波器系數(shù)。在實際環(huán)境中，對濾波器的要求是延時值可變，所以，雖然時域或者頻域延時濾波器設計實現(xiàn)簡單，卻無法應對延時值實時可變的要求。文獻[5]提出Farrow結構的數(shù)字延時濾波器，該延時濾波器無需更新濾波器系數(shù)就可以完成對信號延時的實時調整，克服了上述時域和頻域設計方法的缺點。文獻[6]介紹了Farrow濾波器系數(shù)的求解方法，但都需要滿足一定條件，較為受限。

本文在假設Farrow濾波器系數(shù)對稱情況下，采用加權濾波器系數(shù)設計方法。這一改進的設計方法，使得在給定的濾波器誤差條件下，能夠快速設計出滿足這一誤差要求的濾波器系數(shù)，從而完成Farrow濾波器設計。系數(shù)設計通過對迭代實現(xiàn)，通過對每次迭代產生的濾波器誤差分析，調整不同頻率和延時區(qū)間的加權值，從而使下一次迭代的結果更接近設計誤差要求，最終獲得滿足誤差要求的Farrow濾波器。本方法具有廣闊的應用前景，可以應用在如機載相控陣雷達、數(shù)字通信等領域。

2 Farrow結構的數(shù)字延時濾波器

2.1 Farrow濾波器模型

數(shù)字延時濾波器是一個FIR濾波器[7]，假設其階數(shù)為N，則系數(shù)矢量可以表示為

h=[h0h1…h(huán)N]T，

(1)

而延時為

τ=nTs+Tl。

(2)

即延時包括了n倍的采樣周期和一個小于采樣周期的值Tl。在數(shù)字系統(tǒng)中，延時采樣周期的整數(shù)倍時間是很簡單的，通過時鐘控制非常容易。所以，設計一個延時參數(shù)小于采樣周期的延時濾波器，是濾波器設計的主要工作。這樣的延時濾波器，又稱為“分數(shù)延時濾波器”[8]。定義延時參數(shù)

(3)

利用時域和頻域設計方法，都可以得到延時濾波器系數(shù)矢量h，而且不同的延時τ得到不同的濾波器系數(shù)。但相控陣天線的延時參數(shù)是實時變化的，為了實現(xiàn)不同的延時則必須重新設計濾波器系數(shù)。如果利用FPGA或者DSP平臺實現(xiàn)濾波器設計，無論采用時域還是頻域設計方法，都無法保證系數(shù)更新的實時性。

對于Farrow結構的數(shù)字延時濾波器[9]，其基本思想是認為延時濾波器的每個系數(shù)都是由延時參數(shù)D的M階多項式構成，即

(4)

根據上述表達式，F(xiàn)arrow濾波器的結構如圖1所示。從圖中可以看出，只需輸入不同的延時參數(shù)D，就可以調整濾波器的延時值，而不需要改變參數(shù)hnm。

圖1 Farrow濾波器結構圖Fig.1 Structure diagram of Farrow filter

采用基于對稱系數(shù)的濾波器系數(shù)求解方法時[10]，重新定義Farrow濾波器的系數(shù)矢量為

c=[c-N…cN]T，

(5)

(6)

同時，延時濾波器設計為一個低通濾波器，則通帶范圍為[0,απ]，其中0<α<1 。

2.2 Farrow濾波器設計目標

首先，依據延時濾波器的定義，理想延時濾波器的系統(tǒng)函數(shù)幅頻特性為[11]

H(ω,D)=e-jωD。

(7)

而在Farrow結構下，延時濾波器幅頻特性為[12]

(8)

此時重新定義一個加權誤差函數(shù)

(9)

上式中的誤差函數(shù)

E(ω,D)=C(ω,D)-H(ω,D)

(10)

是一個非負函數(shù)，滿足如下兩個性質：

W(ω,D)=W1(ω)W2(D),

(11)

