趙宇寧

摘 要：傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合信息技術(shù)往往側(cè)重于演示實(shí)驗(yàn)等，依托的是教師的主體作用，而新課標(biāo)要求以學(xué)生為主體，最大限度的激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，因此筆者在運(yùn)用幾何畫板輔助教學(xué)時(shí)常常思考在APOS理論支持下如何更好的進(jìn)行信息技術(shù)與教學(xué)實(shí)踐的整合，以達(dá)到新課標(biāo)對(duì)教師及學(xué)生的要求。

關(guān)鍵詞：信息技術(shù) APOS理論 實(shí)踐整合

一、概念教學(xué)設(shè)計(jì)

APOS理論最早為美國(guó)數(shù)學(xué)家、教育家杜賓斯基等人在研究個(gè)體解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中提出，認(rèn)為這一過(guò)程實(shí)際上即是知識(shí)形成的建構(gòu)過(guò)程。在這一過(guò)程中將數(shù)學(xué)概念的建立分為四個(gè)階段：活動(dòng)、過(guò)程、對(duì)象和圖式階段。[1]

本文以高中人教A版教材必修五第三章第三小節(jié)二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域一節(jié)作為教學(xué)示范案例，探討如何在實(shí)際教學(xué)中利用APOS操作理論指導(dǎo)實(shí)踐，建立數(shù)學(xué)概念的基本模型。

二、基于APOS理論的具體案例設(shè)計(jì)

1.活動(dòng)、過(guò)程、對(duì)象有機(jī)整合

現(xiàn)代信息技術(shù)的快速發(fā)展，使得學(xué)生親自進(jìn)行動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)變得可能，學(xué)生自己參與進(jìn)去，既可以直觀的進(jìn)行觀察、探索和思考，又可以感受到數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力，能夠在很大程度上激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。而教師在這過(guò)程中應(yīng)從傳統(tǒng)的講授演示轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲗?dǎo)和參與，充分發(fā)揮出學(xué)生的主體總用，因此筆者采用了探究活動(dòng)的形式，讓學(xué)生在小組合作與交流中感受數(shù)學(xué)。[2]

探究活動(dòng)1

問(wèn)題1：點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，則B的坐標(biāo)滿足何種條件：？該條件又能說(shuō)明點(diǎn)B具有什么特點(diǎn)？

學(xué)生觀看點(diǎn)B的動(dòng)畫，觀察B點(diǎn)橫縱坐標(biāo)剛好滿足x+y+3=0，得出點(diǎn)B坐標(biāo)的特點(diǎn)，進(jìn)而思考點(diǎn)的坐標(biāo)與方程之間的關(guān)系得出點(diǎn)在直線上則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上，得出直線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)質(zhì)上說(shuō)明幾何圖形與代數(shù)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。[3]

探究活動(dòng)2

問(wèn)題2：點(diǎn)B的坐標(biāo)能讓x+y+3成為一個(gè)等式，等式的方程與直線又是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么不等式是否也有對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？任意點(diǎn)A的坐標(biāo)與不等式x+y+3>0（x+y+3<0）的關(guān)系又是怎樣的呢？

學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察后發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系中，所有的點(diǎn)被直線x+y+3=0分成三類：即在直線x+y+3=0上：直線右上方平面區(qū)域，直線左下方平面區(qū)域。此時(shí)教師讓學(xué)生嘗試一下完成表1.1，點(diǎn)B（x，y1）是直線上的點(diǎn)，選取點(diǎn)A（x，y2），使它的坐標(biāo)滿足不等式x+y+3>0，讓學(xué)生思考滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么要求。

學(xué)生填完表后猜想以x+y+3>0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線x+y+3=0的右上方

此時(shí)教師讓學(xué)生畫板演示A點(diǎn)在直線右上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，讓學(xué)生觀察A點(diǎn)橫縱坐標(biāo)變化使得式子x+y+3的值發(fā)生的變化并總結(jié)結(jié)論。

進(jìn)一步讓學(xué)生思考任意點(diǎn)A的坐標(biāo)與不等式x+y+3<0的關(guān)系，得到A點(diǎn)橫縱坐標(biāo)變化使得式子x+y+3的值發(fā)生變化但總是小于0的。點(diǎn)出以x+y+3<0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線x+y+3=0的左下方。學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察、分析、動(dòng)手操作后就能得出結(jié)論：同側(cè)的點(diǎn)能讓x+y+3符號(hào)相同，不同側(cè)的點(diǎn)能讓x+y+3符號(hào)相反。

