錢兆蘭 劉德宏

探究式教學(xué)是新課標(biāo)倡導(dǎo)的重要方式之一。課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從多方向、多角度、多層次、全方位地開展立體式探究，可使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生，數(shù)學(xué)思維深度生長，核心素養(yǎng)落地生根。下面以《多邊形的內(nèi)角和》教學(xué)為例，談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)多維立體探究式教學(xué)的實(shí)踐與思考。

教學(xué)內(nèi)容：

義務(wù)教育教科書四年級數(shù)學(xué)（上冊）第96—97頁。

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過觀察、操作等具體活動(dòng)，探索發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與它的邊數(shù)之間的關(guān)系，用自己能理解的方式表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

2.經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和的過程，積累探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)動(dòng)手操作能力和合情推理能力。

3.在參與探索活動(dòng)的過程中，進(jìn)一步產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的好奇心，感受數(shù)學(xué)活動(dòng)的挑戰(zhàn)性和趣味性，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

教學(xué)重點(diǎn)：

探索多邊形內(nèi)角和的規(guī)律。

教學(xué)難點(diǎn)：

借探索多邊形內(nèi)角和公式，獲得規(guī)律探究的一般方法。

教學(xué)過程：

一、聯(lián)系舊知，引入新課

師：同學(xué)們，圖形是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，你知道哪些圖形？

生：三角形、正方形、長方形……

師：大家說到的一些圖形，我們用三角板就可以拼出來（課件逐個(gè)出示三角板拼成的部分實(shí)圖：三角形、長方形、正方形、平行四邊形、四邊形、五邊形……）給我們的三角板越多，拼成的圖形形狀也就越多（課件出示三角板實(shí)物隱退后的抽象圖形）

指出：像這些由三條或三條以上的線段首尾相接圍成的平面圖形，它們有一個(gè)共同的名字，叫多邊形。（板書：多邊形）

師：三角形是最簡單的多邊形。（板書：三角形）

師：在多邊形中我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°，你想到什么新問題呢？

生：四邊形、五邊形、六邊形等其他多邊形的內(nèi)角和又分別是多少度呢？

師：問題提得真好！是呀，四邊形、五邊形、六邊形等其他多邊形，它們的內(nèi)角和又分別是多少度呢？這當(dāng)中有沒有什么規(guī)律呢？今天這節(jié)課我們一起來研究多邊形的內(nèi)角和。（完善板書：多邊形的內(nèi)角和）

【評析】學(xué)生已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°，這是本課教學(xué)的知識生長點(diǎn)，“三角板拼圖形”不僅讓學(xué)生感悟圖形之間的關(guān)系，更順勢引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系舊知自主產(chǎn)生疑問，讓學(xué)生從發(fā)現(xiàn)問題、提出問題開始走向規(guī)律的探究之旅，并為接下來的“四邊形內(nèi)角和探究”埋下伏筆。

二、引導(dǎo)參與，探究新知

1.多維探究，探索規(guī)律

師：老子說過“天下難事，必做于易”。 我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°，下面讓我們從四邊形開始，展開對多邊形內(nèi)角和的研究。課件上正好有幾個(gè)四邊形，看著他們，你覺得他們的內(nèi)角和是多少呢？

生：360°。

生：我也覺得是360°。

生：360°。

師：你是怎樣想的？

生：正方形、長方形是四邊形，四個(gè)角都是直角，4個(gè)90°是360°，那么，我想其他四邊形的內(nèi)角和也是360°。

生：我的想法和他一樣。

師：我們可以確定正方形、長方形的內(nèi)角和是360°（課件在正方形、長方形四個(gè)內(nèi)角處添加直角符號），但其他四邊形的內(nèi)角和到底是不是360°呢？讓我們小組合作開始探究。

探究活動(dòng)一：小組合作，探究四邊形的內(nèi)角和是多少，初步感受分割法

師：請大家以小組為單位，選擇方法來探究“四邊形的內(nèi)角和是不是360°”。

（課件出示活動(dòng)要求： ①任選一個(gè)四邊形作為研究對象，標(biāo)出其所有內(nèi)角；②小組商議，確定驗(yàn)證方法后動(dòng)手實(shí)踐；③操作完成后，推選代表準(zhǔn)備發(fā)言交流。）