W(ω,-D)=W(ω,D) 。

(12)

根據上述定義，F(xiàn)arrow濾波器的設計過程就是在已知信號帶寬參數(shù)απ和延時參數(shù)D基礎上找合適的系數(shù)集合c，也就是c(n,m)，使得函數(shù)J(c)具有最小值。

3 Farrow濾波器的系數(shù)求解

3.1 基于對稱系數(shù)的Farrow濾波器設計方法

可以證明的是，F(xiàn)arrow濾波器的系數(shù)具有對稱性[13]，并且有結論

(13)

c(0,m)=0 oddm。

(14)

把系數(shù)對稱這一結論代入Farrow濾波器的幅頻特性函數(shù)可以得到

C(ω,D)=aTBepe-jbTBopo。

(15)

式中：

a=[1 cos(ω) … cos(Nω)]T,

(16)

b=[1 sin(ω) … sin(Nω)]T,

(17)

(18)

(19)

其中：

(20)

把上述結果代入誤差函數(shù)，并考慮權函數(shù)具有共軛特性，相應的加權誤差函數(shù)

(21)

相比于式(9)，延時參數(shù)D的積分界變?yōu)閇0,0.5]，因此求c(n,m)的過程轉化為求解J(Be,Bo)最小情況下矩陣(Be,Bo)的過程。

通過變換誤差函數(shù)，加權誤差函數(shù)可以表示為

(22)

式中：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

其中：

pe=[D0D2…DM-1]T,

(29)

po=[D1D2…DM]T。

(30)

只要權值已知，上述各式都是可以求解的，其中矩陣A2、A3、A4和A5是對稱和正定的，它們可以通過Cholesky分解被分解為上三角矩陣U2、U3、U4和U5[14]。

最后，根據Lagrange乘子算法[15]，對J(Be,Bo)求導數(shù)并令為0，則可以得到

(31)

而根據前文定義，就可以確定c(n,m)的值，從而完成濾波器設計。

3.2 權值確定方法

權值的確定是求解Farrow濾波器系數(shù)必不可少的環(huán)節(jié)。權值選取得是否合適，要通過設計所得Farrow濾波器的性能進行判斷和調整。一種描述Farrow濾波器性能的指標是誤差，即把設計出來的濾波器幅頻特性C(ω,D)同理想濾波器特性H(ω,D)進行幅度和群時延進行比較。具體而言，定義幅度和群時延最大誤差分別為

εAmax=max{20lg|E(ω,p)|},ω∈[0,επ],D∈[-0.5,0.5]；

(32)

εDmax=max{|τ(ω,D)-D|},ω∈[0,επ],D∈[-0.5,0.5]。

(33)

式中：τ(ω,D)表示設計所得濾波器C(ω,D)的群時延。在開始設計時，通常會把權值取為

W1(ω)=W2(D)=1，

(34)

然后按照前文介紹的方法計算濾波器系數(shù)，再把設計出的濾波器特性代入式(32)～(33)進行性能判斷。如果滿足設計要求，則無需改變權值；如果不滿足要求，則找出不滿足要求的頻段，把權值進行分段設置。不滿足設計要求的頻段取比1大的權值，滿足設計要求的頻段取比1小的權值。重新設計濾波器系數(shù)，并再次進行性能判斷。重復這樣的操作，直到濾波器性能滿足設計要求。權值分段函數(shù)形式為

(35)

(36)

4 仿真結果

4.1 Farrow濾波器延時效果

仿真采用5個陣元的線陣結構。接收信號的射頻頻率和中頻頻率分別為2 GHz和400 MHz，采樣率為1.25 GHz?；贔arrow結構的延時濾波器，濾波器的階數(shù)設置為N=34、M=7。頻域分為[0,0.88π]和[0.88π,0.9π]兩段，延時參數(shù)分為[0,0.4]和[0.4,0.5]兩段，同時對應的權函數(shù)為

