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        一種Farrow結構數(shù)字延時濾波器的設計*

        2018-05-28 09:25:42
        電訊技術 2018年5期
        關鍵詞:階數(shù)頻域時域

        (中國西南電子技術研究所,成都610036)

        1 引 言

        數(shù)字延時濾波器作為一種用數(shù)字運算方法完成延時濾波作用的器件,已經在現(xiàn)代通信中得到了廣泛應用[1]。目前,濾波器的分類主要有模擬濾波器和數(shù)字濾波器。文獻[2]提到的傳統(tǒng)模擬延時器,其作用原理是利用不同長度的傳輸線和切換開關實現(xiàn)延時功能,但無法保證良好的延時精度。而數(shù)字延時濾波器可以實現(xiàn)高精度延時,其設計方法主要有時域、頻域、混合域設計等。文獻[3]和文獻[4]分別介紹了數(shù)字延時濾波器的時域和頻域設計方法,但針對不同的延時值,必須重新設計濾波器系數(shù)。在實際環(huán)境中,對濾波器的要求是延時值可變,所以,雖然時域或者頻域延時濾波器設計實現(xiàn)簡單,卻無法應對延時值實時可變的要求。文獻[5]提出Farrow結構的數(shù)字延時濾波器,該延時濾波器無需更新濾波器系數(shù)就可以完成對信號延時的實時調整,克服了上述時域和頻域設計方法的缺點。文獻[6]介紹了Farrow濾波器系數(shù)的求解方法,但都需要滿足一定條件,較為受限。

        本文在假設Farrow濾波器系數(shù)對稱情況下,采用加權濾波器系數(shù)設計方法。這一改進的設計方法,使得在給定的濾波器誤差條件下,能夠快速設計出滿足這一誤差要求的濾波器系數(shù),從而完成Farrow濾波器設計。系數(shù)設計通過對迭代實現(xiàn),通過對每次迭代產生的濾波器誤差分析,調整不同頻率和延時區(qū)間的加權值,從而使下一次迭代的結果更接近設計誤差要求,最終獲得滿足誤差要求的Farrow濾波器。本方法具有廣闊的應用前景,可以應用在如機載相控陣雷達、數(shù)字通信等領域。

        2 Farrow結構的數(shù)字延時濾波器

        2.1 Farrow濾波器模型

        數(shù)字延時濾波器是一個FIR濾波器[7],假設其階數(shù)為N,則系數(shù)矢量可以表示為

        h=[h0h1…h(huán)N]T,

        (1)

        而延時為

        τ=nTs+Tl。

        (2)

        即延時包括了n倍的采樣周期和一個小于采樣周期的值Tl。在數(shù)字系統(tǒng)中,延時采樣周期的整數(shù)倍時間是很簡單的,通過時鐘控制非常容易。所以,設計一個延時參數(shù)小于采樣周期的延時濾波器,是濾波器設計的主要工作。這樣的延時濾波器,又稱為“分數(shù)延時濾波器”[8]。定義延時參數(shù)

        (3)

        利用時域和頻域設計方法,都可以得到延時濾波器系數(shù)矢量h,而且不同的延時τ得到不同的濾波器系數(shù)。但相控陣天線的延時參數(shù)是實時變化的,為了實現(xiàn)不同的延時則必須重新設計濾波器系數(shù)。如果利用FPGA或者DSP平臺實現(xiàn)濾波器設計,無論采用時域還是頻域設計方法,都無法保證系數(shù)更新的實時性。

        對于Farrow結構的數(shù)字延時濾波器[9],其基本思想是認為延時濾波器的每個系數(shù)都是由延時參數(shù)D的M階多項式構成,即

        (4)

        根據上述表達式,F(xiàn)arrow濾波器的結構如圖1所示。從圖中可以看出,只需輸入不同的延時參數(shù)D,就可以調整濾波器的延時值,而不需要改變參數(shù)hnm。

        圖1 Farrow濾波器結構圖Fig.1 Structure diagram of Farrow filter

        采用基于對稱系數(shù)的濾波器系數(shù)求解方法時[10],重新定義Farrow濾波器的系數(shù)矢量為

        c=[c-N…cN]T,

        (5)

        (6)

        同時,延時濾波器設計為一個低通濾波器,則通帶范圍為[0,απ],其中0<α<1 。

        2.2 Farrow濾波器設計目標

        首先,依據延時濾波器的定義,理想延時濾波器的系統(tǒng)函數(shù)幅頻特性為[11]

        H(ω,D)=e-jωD。

        (7)

        而在Farrow結構下,延時濾波器幅頻特性為[12]

