張艾萍， 李亞軒， 肖 斌， 石雙霞， 曹麗華， 高 超， 邱 瑞

(1.東北電力大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院,吉林 吉林 132012；2.中國電力工程顧問集團(tuán) 東北電力設(shè)計院有限公司,長春 130021)

實際工程結(jié)構(gòu)中，由于系統(tǒng)參數(shù)、外部激勵以及邊界條件等一系列不確定性因素，致使系統(tǒng)的固有特性、動態(tài)響應(yīng)與頻響特性等[1-3]具有隨機(jī)性特征。隨著工程中向復(fù)雜化和高精度方向的飛速發(fā)展，傳統(tǒng)上忽略或簡化這些因素的確定性結(jié)構(gòu)分析方法，不再能滿足客觀要求，因此有必要將其納入到系統(tǒng)響應(yīng)分析過程中。

近年來針對結(jié)構(gòu)振動的動力學(xué)分析[4-5]是該領(lǐng)域的熱點問題，但在過程中引入不確定性因素的分析技術(shù)尚未成熟，其中：MCS(Monte Carlo Simulation)方法[6]從統(tǒng)計的角度出發(fā)，給出了隨機(jī)系統(tǒng)一種統(tǒng)計分析方法，但對于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，因其工作量繁重而往往不被采用；而從動力學(xué)基本原理出發(fā)，輔以數(shù)學(xué)理論方法進(jìn)行不確定性分析，也可得到較精確結(jié)果。梁震濤等[7]利用隨機(jī)因子法與代數(shù)綜合法計算了板梁組合結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均值、方差表達(dá)式，指出隨機(jī)性與確定性模型的分析結(jié)果確有差異。Adhikari[8]基于隨機(jī)矩陣?yán)碚撎岢隽肆炕瘧冶郯宓馁|(zhì)量、剛度和阻尼不確定性矩陣變量分布，分析寬頻范圍內(nèi)系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)。李舜酩等[9]以Lagrange動力學(xué)方程和Rayleigh-Ritz能量法為理論基礎(chǔ)，建立了隨機(jī)質(zhì)量板的隨機(jī)振動方程，實現(xiàn)振動響應(yīng)的統(tǒng)計特性分析。王鳳陽等[10]將攝動理論與虛擬激勵法相結(jié)合，討論了隨機(jī)荷載激勵下不確定參數(shù)結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)統(tǒng)計特征。此外，還有學(xué)者提出了精細(xì)積分法[11]及其改進(jìn)[12]，也可得到結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動響應(yīng)的概率統(tǒng)計特性。

上述MCS方法及其它結(jié)合數(shù)學(xué)理論改進(jìn)方法皆是以相關(guān)動力學(xué)方程為出發(fā)點，而本文則從另外一個角度出發(fā)求解系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)，即：只需明確系統(tǒng)各不確定性因素，基于概率統(tǒng)計特性與正交多項式理論逼近隨機(jī)響應(yīng)，并結(jié)合FEA計算，利用Fourier-Hermite多項式展開、廣義模型降維和多重Gauss-Hermite數(shù)值積分，獲得板結(jié)構(gòu)單點激勵作用下穩(wěn)態(tài)振動響應(yīng)的顯示多項式函數(shù)形式，繼而得出其概率統(tǒng)計特征，并基于此對彈簧支撐離散隨機(jī)剛度邊界條件下系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)開展統(tǒng)計分析，這將對研究板結(jié)構(gòu)等典型系統(tǒng)的隨機(jī)動力學(xué)響應(yīng)與傳遞方面具有一定的探索意義。

1 基本原理

對于一個給定的線性多自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其在載荷激勵下的動力學(xué)基本方程[13]可表示為

(1)

當(dāng)系統(tǒng)忽略阻尼或在比例阻尼條件下，質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K均為對稱實數(shù)矩陣。在模態(tài)坐標(biāo)解耦條件下，應(yīng)用模態(tài)疊加原理，可得單點激勵下原點p處響應(yīng)為

(2)

式中：Mr、Cr和Kr分別為模態(tài)坐標(biāo)下的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度；φpr和fp(ω)分別為激振點p處第r階模態(tài)頻率對應(yīng)的模態(tài)向量和激振力。

