☉湖南省長(zhǎng)沙市明德中學(xué) 何 玲

學(xué)生總害怕出錯(cuò)，很多教師面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，也是鎖緊眉頭，事實(shí)上，這些態(tài)度都是不可取的.須知，學(xué)習(xí)過程中的錯(cuò)誤是無法避免的，面對(duì)錯(cuò)誤，我們要引導(dǎo)學(xué)生積極應(yīng)對(duì)，讓錯(cuò)誤成為他們思維發(fā)展的起點(diǎn).

一、辨明邏輯關(guān)系，糾正解題思維

例1 已知函數(shù)f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=-1時(shí)存在極值且極值等于0，請(qǐng)確定m和n的值.

錯(cuò)解：因?yàn)閒（x）=x3+3mx2+nx+m2，結(jié)合題意可得

在處理數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)用到化歸的思想，比如極值的求解問題，就需要學(xué)生結(jié)合命題之間的關(guān)系，對(duì)原題進(jìn)行等價(jià)變化.對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果其導(dǎo)數(shù)f′（x）存在，那么f′（x0）=0是“函數(shù)y=f（x）在x=x0時(shí)取極值”的必要不充分條件，上述問題的分析正是學(xué)生沒有清楚把握條件的充分性與必要性，以致于邏輯不清引起了解題的錯(cuò)誤.因此在解題過程中，我們要指導(dǎo)學(xué)生立足于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫽A(chǔ)，厘清研究對(duì)象之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上做好化歸工作，完成問題的處理.

二、剖析錯(cuò)因，發(fā)展思維嚴(yán)密性

例2 已知集合A={x|ax2+x+1=0，x∈R，a∈R}有且只有一個(gè)元素，請(qǐng)確定實(shí)數(shù)a的值.

錯(cuò)解：因?yàn)閍x2+x+1=0僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以Δ=0，代入數(shù)據(jù)可得

上述問題是學(xué)生剛剛接觸“集合”概念時(shí)的一個(gè)問題.“集合”是高中數(shù)學(xué)最開始的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展非常關(guān)鍵.對(duì)于以上的例題，大多數(shù)學(xué)生所提供的答案如上所述，因?yàn)樗麄冊(cè)诔踔须A段已經(jīng)能夠熟練地處理一元二次方程的問題，這也就在學(xué)生的腦海中形成了思維定式，看到x的平方就想到的根的判別式.面對(duì)學(xué)生暴露出來的問題，筆者針對(duì)錯(cuò)誤發(fā)生的原因提出問題：ax2+x+1=0是一個(gè)什么方程？學(xué)生稍有思考，給出了不同的答案，不少學(xué)生意識(shí)到二次項(xiàng)系數(shù)如果取0或不取0，將對(duì)應(yīng)著兩種情形，即方程也可能是一個(gè)一次方程，換言之，上述問題的解決必須要分類討論，這其實(shí)正是思維嚴(yán)密性的重要體現(xiàn).

例3 A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，如果A?B，請(qǐng)確定a的取值范圍.

錯(cuò)解：學(xué)生大多會(huì)嘗試著將“a”與臨界值“1”和“2”這兩個(gè)數(shù)字放在一起比較，最終通過數(shù)軸分別研究“a＜1，1＜a＜2，a＞2”這三種情形，經(jīng)過分析他們能鎖定只有a＞2符合題意.

面對(duì)這種情形，筆者一般會(huì)提出這樣的問題：除了“a＜1，1＜a＜2，a＞2”這三種情形以外，是否還存在其他的情況沒有考慮到的？學(xué)生繼續(xù)展開觀察和思考，并指出在原先的分析中遺漏了a等于“1”和“2”這兩種情形.這種遺漏情形在學(xué)生的作業(yè)和考試中經(jīng)常發(fā)生，比如，要求解經(jīng)過點(diǎn)A（-4，3），且與以原點(diǎn)為圓心，半徑等于4的圓相切的直線方程.學(xué)生在處理這種問題時(shí)，大多會(huì)想到待定系數(shù)法，假設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程y-3=k（x+4），然后根據(jù)它與圓的相切關(guān)系進(jìn)行求解，這樣的處理顯然遺漏了點(diǎn)斜式方程所對(duì)應(yīng)的直線無法垂直于x軸這一事實(shí)，換言之，這樣的處理漏掉了直線斜率不存在的情形.

在教學(xué)過程中，教師要結(jié)合學(xué)生的問題處理情況展開層層設(shè)問，這樣的處理有助于學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)自己思維不嚴(yán)密的缺陷，而且我們還倡導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)要沉著冷靜，在問題分析過程中要積極做到“不重不漏”，并且要養(yǎng)成反思的習(xí)慣，多問問自己：“這樣的考慮是否周全？”

三、在類比中糾正錯(cuò)誤，發(fā)展思維的深刻性

例4 現(xiàn)有直角△APB，∠P=90°，∠A=60°，AP=1，經(jīng)過點(diǎn)P構(gòu)建任意射線l，使其與AB邊交于點(diǎn)D，請(qǐng)確定AD長(zhǎng)度小于1的概率.