        (8)

        此時重新定義一個加權誤差函數(shù)

        (9)

        上式中的誤差函數(shù)

        E(ω,D)=C(ω,D)-H(ω,D)

        (10)

        是一個非負函數(shù),滿足如下兩個性質:

        W(ω,D)=W1(ω)W2(D),

        (11)

        W(ω,-D)=W(ω,D) 。

        (12)

        根據上述定義,F(xiàn)arrow濾波器的設計過程就是在已知信號帶寬參數(shù)απ和延時參數(shù)D基礎上找合適的系數(shù)集合c,也就是c(n,m),使得函數(shù)J(c)具有最小值。

        3 Farrow濾波器的系數(shù)求解

        3.1 基于對稱系數(shù)的Farrow濾波器設計方法

        可以證明的是,F(xiàn)arrow濾波器的系數(shù)具有對稱性[13],并且有結論

        (13)

        c(0,m)=0 oddm。

        (14)

        把系數(shù)對稱這一結論代入Farrow濾波器的幅頻特性函數(shù)可以得到

        C(ω,D)=aTBepe-jbTBopo。

        (15)

        式中:

        a=[1 cos(ω) … cos(Nω)]T,

        (16)

        b=[1 sin(ω) … sin(Nω)]T,

        (17)

        (18)

        (19)

        其中:

        (20)

        把上述結果代入誤差函數(shù),并考慮權函數(shù)具有共軛特性,相應的加權誤差函數(shù)

        (21)

        相比于式(9),延時參數(shù)D的積分界變?yōu)閇0,0.5],因此求c(n,m)的過程轉化為求解J(Be,Bo)最小情況下矩陣(Be,Bo)的過程。

        通過變換誤差函數(shù),加權誤差函數(shù)可以表示為

        (22)

        式中:

        (23)

        (24)

        (25)

        (26)

        (27)

        (28)

        其中:

        pe=[D0D2…DM-1]T,

        (29)

        po=[D1D2…DM]T。

        (30)

        只要權值已知,上述各式都是可以求解的,其中矩陣A2、A3、A4和A5是對稱和正定的,它們可以通過Cholesky分解被分解為上三角矩陣U2、U3、U4和U5[14]。

        最后,根據Lagrange乘子算法[15],對J(Be,Bo)求導數(shù)并令為0,則可以得到

        (31)

        而根據前文定義,就可以確定c(n,m)的值,從而完成濾波器設計。

        3.2 權值確定方法

        權值的確定是求解Farrow濾波器系數(shù)必不可少的環(huán)節(jié)。權值選取得是否合適,要通過設計所得Farrow濾波器的性能進行判斷和調整。一種描述Farrow濾波器性能的指標是誤差,即把設計出來的濾波器幅頻特性C(ω,D)同理想濾波器特性H(ω,D)進行幅度和群時延進行比較。具體而言,定義幅度和群時延最大誤差分別為

        εAmax=max{20lg|E(ω,p)|},ω∈[0,επ],D∈[-0.5,0.5];

        (32)

        εDmax=max{|τ(ω,D)-D|},ω∈[0,επ],D∈[-0.5,0.5]。

        (33)

        式中:τ(ω,D)表示設計所得濾波器C(ω,D)的群時延。在開始設計時,通常會把權值取為

        W1(ω)=W2(D)=1,

        (34)

        然后按照前文介紹的方法計算濾波器系數(shù),再把設計出的濾波器特性代入式(32)~(33)進行性能判斷。如果滿足設計要求,則無需改變權值;如果不滿足要求,則找出不滿足要求的頻段,把權值進行分段設置。不滿足設計要求的頻段取比1大的權值,滿足設計要求的頻段取比1小的權值。重新設計濾波器系數(shù),并再次進行性能判斷。重復這樣的操作,直到濾波器性能滿足設計要求。權值分段函數(shù)形式為

        (35)

        (36)

        4 仿真結果

        4.1 Farrow濾波器延時效果

        仿真采用5個陣元的線陣結構。接收信號的射頻頻率和中頻頻率分別為2 GHz和400 MHz,采樣率為1.25 GHz?;贔arrow結構的延時濾波器,濾波器的階數(shù)設置為N=34、M=7。頻域分為[0,0.88π]和[0.88π,0.9π]兩段,延時參數(shù)分為[0,0.4]和[0.4,0.5]兩段,同時對應的權函數(shù)為

        (37)

        (38)