（學(xué)生分組探究活動(dòng)）

師：下面請每個(gè)小組將本組的驗(yàn)證方法與結(jié)論和大家交流。

生：我們組用量角器分別量出4個(gè)角的度數(shù)后相加，發(fā)現(xiàn)四邊形內(nèi)角和是360°。

生：我們參考以前學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和的方法，把四個(gè)角撕下來拼到一起，發(fā)現(xiàn)剛好拼成一個(gè)周角，我們認(rèn)為四邊形內(nèi)角和是360°。

生：我們沒有量也沒有撕，我們小組從剛才用三角板拼圖形得到啟發(fā)，加了一條線把四邊形分成兩個(gè)三角形，再用 180°×2就得出我們這個(gè)四邊形的內(nèi)角和是360°了。

師：沒有量也沒有撕，只加一條線，聽起來很簡單，給大家具體說說。

生：（實(shí)物投影）從頂點(diǎn)到相對頂點(diǎn)連一條線將四邊形分割成兩個(gè)三角形，原來的四個(gè)內(nèi)角被分割成了六個(gè)角，分別在兩個(gè)三角形中，三角形的內(nèi)角和是180°，再用180°×2就求出了四邊形的內(nèi)角和是360°了。

師：“求四邊形的內(nèi)角和”可以轉(zhuǎn)化成“求兩個(gè)三角形的內(nèi)角和”（課件將學(xué)生展示的再逐步呈現(xiàn)），兩個(gè)三角形六個(gè)內(nèi)角的和就是四邊形的內(nèi)角和，分割、轉(zhuǎn)化是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時(shí)經(jīng)常用到的重要的數(shù)學(xué)方法。

師：有結(jié)果不是360°的嗎？

生：沒有。（若有，關(guān)注方法及測量誤差）

師：那還有不同證明方法嗎？

生：沒有了。

師：好，我們現(xiàn)在可以確認(rèn)任意四邊形的內(nèi)角和都是 360°。（板書：四邊形 360°）

師：量、撕、分割三種方法，你更喜歡哪種方法？

生：……

師：運(yùn)用“分割法”將多邊形分成幾個(gè)三角形，幾個(gè)三角形的內(nèi)角和就是多邊形內(nèi)角和的方法較簡單。

【評析】四邊形的內(nèi)角和是探究多邊形內(nèi)角和的第一層面紗，從“自然量”“ 按需撕”到“嘗試分”是重要的思維跨越，給足時(shí)間、空間，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，自主思考，小組合作探究，初步感知規(guī)律，滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展思維。

探究活動(dòng)二：引導(dǎo)多維思考，自主探究五邊形、六邊形的內(nèi)角和，優(yōu)化分割方法

（1）探究五邊形的內(nèi)角和。

師：下面請大家從材料袋中取出老師給大家準(zhǔn)備的五邊形，求出它的內(nèi)角和。

生：自主操作。（師巡視）

匯報(bào)交流（實(shí)物投影）

生：我分割成了三個(gè)三角形（師引導(dǎo)生感受從任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)分割），180°×3=540°。

生：老師，我和他不同，我分成了四個(gè)三角形（師引導(dǎo)生感受從邊上任意一點(diǎn)出發(fā)分割），180°×4=720°。

師：現(xiàn)在出現(xiàn)了兩種結(jié)果，有沒有和這兩種都不一樣的了？

生：沒有了。

師：讓我們分別請這兩種結(jié)果的一位同學(xué)做代表，帶著他們的圖展示給大家看一下，請大家仔細(xì)觀察，說說你的想法。

（投影展示，學(xué)生觀察）

生：我認(rèn)為720°的錯(cuò)了，他多算了角。

生：我也認(rèn)為720°的錯(cuò)了。

師：他多算了哪里的角呢？（請生上來指一指）

師：是的，他多算了4個(gè)角，而且4個(gè)角的和正好是一個(gè)平角，那我們只要再用720°-180°就可以得出五邊形的內(nèi)角和是540°。（板書：五邊形 540°）

師：分法不同，角的變化情況就不同，要靈活處理。

師：老師剛剛還看到有同學(xué)這樣（課件或投影，師引導(dǎo)生感受從圖形中間任一點(diǎn)到多邊形頂點(diǎn)連線分割）將多邊形分成了幾個(gè)三角形，你們看，又該怎樣處理呢？