(37)

(38)

仿真結果如圖2所示。圖2(a)中實線和虛線分別表示第1個和第5個陣元接收信號的時域波形圖。我們使用設計好的Farrow濾波器對兩個陣元的信號進行延時處理，得到的輸出信號如圖2(b)所示。從圖中結果可以看出，兩路信號經Farrow濾波器延時后達到很好的同步效果。這意味著設計出的Farrow濾波器延時性能良好，本設計方法是有效的。

(a)濾波前時域波形

(b)濾波后時域波形圖2 Farrow濾波器延時效果Fig.2 The delay perfomance of Farrow filter

4.2 Farrow濾波器權函數(shù)確定方法

將濾波器的階數(shù)設置為N=34、M=7，頻域劃分為[0,0.88π]和[0.88π,0.9π]兩段，延時參數(shù)劃分為[0,0.4]和[0.4,0.5]兩段。其中，頻率[0,0.08π]和延時[0,0.4]是我們期望信號所在的區(qū)間，定義誤差門限εAmax為-105 dB。

首先，采用如下權值定義:

(39)

(40)

按照前文介紹的濾波器系數(shù)計算方法，可以得到如圖3所示幅度誤差圖形，圖中觀測數(shù)據為期望區(qū)間內的誤差最大值點。

圖3 初始權值Farrow濾波器幅度誤差Fig.3 Magnitude errors of Farrow filter with initial weights

從圖3可看出，很多期望區(qū)間里面，誤差值都大于-105 dB的閾值要求。為此，增加期望區(qū)間內權值如下：

(41)

重新計算濾波器系數(shù)，得到如圖4仿真結果?？梢钥闯?，期望信號區(qū)間內的誤差都小于-105 dB，滿足誤差要求。這表明，本文關于權值的確定方法是有效的。

圖4 改變權值后Farrow濾波器幅度誤差Fig.4 Magnitude errors of Farrow filter with changed weights

然后考慮濾波器的群時延誤差。首先設置群時延誤差門限εDmax為2.1×10-4，按照式(39) 和式(40)定義初始權值，群時延誤差曲線如圖5所示。從圖中看出，在期望信號區(qū)間內，很多值都超過了這個門限。于是，修改權值為

(42)

根據前文權值設計方法，增加期望信號區(qū)間內的權值，重新設計濾波器，得到如圖6所示群時延誤差曲線。此時，在期望信號區(qū)間內，誤差均小于門限值，達到設計要求，從而說明權值設計方法的正確性。

圖5 初始權值Farrow濾波器時延誤差Fig.5 Delay errors of Farrow filter with initial weights

圖6 改變權值后Farrow濾波器時延誤差Fig.6 Delay errors of Farrow filter with changed weights

4.3 Farrow濾波器延時精度與階數(shù)的關系

Farrow濾波器的延時精度也決定于濾波器設計過中的階數(shù)N和M。輸入信號s(t)分別采用1.5 GHz和0.3 GHz點頻信號，取D=0.3，采用不同階數(shù)的Farrow濾波器，得到輸出信號y(t)。定義誤差為

e(t)=|y(t)-s(t-τ)|，

(43)

最終得到如圖7和圖8的結果?？梢钥闯?，無論是增加階數(shù)N還是M，都可以減小延時誤差，但增加到一定數(shù)量，誤差減小不再明顯。另一方面，相同階數(shù)下，低頻信號輸入下的誤差比高頻信號輸入下的誤差更小，說明延時誤差和帶寬也有關系。

圖7 Farrow濾波器延時精度與階數(shù)N的關系Fig.7 Delay accuracy with Farrow filter versus filter order N

圖8 Farrow濾波器延時精度與階數(shù)M的關系Fig.8 Delay accuracy with Farrow filter versus filter order M