        仿真結果如圖2所示。圖2(a)中實線和虛線分別表示第1個和第5個陣元接收信號的時域波形圖。我們使用設計好的Farrow濾波器對兩個陣元的信號進行延時處理,得到的輸出信號如圖2(b)所示。從圖中結果可以看出,兩路信號經Farrow濾波器延時后達到很好的同步效果。這意味著設計出的Farrow濾波器延時性能良好,本設計方法是有效的。

        (a)濾波前時域波形

        (b)濾波后時域波形圖2 Farrow濾波器延時效果Fig.2 The delay perfomance of Farrow filter

        4.2 Farrow濾波器權函數(shù)確定方法

        將濾波器的階數(shù)設置為N=34、M=7,頻域劃分為[0,0.88π]和[0.88π,0.9π]兩段,延時參數(shù)劃分為[0,0.4]和[0.4,0.5]兩段。其中,頻率[0,0.08π]和延時[0,0.4]是我們期望信號所在的區(qū)間,定義誤差門限εAmax為-105 dB。

        首先,采用如下權值定義:

        (39)

        (40)

        按照前文介紹的濾波器系數(shù)計算方法,可以得到如圖3所示幅度誤差圖形,圖中觀測數(shù)據為期望區(qū)間內的誤差最大值點。

        圖3 初始權值Farrow濾波器幅度誤差Fig.3 Magnitude errors of Farrow filter with initial weights

        從圖3可看出,很多期望區(qū)間里面,誤差值都大于-105 dB的閾值要求。為此,增加期望區(qū)間內權值如下:

        (41)

        重新計算濾波器系數(shù),得到如圖4仿真結果??梢钥闯?,期望信號區(qū)間內的誤差都小于-105 dB,滿足誤差要求。這表明,本文關于權值的確定方法是有效的。

        圖4 改變權值后Farrow濾波器幅度誤差Fig.4 Magnitude errors of Farrow filter with changed weights

        然后考慮濾波器的群時延誤差。首先設置群時延誤差門限εDmax為2.1×10-4,按照式(39) 和式(40)定義初始權值,群時延誤差曲線如圖5所示。從圖中看出,在期望信號區(qū)間內,很多值都超過了這個門限。于是,修改權值為

        (42)

        根據前文權值設計方法,增加期望信號區(qū)間內的權值,重新設計濾波器,得到如圖6所示群時延誤差曲線。此時,在期望信號區(qū)間內,誤差均小于門限值,達到設計要求,從而說明權值設計方法的正確性。

        圖5 初始權值Farrow濾波器時延誤差Fig.5 Delay errors of Farrow filter with initial weights

        圖6 改變權值后Farrow濾波器時延誤差Fig.6 Delay errors of Farrow filter with changed weights

        4.3 Farrow濾波器延時精度與階數(shù)的關系

        Farrow濾波器的延時精度也決定于濾波器設計過中的階數(shù)N和M。輸入信號s(t)分別采用1.5 GHz和0.3 GHz點頻信號,取D=0.3,采用不同階數(shù)的Farrow濾波器,得到輸出信號y(t)。定義誤差為

        e(t)=|y(t)-s(t-τ)|,

        (43)

        最終得到如圖7和圖8的結果??梢钥闯?,無論是增加階數(shù)N還是M,都可以減小延時誤差,但增加到一定數(shù)量,誤差減小不再明顯。另一方面,相同階數(shù)下,低頻信號輸入下的誤差比高頻信號輸入下的誤差更小,說明延時誤差和帶寬也有關系。

        圖7 Farrow濾波器延時精度與階數(shù)N的關系Fig.7 Delay accuracy with Farrow filter versus filter order N

        圖8 Farrow濾波器延時精度與階數(shù)M的關系Fig.8 Delay accuracy with Farrow filter versus filter order M

        5 結 論

        鑒于數(shù)字延時濾波器廣泛的應用需求和前景,本文給出了一種Farrow結構的延時濾波器設計方案及相應的加權系數(shù)求解方法。經過理論分析與仿真驗證,該方案具有靈活、可靠、精確的分數(shù)延時效果,能夠在降低計算量的同時滿足延時可變的要求。實際工程要求濾波器系數(shù)的計算時間遠遠小于延時更新時間,而Farrow濾波器結構的采用很好地解決了濾波器系數(shù)更新的問題。得益于濾波器系數(shù)的加權優(yōu)化,在誤差較大的區(qū)間內定義一個較大的正數(shù)權值,這樣就可以減小該區(qū)間的誤差,只不過這是犧牲其他較小誤差區(qū)間的濾波器性能得到的,但可以根據實際條件,均衡時域和頻域內的誤差量化,使Farrow濾波器到達最優(yōu)效果。

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