(中國西南電子技術(shù)研究所,成都610036)
數(shù)字延時濾波器作為一種用數(shù)字運(yùn)算方法完成延時濾波作用的器件,已經(jīng)在現(xiàn)代通信中得到了廣泛應(yīng)用[1]。目前,濾波器的分類主要有模擬濾波器和數(shù)字濾波器。文獻(xiàn)[2]提到的傳統(tǒng)模擬延時器,其作用原理是利用不同長度的傳輸線和切換開關(guān)實(shí)現(xiàn)延時功能,但無法保證良好的延時精度。而數(shù)字延時濾波器可以實(shí)現(xiàn)高精度延時,其設(shè)計(jì)方法主要有時域、頻域、混合域設(shè)計(jì)等。文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]分別介紹了數(shù)字延時濾波器的時域和頻域設(shè)計(jì)方法,但針對不同的延時值,必須重新設(shè)計(jì)濾波器系數(shù)。在實(shí)際環(huán)境中,對濾波器的要求是延時值可變,所以,雖然時域或者頻域延時濾波器設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)簡單,卻無法應(yīng)對延時值實(shí)時可變的要求。文獻(xiàn)[5]提出Farrow結(jié)構(gòu)的數(shù)字延時濾波器,該延時濾波器無需更新濾波器系數(shù)就可以完成對信號延時的實(shí)時調(diào)整,克服了上述時域和頻域設(shè)計(jì)方法的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[6]介紹了Farrow濾波器系數(shù)的求解方法,但都需要滿足一定條件,較為受限。
本文在假設(shè)Farrow濾波器系數(shù)對稱情況下,采用加權(quán)濾波器系數(shù)設(shè)計(jì)方法。這一改進(jìn)的設(shè)計(jì)方法,使得在給定的濾波器誤差條件下,能夠快速設(shè)計(jì)出滿足這一誤差要求的濾波器系數(shù),從而完成Farrow濾波器設(shè)計(jì)。系數(shù)設(shè)計(jì)通過對迭代實(shí)現(xiàn),通過對每次迭代產(chǎn)生的濾波器誤差分析,調(diào)整不同頻率和延時區(qū)間的加權(quán)值,從而使下一次迭代的結(jié)果更接近設(shè)計(jì)誤差要求,最終獲得滿足誤差要求的Farrow濾波器。本方法具有廣闊的應(yīng)用前景,可以應(yīng)用在如機(jī)載相控陣?yán)走_(dá)、數(shù)字通信等領(lǐng)域。
數(shù)字延時濾波器是一個FIR濾波器[7],假設(shè)其階數(shù)為N,則系數(shù)矢量可以表示為
h=[h0h1…h(huán)N]T,
(1)
而延時為
τ=nTs+Tl。
(2)
即延時包括了n倍的采樣周期和一個小于采樣周期的值Tl。在數(shù)字系統(tǒng)中,延時采樣周期的整數(shù)倍時間是很簡單的,通過時鐘控制非常容易。所以,設(shè)計(jì)一個延時參數(shù)小于采樣周期的延時濾波器,是濾波器設(shè)計(jì)的主要工作。這樣的延時濾波器,又稱為“分?jǐn)?shù)延時濾波器”[8]。定義延時參數(shù)
(3)
利用時域和頻域設(shè)計(jì)方法,都可以得到延時濾波器系數(shù)矢量h,而且不同的延時τ得到不同的濾波器系數(shù)。但相控陣天線的延時參數(shù)是實(shí)時變化的,為了實(shí)現(xiàn)不同的延時則必須重新設(shè)計(jì)濾波器系數(shù)。如果利用FPGA或者DSP平臺實(shí)現(xiàn)濾波器設(shè)計(jì),無論采用時域還是頻域設(shè)計(jì)方法,都無法保證系數(shù)更新的實(shí)時性。
對于Farrow結(jié)構(gòu)的數(shù)字延時濾波器[9],其基本思想是認(rèn)為延時濾波器的每個系數(shù)都是由延時參數(shù)D的M階多項(xiàng)式構(gòu)成,即
(4)
根據(jù)上述表達(dá)式,F(xiàn)arrow濾波器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。從圖中可以看出,只需輸入不同的延時參數(shù)D,就可以調(diào)整濾波器的延時值,而不需要改變參數(shù)hnm。
圖1 Farrow濾波器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of Farrow filter
采用基于對稱系數(shù)的濾波器系數(shù)求解方法時[10],重新定義Farrow濾波器的系數(shù)矢量為
c=[c-N…cN]T,
(5)
(6)
同時,延時濾波器設(shè)計(jì)為一個低通濾波器,則通帶范圍為[0,απ],其中0<α<1 。
首先,依據(jù)延時濾波器的定義,理想延時濾波器的系統(tǒng)函數(shù)幅頻特性為[11]
H(ω,D)=e-jωD。
(7)
而在Farrow結(jié)構(gòu)下,延時濾波器幅頻特性為[12]