錯(cuò)解：因?yàn)槿鬉D邊的長(zhǎng)度恰好等于1，則點(diǎn)D就是AB邊的中點(diǎn)，所以AD長(zhǎng)度小于1的概率等于

面對(duì)學(xué)生所提供的答案，筆者沒有給出任何評(píng)論，而是讓學(xué)生進(jìn)行思考這樣一個(gè)變式問題：“現(xiàn)有直角△APB，∠P=90°，∠A=60°，AP=1，在斜邊上任意取一點(diǎn)D，請(qǐng)確定AD長(zhǎng)度小于1的概率.”面對(duì)這一問題，學(xué)生給出了和之前完全一致的答案.筆者啟發(fā)學(xué)生展開分析：我們必須立足于試驗(yàn)來研究事件的概率，上述兩個(gè)問題中所涉及的試驗(yàn)相同嗎？學(xué)生在問題引領(lǐng)下展開討論，他們發(fā)現(xiàn)原先例題的試驗(yàn)是“經(jīng)過點(diǎn)P構(gòu)建任意射線l，使其與AB邊交于點(diǎn)D”，射線l在∠APB中任何位置的可能性是均等的，因此可以從角度比的層面上完成對(duì)概率的分析；變式問題中的試驗(yàn)是“在斜邊上任意取一點(diǎn)D”，D點(diǎn)在線段上任意位置的可能性是均等的，因此可以采用線段比來完成對(duì)問題的分析.

在上述問題的處理過程中，筆者通過問題變式來引導(dǎo)學(xué)生展開對(duì)比化的思考，由此來驚醒夢(mèng)中人.上述兩個(gè)問題只有幾個(gè)字的差別，但是在本質(zhì)上發(fā)生了變化，通過類比處理，學(xué)生能夠更加深刻地把握問題的實(shí)質(zhì)，他們對(duì)幾何概型的認(rèn)識(shí)也獲得了提升，下次再面對(duì)類似的問題時(shí)，他們的處理也就更加自如而輕松.在日常的教學(xué)中，教師嘗試一題多變的方法，可以幫助學(xué)生看透數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，這對(duì)學(xué)生思維深刻性的發(fā)展很有意義.

四、巧妙切換思維，發(fā)展思維的靈活性

例5求函數(shù)（fx）=x（21-3x）的最大值.

筆者讓學(xué)生以合作討論的方式處理該問題，討論過程中，學(xué)生在試探中犯錯(cuò)，但又在錯(cuò)誤糾正中不斷前行，逐步向正確答案靠攏.

學(xué)生甲：（fx）屬于兩數(shù)積的形式，因此可以選用基本不等式的知識(shí)來處理問題.因?yàn)閒（x）=x2（1-3x）≤但是不等式的右側(cè)不等于常數(shù)，因此無法解出最大值，學(xué)生甲的這一方法沒有走通，但是他的思路卻給了別的學(xué)生一些啟發(fā).

學(xué)生乙：可以將f（x）的二次項(xiàng)拆開來，使其變?yōu)閮蓚€(gè)一次項(xiàng)的乘積，這樣不等式的右側(cè)即可變成常數(shù).（fx）=x·x·（1-3x）

學(xué)生丙：右邊還沒有變成常數(shù)，還差了一些，我來試

討論過程中，學(xué)生的思維在相互討論中不斷被激活，當(dāng)學(xué)生以為問題解決時(shí)，很快有學(xué)生發(fā)現(xiàn)拆項(xiàng)后，等號(hào)不再成立，問題再一次陷入僵局.但是學(xué)生沒有被困難嚇到，他們繼續(xù)探討，結(jié)合之前錯(cuò)誤的原因，嘗試在拆項(xiàng)時(shí)讓三項(xiàng)能夠相等，因此嘗試將二次項(xiàng)x2寫成了

在探求問題的解決思路時(shí)，好的方法固然可貴，但是卻未必能立刻奏效，某些想法雖然不夠完美，不能立刻解決問題，但是卻也不是毫無價(jià)值.教師指導(dǎo)學(xué)生糾正錯(cuò)誤的關(guān)鍵，是將錯(cuò)因轉(zhuǎn)化為正確思路的引玉之磚.當(dāng)錯(cuò)誤出現(xiàn)時(shí)，如果教師立刻就對(duì)學(xué)生的思路全盤否定，這將嚴(yán)重挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和探究勇氣，同時(shí)這也剝奪了學(xué)生自主探究真理的機(jī)會(huì).長(zhǎng)此以往，這將不利于學(xué)生的思維發(fā)展.反之，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生多方面地展開嘗試，并對(duì)他們的錯(cuò)誤施以針對(duì)性的引導(dǎo)，促使他們不斷完善自己的思路，幫助他們走完“柳暗花明，曲徑通幽”的最后一步，這樣的過程將讓學(xué)生對(duì)科學(xué)思維形成更加深刻的體驗(yàn).

事實(shí)上，錯(cuò)誤并不可怕，可怕的是面對(duì)錯(cuò)誤的恐懼心理.因此，面對(duì)錯(cuò)誤，無論是學(xué)生或是教師都不能諱疾忌醫(yī)，如果教師強(qiáng)行制止學(xué)生出錯(cuò)，妄圖以正確答案來覆蓋學(xué)生的錯(cuò)誤，所得到的結(jié)果往往是背道而馳的.優(yōu)秀的教師應(yīng)該讓學(xué)生自主探索和深度分析，徹底地將錯(cuò)誤的原因分析出來，然后進(jìn)行糾正，在得到正確答案的同時(shí)，學(xué)生還要總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，這樣就能讓錯(cuò)誤成為學(xué)生發(fā)展能力、提升思維的重要素材，這樣的錯(cuò)誤才更有價(jià)值和意義.H