考慮系統(tǒng)具有變邊界條件，由于存在系統(tǒng)不確定性，導(dǎo)致上式中模態(tài)剛度具有不確定性。此時，系統(tǒng)響應(yīng)也具有隨機(jī)性，可表示為

(3)

式中:x1,x2,…,xN分別為系統(tǒng)變邊界條件下的各個隨機(jī)參數(shù)變量；顯然，在給定激勵頻率ω下，系統(tǒng)p處原點響應(yīng)成為隨機(jī)參數(shù)變量的函數(shù)。

然而，僅應(yīng)用上述動力學(xué)理論推導(dǎo)，難以實現(xiàn)對系統(tǒng)響應(yīng)結(jié)果的預(yù)測。

2 系統(tǒng)振動響應(yīng)統(tǒng)計分析

2.1 Fourier-Hermite多項式展開

采用高維模型[14]，可將任意一個連續(xù)、可微的多變量函數(shù)按照各隨機(jī)參數(shù)進(jìn)行有限變量的層次函數(shù)展開，故式(3)可表示為

(4)

式中：x={x1,x2,…,xN}T∈RN為N維空間隨機(jī)參數(shù)向量;y0為一個實常數(shù)；yi1…iS(xi1,…,xiS)為任意S(S≤N)個隨機(jī)參數(shù)xi1,…,xiS間耦合作用對多變量響應(yīng)函數(shù)y(x)的貢獻(xiàn)量。

針對式(4)，考慮各隨機(jī)變量均服從相應(yīng)的正態(tài)分布時，進(jìn)行Fourier-Hermite多項式展開，得到y(tǒng)(x)的S個變量函數(shù)逼近形式，其表達(dá)式為[15]

(5)

式中:多項式展開系數(shù)

(6)

式中：fk(xk)為單個隨機(jī)參數(shù)xk的概率密度函數(shù);fX(x)為各隨機(jī)參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù);ψj(xi)為以xi為自變量的第j階Hermite多項式函數(shù);m為選取Hermite多項式的最高階數(shù)，j≤m。

2.2 廣義模型降維

多維變量函數(shù)的廣義降維法由Xu等[16]提出，以結(jié)構(gòu)概率特性分析為出發(fā)點，將多變量函數(shù)以排列組合的方式展開為

(7)

式中:R為y(x)多項式展開的變量元數(shù)，R≤N；y(xk1,xk2,…,xkR-k)中未標(biāo)明的變量取各自均值。

將式(7)代入式(6)可得多項式展開系數(shù)

(8)

以及均值

(9)

從式(9)可以看出，引入廣義降維法將N維積分進(jìn)行積分降維，將大大提高多項式展開系數(shù)及均值的計算效率，尤其在S<

2.3 多重Gauss-Hermite積分

針對Hermite多項式的多重Gauss-Hermite求積公式為

(10)

式中:n1,…,nS分別為相應(yīng)變量xi1,…,xiS所選取積分節(jié)點的數(shù)目;Wk為各個變量相應(yīng)積分節(jié)點xk處的求積系數(shù)。針對含有e-x2特殊項的積分問題，式(10)可將其轉(zhuǎn)化為累加和的形式，可以更為方便和快捷地求解多項式展開系數(shù)與均值。

為提高式(10)的計算精度與效率，可令n=n1=…=nS。

2.4 誤差分析

(11)

3 數(shù)值仿真

3.1 模型建立

在簡諧激勵下，矩形板結(jié)構(gòu)在兩側(cè)自由、左邊固支-右邊彈簧支撐邊界條件下，受到單點簡諧力激勵起原點振動，其FEM模型如圖1所示。對此，利用文中提出的方法，針對穩(wěn)態(tài)激勵原點處z方向振動位移響應(yīng)，獲得其系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)統(tǒng)計特征。

圖1 矩形鋼板簡圖

該鋼板的結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)分布如表1所示。激勵方式為單點正弦載荷激勵，且激振力幅值F=1 000 N，作用于鋼板右上方長、寬各1/3處，即圖1中所示的網(wǎng)格節(jié)點上。仿真分析時，為了研究變彈簧支撐邊界條件下鋼板的振動響應(yīng)特性，假設(shè)鋼板右端邊界條件處總剛度均值及其變異系數(shù)保持不變且均勻分布于網(wǎng)格節(jié)點上；鋼板右端所有支撐彈簧的剛度系數(shù)可看作不確定性因素，均服從相互獨立的高斯分布。