(8)
此時重新定義一個加權(quán)誤差函數(shù)
(9)
上式中的誤差函數(shù)
E(ω,D)=C(ω,D)-H(ω,D)
(10)
是一個非負(fù)函數(shù),滿足如下兩個性質(zhì):
W(ω,D)=W1(ω)W2(D),
(11)
W(ω,-D)=W(ω,D) 。
(12)
根據(jù)上述定義,F(xiàn)arrow濾波器的設(shè)計(jì)過程就是在已知信號帶寬參數(shù)απ和延時參數(shù)D基礎(chǔ)上找合適的系數(shù)集合c,也就是c(n,m),使得函數(shù)J(c)具有最小值。
可以證明的是,F(xiàn)arrow濾波器的系數(shù)具有對稱性[13],并且有結(jié)論
(13)
c(0,m)=0 oddm。
(14)
把系數(shù)對稱這一結(jié)論代入Farrow濾波器的幅頻特性函數(shù)可以得到
C(ω,D)=aTBepe-jbTBopo。
(15)
式中:
a=[1 cos(ω) … cos(Nω)]T,
(16)
b=[1 sin(ω) … sin(Nω)]T,
(17)
(18)
(19)
其中:
(20)
把上述結(jié)果代入誤差函數(shù),并考慮權(quán)函數(shù)具有共軛特性,相應(yīng)的加權(quán)誤差函數(shù)
(21)
相比于式(9),延時參數(shù)D的積分界變?yōu)閇0,0.5],因此求c(n,m)的過程轉(zhuǎn)化為求解J(Be,Bo)最小情況下矩陣(Be,Bo)的過程。
通過變換誤差函數(shù),加權(quán)誤差函數(shù)可以表示為
(22)
式中:
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
其中:
pe=[D0D2…DM-1]T,
(29)
po=[D1D2…DM]T。
(30)
只要權(quán)值已知,上述各式都是可以求解的,其中矩陣A2、A3、A4和A5是對稱和正定的,它們可以通過Cholesky分解被分解為上三角矩陣U2、U3、U4和U5[14]。
最后,根據(jù)Lagrange乘子算法[15],對J(Be,Bo)求導(dǎo)數(shù)并令為0,則可以得到
(31)
而根據(jù)前文定義,就可以確定c(n,m)的值,從而完成濾波器設(shè)計(jì)。
權(quán)值的確定是求解Farrow濾波器系數(shù)必不可少的環(huán)節(jié)。權(quán)值選取得是否合適,要通過設(shè)計(jì)所得Farrow濾波器的性能進(jìn)行判斷和調(diào)整。一種描述Farrow濾波器性能的指標(biāo)是誤差,即把設(shè)計(jì)出來的濾波器幅頻特性C(ω,D)同理想濾波器特性H(ω,D)進(jìn)行幅度和群時延進(jìn)行比較。具體而言,定義幅度和群時延最大誤差分別為
εAmax=max{20lg|E(ω,p)|},ω∈[0,επ],D∈[-0.5,0.5];
(32)
εDmax=max{|τ(ω,D)-D|},ω∈[0,επ],D∈[-0.5,0.5]。
(33)
式中:τ(ω,D)表示設(shè)計(jì)所得濾波器C(ω,D)的群時延。在開始設(shè)計(jì)時,通常會把權(quán)值取為
W1(ω)=W2(D)=1,
(34)
然后按照前文介紹的方法計(jì)算濾波器系數(shù),再把設(shè)計(jì)出的濾波器特性代入式(32)~(33)進(jìn)行性能判斷。如果滿足設(shè)計(jì)要求,則無需改變權(quán)值;如果不滿足要求,則找出不滿足要求的頻段,把權(quán)值進(jìn)行分段設(shè)置。不滿足設(shè)計(jì)要求的頻段取比1大的權(quán)值,滿足設(shè)計(jì)要求的頻段取比1小的權(quán)值。重新設(shè)計(jì)濾波器系數(shù),并再次進(jìn)行性能判斷。重復(fù)這樣的操作,直到濾波器性能滿足設(shè)計(jì)要求。權(quán)值分段函數(shù)形式為
(35)
(36)
仿真采用5個陣元的線陣結(jié)構(gòu)。接收信號的射頻頻率和中頻頻率分別為2 GHz和400 MHz,采樣率為1.25 GHz。基于Farrow結(jié)構(gòu)的延時濾波器,濾波器的階數(shù)設(shè)置為N=34、M=7。頻域分為[0,0.88π]和[0.88π,0.9π]兩段,延時參數(shù)分為[0,0.4]和[0.4,0.5]兩段,同時對應(yīng)的權(quán)函數(shù)為
(37)
(38)
仿真結(jié)果如圖2所示。圖2(a)中實(shí)線和虛線分別表示第1個和第5個陣元接收信號的時域波形圖。我們使用設(shè)計(jì)好的Farrow濾波器對兩個陣元的信號進(jìn)行延時處理,得到的輸出信號如圖2(b)所示。從圖中結(jié)果可以看出,兩路信號經(jīng)Farrow濾波器延時后達(dá)到很好的同步效果。這意味著設(shè)計(jì)出的Farrow濾波器延時性能良好,本設(shè)計(jì)方法是有效的。
(a)濾波前時域波形