生：他這樣分成5個(gè)三角形也可以，但中間多出了一個(gè)周角，要用180°×5-360°=540°。

生：對，把中間多出來的角減掉。

師：分法不止一種，請仔細(xì)觀察“從任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)分割”“ 從邊上任意一點(diǎn)出發(fā)分割”“從圖形中間任一點(diǎn)到多邊形頂點(diǎn)連線分割”這三種分法，他們分別分了幾次？五邊形被分成了幾個(gè)三角形？你覺得哪一種分法在算五邊形內(nèi)角和時(shí)更方便？（課件示圖）

明確：從五邊形任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別與它不相鄰的所有頂點(diǎn)（2個(gè)相對頂點(diǎn)）連線分最方便（不會(huì)產(chǎn)生新的角，只是將原來多邊形的內(nèi)角進(jìn)行了分割）。

（2）探究六邊形的內(nèi)角和。

師：請你分一分，求出六邊形的內(nèi)角和。

生：自主連線分割，求六邊形的內(nèi)角和。

匯報(bào)交流并明確：

（課件出示圖）從六邊形任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別與它不相鄰的4個(gè)相對頂點(diǎn)連線，將六邊形分割成4個(gè)三角形，則六邊形的內(nèi)角和是180°×4=720°。（板書：六邊形 720°）

【評析】揭開四邊形的內(nèi)角和這第一層面紗后，鼓勵(lì)學(xué)生自主遷移，從“任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)分割”“ 邊上任意一點(diǎn)出發(fā)分割”“圖形中間任一點(diǎn)出發(fā)分割”這三種分割方法重點(diǎn)對五邊形的內(nèi)角和展開多維立體探究，進(jìn)一步滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

探究活動(dòng)三：探究其他多邊形的內(nèi)角和，嘗試發(fā)現(xiàn)規(guī)律并小結(jié)明確

師：讓我們繼續(xù)探究其他多邊形的內(nèi)角和。請同學(xué)們從材料袋中選一個(gè)或自己畫一個(gè)多邊形（六邊形以上、小組內(nèi)爭取不同圖形），求出它的內(nèi)角和，并小組填寫“表格一”。

生：自主探究填寫。

匯報(bào)交流：（板書）

七邊形 180°×5=900°

八邊形 180°×6=1080°

……

師：大家通過分割又快又好地求出了這些多邊形的內(nèi)角和。接下來請大家再算算五十邊形的內(nèi)角和。

生：……（動(dòng)手畫，又放棄）

師：大家怎么不動(dòng)手？

生：邊數(shù)太多，不好畫、分。

師：看來，碰上邊數(shù)較多的圖形，分一分還不是最好的方法，我們有必要來找找規(guī)律。請大家借助板書，小組完善“表格二”的填寫（課件出示“表格二”）。

生：小組填寫表格。

集體交流，完善課件表格填寫。

師：難事做于易，更做于細(xì)，請大家仔細(xì)觀察表格中相關(guān)數(shù)據(jù)，看看能發(fā)現(xiàn)什么，在小組里說一說。

生：觀察，小組交流。

集體匯報(bào)交流：

（1）多邊形的內(nèi)角和與多邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)。

n邊形n個(gè)頂點(diǎn)，任意一個(gè)頂點(diǎn)有（n-3）個(gè)相對頂點(diǎn)，分（n-3）次，分成（n-3+1）個(gè)三角形，n邊形內(nèi)角和為（n-3+1）×180°；

（2）多邊形的內(nèi)角和與多邊形的邊數(shù)有關(guān)。

n邊形n條邊，分成（n-2）個(gè)三角形，多邊形內(nèi)角和=（n-2）×180°

明確：

①（n-3+1）×180°=（n-2）×180°；

②我們一般用（多邊形的邊數(shù)-2）×180°來求多邊形的內(nèi)角和。（板書：多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×180°）

2.立體切換，多維溝通

師：用乘法分配律將多邊形的內(nèi)角和公式變一變，（邊數(shù)-2）×180°=邊數(shù)×180°-2×180°=邊數(shù)×180°-360°（課件出示四邊形分割配圖），你又有什么新發(fā)現(xiàn)？

生：……

說明：

“從多邊形中間任一點(diǎn)出發(fā)分割”比“從多邊形任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)分割”總是多出一個(gè)周角，只要“邊數(shù)×180°-360°”即可求出多邊形的內(nèi)角和?！?從多邊形邊上任意一點(diǎn)出發(fā)分割”和它們相通， 只要“（邊數(shù)-1）×180°-180°”即可，（邊數(shù)-1）×180°-180°=邊數(shù)×180°-360°。