表1 結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)分布

3.2 網(wǎng)格單元劃分

對工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行FEM分析時，網(wǎng)格單元尺寸的選取將對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)求解結(jié)果的精確性產(chǎn)生直接影響，因此有必要選取一定的劃分標(biāo)準(zhǔn)。韓增堯[17]最先以波動理論為基礎(chǔ)，提出了針對具體結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格單元劃分標(biāo)準(zhǔn)。對于平板，網(wǎng)格單元尺寸要求如下[18]

(12)

式中:δ為平板厚度;E為平板材料的彈性模量;μ為泊松比;ρ為質(zhì)量密度;λ為平板的彎曲波波長;fmax為所考慮的頻率范圍上限。

3.3 位移響應(yīng)預(yù)測分析

利用ANSYS有限元軟件對各參數(shù)均取其均值的板結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行諧響應(yīng)分析，可得鋼板在0～100 Hz頻率范圍內(nèi)激勵點處的z方向位移級譜，如圖2所示。

圖2 激勵點處z方向振動響應(yīng)的位移級譜

Fig.2 Displacement level spectrum ofzdirection vibration response at the driving point

在第二階固有頻率(22.57 Hz)與第三階固有頻率(32.166 Hz)之間選取25 Hz作為激勵頻率進(jìn)行后續(xù)單頻穩(wěn)態(tài)受迫振動分析。采取1.0×105次直接MCS模擬對上述具有k1～kn隨機(jī)剛度系數(shù)變量的矩形鋼板結(jié)構(gòu)進(jìn)行單頻諧響應(yīng)分析計算，其激勵點處z方向的振動位移響應(yīng)幅值樣本分布及其概率密度曲線如圖3所示。

以ANSYS軟件作為求解器，根據(jù)本文提出的Fourier-Hermite多項式展開式(5)進(jìn)行振動位移響應(yīng)分析，其中Gauss-Hermite求積公式選取n=7個積分節(jié)點和m=5階Hermite多項式，在此基礎(chǔ)上嵌入1.0×105次局部MCS模擬，分析系統(tǒng)激勵點處z方向的振動位移響應(yīng)幅值統(tǒng)計特征，其結(jié)果如圖4所示，其中包括單變量、雙變量和三變量的z方向位移幅值顯示化多項式函數(shù)逼近統(tǒng)計結(jié)果。由圖4可知，z方向位移幅值的單變量結(jié)果與雙變量、三變量以及直接MCS模擬結(jié)果相比具有一定程度偏差，這是由于其忽略了兩個及以上變量之間的耦合作用對響應(yīng)結(jié)果的貢獻(xiàn)，但實際上它們亦對系統(tǒng)位移響應(yīng)具有一定影響。而采用雙變量與三變量時位移響應(yīng)的概率密度曲線近似重合，而且能極為準(zhǔn)確地反映出直接MCS模擬柱狀圖的分布規(guī)律，說明三個以及更多隨機(jī)變量間耦合作用對位移響應(yīng)的貢獻(xiàn)較小。

圖3 激勵點處z方向振動位移響應(yīng)幅值的樣本分布

表2給出了單點正弦載荷激勵下激勵點處z方向位移響應(yīng)幅值由式(11)所求得的誤差分析結(jié)果，以更為直觀的方式說明了上述分析結(jié)果的正確性。工程上對于計算精度一般要求小于等于5%，可知本例中板結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的單變量、雙變量和三變量逼近均已在誤差允許范圍內(nèi)，但單變量響應(yīng)逼近統(tǒng)計結(jié)果的各階矩誤差相對于雙變量、三變量來說均較大，可見精確度仍不夠高。盡管雙變量和三變量響應(yīng)逼近統(tǒng)計結(jié)果仍分別具有一定差別，但與單變量和雙變量的差別相比較來看已經(jīng)很小，說明三個以及更多隨機(jī)變量間的耦合作用可以忽略不計。再者，文中僅針對板結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)單元，對于實際中復(fù)雜結(jié)構(gòu)由于誤差的累積必然導(dǎo)致誤差進(jìn)一步加大。綜上所述，在計算精準(zhǔn)度以及工作量大小的權(quán)衡考慮下，雙變量逼近該例中系統(tǒng)響應(yīng)結(jié)果較為合適。