(b)濾波后時域波形圖2 Farrow濾波器延時效果Fig.2 The delay perfomance of Farrow filter
將濾波器的階數(shù)設(shè)置為N=34、M=7,頻域劃分為[0,0.88π]和[0.88π,0.9π]兩段,延時參數(shù)劃分為[0,0.4]和[0.4,0.5]兩段。其中,頻率[0,0.08π]和延時[0,0.4]是我們期望信號所在的區(qū)間,定義誤差門限εAmax為-105 dB。
首先,采用如下權(quán)值定義:
(39)
(40)
按照前文介紹的濾波器系數(shù)計(jì)算方法,可以得到如圖3所示幅度誤差圖形,圖中觀測數(shù)據(jù)為期望區(qū)間內(nèi)的誤差最大值點(diǎn)。
圖3 初始權(quán)值Farrow濾波器幅度誤差Fig.3 Magnitude errors of Farrow filter with initial weights
從圖3可看出,很多期望區(qū)間里面,誤差值都大于-105 dB的閾值要求。為此,增加期望區(qū)間內(nèi)權(quán)值如下:
(41)
重新計(jì)算濾波器系數(shù),得到如圖4仿真結(jié)果。可以看出,期望信號區(qū)間內(nèi)的誤差都小于-105 dB,滿足誤差要求。這表明,本文關(guān)于權(quán)值的確定方法是有效的。
圖4 改變權(quán)值后Farrow濾波器幅度誤差Fig.4 Magnitude errors of Farrow filter with changed weights
然后考慮濾波器的群時延誤差。首先設(shè)置群時延誤差門限εDmax為2.1×10-4,按照式(39) 和式(40)定義初始權(quán)值,群時延誤差曲線如圖5所示。從圖中看出,在期望信號區(qū)間內(nèi),很多值都超過了這個門限。于是,修改權(quán)值為
(42)
根據(jù)前文權(quán)值設(shè)計(jì)方法,增加期望信號區(qū)間內(nèi)的權(quán)值,重新設(shè)計(jì)濾波器,得到如圖6所示群時延誤差曲線。此時,在期望信號區(qū)間內(nèi),誤差均小于門限值,達(dá)到設(shè)計(jì)要求,從而說明權(quán)值設(shè)計(jì)方法的正確性。
圖5 初始權(quán)值Farrow濾波器時延誤差Fig.5 Delay errors of Farrow filter with initial weights
圖6 改變權(quán)值后Farrow濾波器時延誤差Fig.6 Delay errors of Farrow filter with changed weights
Farrow濾波器的延時精度也決定于濾波器設(shè)計(jì)過中的階數(shù)N和M。輸入信號s(t)分別采用1.5 GHz和0.3 GHz點(diǎn)頻信號,取D=0.3,采用不同階數(shù)的Farrow濾波器,得到輸出信號y(t)。定義誤差為
e(t)=|y(t)-s(t-τ)|,
(43)
最終得到如圖7和圖8的結(jié)果??梢钥闯?,無論是增加階數(shù)N還是M,都可以減小延時誤差,但增加到一定數(shù)量,誤差減小不再明顯。另一方面,相同階數(shù)下,低頻信號輸入下的誤差比高頻信號輸入下的誤差更小,說明延時誤差和帶寬也有關(guān)系。
圖7 Farrow濾波器延時精度與階數(shù)N的關(guān)系Fig.7 Delay accuracy with Farrow filter versus filter order N
圖8 Farrow濾波器延時精度與階數(shù)M的關(guān)系Fig.8 Delay accuracy with Farrow filter versus filter order M
鑒于數(shù)字延時濾波器廣泛的應(yīng)用需求和前景,本文給出了一種Farrow結(jié)構(gòu)的延時濾波器設(shè)計(jì)方案及相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)求解方法。經(jīng)過理論分析與仿真驗(yàn)證,該方案具有靈活、可靠、精確的分?jǐn)?shù)延時效果,能夠在降低計(jì)算量的同時滿足延時可變的要求。實(shí)際工程要求濾波器系數(shù)的計(jì)算時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于延時更新時間,而Farrow濾波器結(jié)構(gòu)的采用很好地解決了濾波器系數(shù)更新的問題。得益于濾波器系數(shù)的加權(quán)優(yōu)化,在誤差較大的區(qū)間內(nèi)定義一個較大的正數(shù)權(quán)值,這樣就可以減小該區(qū)間的誤差,只不過這是犧牲其他較小誤差區(qū)間的濾波器性能得到的,但可以根據(jù)實(shí)際條件,均衡時域和頻域內(nèi)的誤差量化,使Farrow濾波器到達(dá)最優(yōu)效果。
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