王宏偉,賀怡婷,楊彩鳳,宗 慧

(安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 河南 安陽455000)

1 引言

Kuramoto[1]在研究三維反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的角相位湍流時(shí),導(dǎo)出了如下一類四階非線性方程

ut+uxxxx+uxx+uux=0

(1)

同時(shí), Sivashinsky[2]在研究二維空間微熱擴(kuò)散不穩(wěn)定性問題時(shí)也導(dǎo)出了相同的數(shù)學(xué)模型. 因此, 方程(1)被稱為KS方程. 該方程Cauchy問題的研究, 已有很多結(jié)論[3,4]. 本文將在有限區(qū)間[0,L]上研究如下一類線性KS方程的初邊值問題

{ut+uxxxx+uxx=f,0≤x≤L,t≥0

u(0)=φ(x),

u(0,t)=g0(t),ux(0,t)=g1(t),

u(L,t)=h0(t),u(L,t)=h1(t)

(2)

根據(jù)近年來由Fokas[5-7]創(chuàng)立的UTM方法, 我們給出這個(gè)方程的一個(gè)顯式解公式, 該公式將為這類方程適定性問題和數(shù)值計(jì)算的研究提供新的研究思路.

2 顯式解的推導(dǎo)過程

利用Fourier變換易知, 方程(1)的象征是ω(k)=k4-k2.假設(shè)e-ikx+ω(k)tu是方程(2)的一個(gè)解, 則

(e-ikx+ω(k)tu)t=e-ikx+ω(k)tf-[e-ikx+ω(k)t(uxxx+ikuxx-(k2-1)ux-(ik3-ik)u)]x.

在區(qū)域D={0≤x≤L,0

?D(e-ikx+ω(k)tu)tdtdx- ?D[e-ikx+ω(k)tfdtdx

=-?D[e-ikx+ω(k)t(uxx+ikuxx-(k2-1)ux-(ik3

-ik)u)]xdtdx.

使用格林公式, 有

-(ik3-ik)u)dt

即

-1)ux(0,s)-(ik3-ik)u(0,s))dt

-1)ux(L,s)-(ik3-ik)u(0,s))dt

定義空間變量在區(qū)間[0,L]上的函數(shù)u(x,t)的Fourier變換為

另外, 記

則下列等式成立

=-m3(ω(k),T)-ikm2(ω(k),T)+(k2-1)m1(ω(k),T)+(ik3-ik)m0(ω(k),T)

+eikL[n3(ω(k),T)+ikn2(ω(k),T)-(k2-1)n1(ω(k),T)-(ik3-ik)n0(ω(k),T)]

將上式中的T替換為t, 并令

M(k,t)=m3(ω,t)+ikm2(ω,t)-(k2-1)m1(ω,t)-(ik3-ik)m0(ω,t),

(3)

N(k,t)=n3(ω,t)+ikn2(ω,t)-(k2-1)n1(ω,t)-(ik3-ik)n0(ω,t).

(4)

則有

(5)

根據(jù)方程(2)的初始條件和邊界條件, 在(5)式中, 只有m3,m2,n3,n2是未知項(xiàng), 其他各項(xiàng)均可以用已知條件來表示. 下面我們來計(jì)算m3,m2,n3,n2.

解方程λ4-λ2=k4-k2,有四個(gè)根, 分別是

將λj(j=1,2,3,4)依次替換(5)中的k, 令

得到方程組

{m3+iλ1m2-e-iλ1L[n3+iλ1n2]=μ1,

m3+iλ2m2-e-iλ2L[n3+iλ2n2]=μ2,

m3+iλ3m2-e-iλ3L[n3+iλ3n2]=μ3,

m3+iλ4m2-e-iλ4L[n3+iλ4n2]=μ4.

解這個(gè)方程組, 得到

其中

在復(fù)平面上定義區(qū)域G={k|Re(ω(k))<0}, 如果k=x+yi,則區(qū)域G可以表示為

{(x,y)|x4-6x2y2+y4-x2+y2<0}.

(6)

由復(fù)變函數(shù)中的Cauchy定理知,

(7)

(8)

就可以得到本文的主要結(jié)論.

3 結(jié)論

定理1 初邊值解問題(1)的顯式解是

[參考文獻(xiàn)]

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