姜廣紅

中學(xué)幾何中爻于點(diǎn)共線及線共點(diǎn)的、角平分及平分線段、體積、求動(dòng)點(diǎn)軌跡、數(shù)學(xué)模型構(gòu)造作圖等問題，能運(yùn)用高等幾何方法去解決。這對(duì)于開闊解題的思路，提高解決問題的能力是十分有益的。本文聯(lián)系中學(xué)幾何的具體問題，探索配極理論所學(xué)的相關(guān)知識(shí)對(duì)一些中學(xué)幾何命題的運(yùn)用，并通過實(shí)例應(yīng)用的配極理論探索解決中學(xué)幾何中體積、求動(dòng)點(diǎn)軌跡、數(shù)學(xué)模型構(gòu)造作圖等問題。

一、中學(xué)面積及體積問題對(duì)配極理論的運(yùn)用

隨著深入學(xué)習(xí)，漸漸的我們發(fā)現(xiàn)，在中學(xué)幾何的體積問題中，運(yùn)用配極理論也能便捷的解決一些問題。根據(jù)配極中自配極的一些現(xiàn)成定理，我們通過實(shí)例來探討配極理論在中學(xué)幾何中體積問題的運(yùn)用。

例1 用配極理論證明，過一點(diǎn)做雙曲線的兩條切線與漸近線所圍成的三角形為等面積三角形

證 如圖1-1所示，雙曲線的兩條漸近線分別為，，和是的兩條切線，它們與，分別組成和

∵，，，組成了的完全四線形，又三條對(duì)頂線，，組成一個(gè)自極三線形

因?yàn)槭堑闹睆?，與的交點(diǎn)是它的極點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)又在無窮遠(yuǎn)直線上

∴//，，

故

二、點(diǎn)軌跡問題對(duì)配極理論的運(yùn)用

談到軌跡問題，我們一定不會(huì)陌生.怎樣快速的找到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡規(guī)律，找出軌跡方程是我們中學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重。這一章我們將利用高等幾何中學(xué)習(xí)的配極理論來探討一下關(guān)于中學(xué)軌跡的別樣求法。

例2 若，兩點(diǎn)為橢圓上的每條切線與圓交點(diǎn)，為過，關(guān)于已知圓的切線的交點(diǎn)，求的軌跡方程。

解 若為橢圓上任一點(diǎn)，由題意可知過的橢圓切線方程為

它的射影坐標(biāo)方程是。

根據(jù)題意，的射影方程即為點(diǎn)關(guān)于圓的極線

設(shè)的射影坐標(biāo)為，則有

解得，，

由此可知的射影坐標(biāo)是（，，）

∴的坐標(biāo)是，

所以得，，將其代入方程，得

即的軌跡為一個(gè)橢圓。

例3 作拋物線的切線，過點(diǎn)（8，13），求其切線的軌跡方程。

解 由題

即為切點(diǎn)

故所求方程為或

其中即為點(diǎn)關(guān)于拋物線的極線方程。

三、中學(xué)作圖問題對(duì)配極理論的運(yùn)用

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)模型的快速構(gòu)造是我們基本技能之一，學(xué)習(xí)好這一基本技能對(duì)于我們快速的解決一個(gè)實(shí)際問題將有不可替代的作用。

我們將以配極理論所學(xué)，通過實(shí)例闡述配極理論對(duì)于作圖的應(yīng)用

例4 以直尺作圓外定點(diǎn)的切線解析

作法 如圖3-1.設(shè)及圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)任做二割線分別交圓于和四點(diǎn)；

連結(jié)與交于點(diǎn)，連結(jié)與交于點(diǎn)，連結(jié)與圓交于兩點(diǎn)；連結(jié)，，得和即為所求切線。

證明 因四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，則定義得，為自極三角形。從而點(diǎn)關(guān)于圓的極線為。又因通過圓上兩點(diǎn)，由題意知關(guān)于圓的極線都通過點(diǎn)。

又根據(jù)性質(zhì)，，分別為，關(guān)于圓的極線，亦為圓在，處的切線。

例5 以直作出過橢圓外一點(diǎn)關(guān)于橢圓的切線

解 我們知道解決此類問題的關(guān)鍵點(diǎn)是找到切點(diǎn)。根據(jù)配極原則可知，交點(diǎn)為圓錐曲線外一點(diǎn)關(guān)于曲線切線的切點(diǎn)是此點(diǎn)的極線與圓錐曲線的交點(diǎn)，所以根據(jù)自配極三點(diǎn)形的概念，作圖如下：

設(shè)點(diǎn)是橢圓外的任一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)任作和兩條割線交橢圓于點(diǎn)，和，，并令，，連接，與橢圓于點(diǎn)，，可得，為兩切點(diǎn)

證明 因?yàn)闄E圓的內(nèi)接四邊形為四邊形，是自極三點(diǎn)形，也即為的極線

也就是說與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，即為切點(diǎn)

即，為所求兩條切線

四、中學(xué)其他問題對(duì)配極理論的運(yùn)用

我們知道，科學(xué)是不斷往前發(fā)展的，對(duì)于配極理論在中學(xué)幾何中的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，需要我們不斷的去努力發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律的更多應(yīng)用，為人類發(fā)展作出更大貢獻(xiàn)。通過收集整理，得到以下一些關(guān)于配極理論應(yīng)用新的方向。

例6 試用配極理論證明三角形的垂心是三角形的三條高的交點(diǎn)

證 作，以的外接圓做的配極三角形，

如圖4-1所示，因?yàn)榈臉O線為，所以的極點(diǎn)與的極點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)所成的角是直角.也即

于是有是過所作出的的垂線與的交點(diǎn)，同樣可以作出，來

由配極原則知，，，應(yīng)在同一直線上

綜上所述：三角形的垂心是三角形的三條高交點(diǎn)。

例7 試用根據(jù)配極理論證明三角形兩邊中點(diǎn)連線與第三邊平行

證明 如圖4-2.設(shè)，分別是的邊，的中點(diǎn)，過，，作的外接圓的外切

則由題可知與互為配極三角形，，為，的極線

由于在之上，故在的極線上，且的極線與垂直

故的外角平分線為的極線

又由于，平行直線和的極線與其垂直

也就是為的平分線，的極點(diǎn)是的一內(nèi)角平分線與兩外角平分線的交點(diǎn)

綜上所述：三角形兩邊中點(diǎn)連線與第三邊平行

在學(xué)習(xí)中，不難發(fā)現(xiàn)高等幾何是初等幾何的延伸，其拓展了中學(xué)幾何的思維空間，讓我們了解到高等幾何在幾何學(xué)中學(xué)習(xí)的不可取代性，對(duì)中學(xué)幾何知識(shí)和許多問題有了更深入的領(lǐng)會(huì)，能從更多的角度思考、更快更便捷的解決問題。學(xué)習(xí)好高等幾何不但能增強(qiáng)處理初等幾何問題的能力，而且在平時(shí)的工作生活中也是培養(yǎng)邏輯思維的一種有效途徑。