進(jìn)而讓學(xué)生探究對(duì)于任意直線Ax+By+C=0是否存在同樣的結(jié)論。為了解決這個(gè)問(wèn)題，首先需要讓學(xué)生了解決參數(shù)對(duì)問(wèn)題的影響。學(xué)生就斜率是否存在開(kāi)始探討，發(fā)現(xiàn)不論斜率是否存在，對(duì)于結(jié)論“直線Ax+By+C=0同側(cè)的點(diǎn)會(huì)讓式子Ax+By+C同號(hào)；直線Ax+By+C=0不同側(cè)的點(diǎn)會(huì)讓式子Ax+By+C符號(hào)相反”不產(chǎn)生影響，同理參數(shù)B、C也是如此。

經(jīng)歷上述活動(dòng)學(xué)生已經(jīng)明確二元一次不等式（組）所表達(dá)的幾何意義是具有某種特征的點(diǎn)的集合即可行域，可以讓學(xué)生探究、總結(jié)確定可行域的一般方法。

⑴建立直角坐標(biāo)系，精確作出邊界直線（嚴(yán)格不等式畫為虛線，非嚴(yán)格不等式畫為實(shí)線）。

⑵用特殊點(diǎn)探測(cè)二元一次不等式Ax+By+C>0（Ax+By+C<0）所表示的區(qū)域，用陰影部分標(biāo)出。此時(shí)教師就可以用一句口訣總結(jié)加深學(xué)生印象：直線定界，特殊點(diǎn)定域。還可以讓學(xué)生總結(jié)特殊點(diǎn)的取法技巧，直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，就取原點(diǎn)試探。

學(xué)生對(duì)于A、B三個(gè)參數(shù)對(duì)可行域的確定進(jìn)行探究，得出結(jié)論，可以單獨(dú)依靠參數(shù)A、B、C的正負(fù)來(lái)判斷可行域。[4]

2.“心理圖式”有機(jī)形成

在經(jīng)歷活動(dòng)、過(guò)程、對(duì)象等問(wèn)題的整合之后，個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念的“心理圖式”就已基本形成，運(yùn)用這個(gè)“心理圖式”來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題，反過(guò)來(lái)又能促進(jìn)“心理圖式”框架的清晰。對(duì)于本案例，學(xué)生的難點(diǎn)主要在如何發(fā)現(xiàn)變量x，y的幾何表征意義，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)平面區(qū)域與不等式（組）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這里需要學(xué)生運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合思想，并對(duì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)有深入的把握，完成“心理圖式”過(guò)程?？紤]到學(xué)生的知識(shí)水平和消化能力，可借助信息技術(shù)支持，多種表示手段，從激勵(lì)學(xué)生探究入手，建立合理的情境，引入恰當(dāng)?shù)淖兪?，使學(xué)生可以從多元化角度僅進(jìn)行理解，逐層加深對(duì)概念的理解，方便記憶與應(yīng)用，

筆者認(rèn)為APOS理論是一種十分有益于培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的手段和方法，四個(gè)階段不可分割、互相促進(jìn)、互相交融、有機(jī)的結(jié)合為一個(gè)整體，結(jié)合著現(xiàn)代信息技術(shù)成為一個(gè)當(dāng)下十分值得研究的課題，具有很重要的實(shí)踐指導(dǎo)意義，若教師運(yùn)用得當(dāng)，將會(huì)為學(xué)生帶來(lái)無(wú)限的驚喜和巨大的幫助。

參考文獻(xiàn)

[1]王旭媚.信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)整合的嘗試與思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，13（2）： 97.

[2]敖玉剪.幾何畫板在線性規(guī)劃課程教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，2011，（53）： 78.

[3]張國(guó)治，杜娟.速定二元一次不等式表示的平面區(qū)域[J].數(shù)學(xué)通訊，2006（21）： 29.

[4]王波.用幾何畫板軟件描述平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn)[J].中國(guó)學(xué)術(shù)期刊，2011（05）： 174.