5 結 論

鑒于數(shù)字延時濾波器廣泛的應用需求和前景，本文給出了一種Farrow結構的延時濾波器設計方案及相應的加權系數(shù)求解方法。經過理論分析與仿真驗證，該方案具有靈活、可靠、精確的分數(shù)延時效果，能夠在降低計算量的同時滿足延時可變的要求。實際工程要求濾波器系數(shù)的計算時間遠遠小于延時更新時間，而Farrow濾波器結構的采用很好地解決了濾波器系數(shù)更新的問題。得益于濾波器系數(shù)的加權優(yōu)化，在誤差較大的區(qū)間內定義一個較大的正數(shù)權值，這樣就可以減小該區(qū)間的誤差，只不過這是犧牲其他較小誤差區(qū)間的濾波器性能得到的，但可以根據實際條件，均衡時域和頻域內的誤差量化，使Farrow濾波器到達最優(yōu)效果。

：

[1] JOHANSSON H,HARRIS F. Polyphase decomposition of digital fractional-delay filters[J].IEEE Signal Processing Letters,2015,22(8):1021-1025.

[2] 張金平,李建新,孫紅兵,等.寬帶相控陣天線實時延時器分級應用研究[J].現(xiàn)代雷達,2010,32(7):75-78.

ZHANG Jinping,LI Jianxin,SUN Hongbing,et al.A study on layered scheme of real-time delayers for the wideband phased array[J].Modern Radar,2010,32(7):75-78.(in Chinese)

[3] PEI S,WANG P,LIN C. Design of fractional delay filter,differintegrator,fractional hilbert transformer,and differentiator in time domain with peano kernel[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Regular Papers,2010,57(2):391-404.

[4] VARGHESE J,SUBASH S,TAIRAN N,et al.Laplacian-based frequency domain filter for the restoration of digital images corrupted by periodic noise[J].Canadian Journal of Electrical and Computer Engineering,2016,39(2):82-91.

[5] HUANG X,ZHANG B,QIN H,et al.Closed-form design of variable fractional-delay FIR filters with low or middle cutoff frequencies[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Regular Papers,2017,65(2):628-637.

[6] ABBAS M,GUSTAFSSON O,JOHANSSON H. On the fixed-point implementation of fractional-delay filters based on the Farrow structure[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Regular Papers,2013,60(4):926-937.

[7] AHN C,ZHAO S,SHMALIY Y. A revisit to strictly passive FIR filtering[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems II:Express Briefs,2018,65(4):516-520.

[8] YAO Y,HUANG X H,WU G X,et al.Joint equalization and fractional delay filter design for wideband digital beamforming[C]//Proceedings of 2015 IEEE Radar Conference. Arlington,VA,USA:IEEE,2015:823-827.

[9] HARIDAS N,ELIAS E. Reconfigurable Farrow structure based FRM filters for wireless communication systems[J].Circuits Systems and Signal Processing,2016,36(1):1-24.

[10] FILANOVSKY I. M. Property of rational functions related to band-pass transformation with application to symmetric filters design[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Regular Papers,2016,63(12):2112-2119.

[11] DAM H. Design of allpass variable fractional delay filter with powers-of-two coefficients[J].IEEE Signal Processing Letters,2015,22(10):1643-1646.

[12] BINDIMA T,ELIAS E. Design and implementation of low complexity 2-D variable digital FIR filters using single parameter tunable 2-D Farrow structure[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Regular Papers,2018,65(2):618-627.

[13] SHYU J,PEI S,HUANG Y. Two-dimensional Farrow structure and the design of variable fractional-delay 2-D FIR digital filters[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Regular Papers,2009,56(2):395-404.

[14] TAYEM N. Cholesky factorization-based parallel factor for azimuth and elevation angles estimation[J].Arabian Journal for Science and Engineering,2017,42(12):5251-5262.

[15] MEDLIN G,ADAMS J,LEONDES C. Lagrange multiplier approach to the design of FIR filters for multirate applications[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems,1988,35(10):1210-1219.