表2激勵點處z方向振動位移幅值的誤差分析

Tab.2Erroranalysisofzdirectionvibrationdisplacementamplitudeatthedrivingpoint%

誤差一階矩二階矩三階矩四階矩單變量0.015850.065440.178640.38416雙變量0.002800.006600.013540.02635三變量0.002330.004240.005910.00756

3.4 變彈性隨機(jī)邊界條件的影響

為了更為準(zhǔn)確地獲得變邊界條件下板結(jié)構(gòu)原點響應(yīng)的統(tǒng)計特征，對平板網(wǎng)格做出如下調(diào)整：在長度方向滿足以波動理論為基礎(chǔ)的網(wǎng)格劃分標(biāo)準(zhǔn)下，將網(wǎng)格單元長寬比[19]控制在1.5以內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化，具體劃分情況如表3所示，其它未標(biāo)明的結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)由表1提供，且激振點的位置保持不變。以雙變量逼近作為系統(tǒng)振動響應(yīng)幅值的準(zhǔn)確值進(jìn)行對比分析。

表3 網(wǎng)格劃分詳細(xì)信息

圖5給出了在節(jié)點彈簧數(shù)分別為7、10和13邊界條件下，同一激勵點處z方向的振動位移響應(yīng)幅值概率統(tǒng)計特征。由該圖可以看出三種邊界條件下位移幅值概率密度曲線的趨勢基本一致，均服從正態(tài)分布；但節(jié)點彈簧數(shù)為7時，由于寬度方向網(wǎng)格劃分與式(12)相悖，導(dǎo)致位移幅值概率密度曲線反映出的均值及分布規(guī)律與其它兩種邊界條件相比差異明顯；而節(jié)點彈簧數(shù)為13時的概率密度曲線與節(jié)點彈簧數(shù)為10時相比均值幾乎相同，但方差有所減小，說明在板結(jié)構(gòu)右端處于彈性離散邊界條件下及總剛度不變時，隨著離散節(jié)點彈簧變量的增加，隨機(jī)響應(yīng)結(jié)果的概率統(tǒng)計有向均值處聚攏的趨勢。

為此，在板結(jié)構(gòu)有限元網(wǎng)格滿足劃分標(biāo)準(zhǔn)前提下，進(jìn)一步對長度和寬度方向網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化，獲得節(jié)點彈簧數(shù)分別為10,13,16和19邊界條件下系統(tǒng)位移響應(yīng)幅值概率統(tǒng)計特征，如圖6所示。由該圖可以看出，隨著FEM網(wǎng)格細(xì)化，盡管所考慮的節(jié)點彈簧變量數(shù)逐漸增加，但激勵點處隨機(jī)位移響應(yīng)幅值的均值大致相同，僅方差呈現(xiàn)減小趨勢。可見，考慮板結(jié)構(gòu)右端在隨機(jī)離散剛度邊界條件及總剛度一定的情況下，隨著離散節(jié)點彈簧變量的增加，隨機(jī)響應(yīng)結(jié)果的概率統(tǒng)計有進(jìn)一步向均值附近聚攏的趨勢；但是這種趨勢在逐漸地減弱，當(dāng)節(jié)點彈簧數(shù)量趨近無窮時，即當(dāng)板右端處于彈性連續(xù)邊界條件，隨機(jī)響應(yīng)結(jié)果概率統(tǒng)計將滿足某一定分布。

圖5 不同邊界條件下z方向振動位移響應(yīng)幅值的統(tǒng)計結(jié)果

Fig.5 Statistical results ofzdirection vibration response amplitude under different boundary conditions

圖6 不同邊界條件下z方向振動位移響應(yīng)幅值的變化趨勢

Fig.6 The change trend ofzdirection vibration displacement response amplitude under different boundary conditions

4 結(jié) 論

本文結(jié)合Fourier-Hermite多項式展開、廣義模型降維法以及Gauss-Hermite數(shù)值積分，提出了一種關(guān)于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)統(tǒng)計特征的分析方法，并結(jié)合網(wǎng)格劃分技術(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)的預(yù)測結(jié)果進(jìn)一步對比分析。主要結(jié)論如下：

(1)隨著考慮系統(tǒng)隨機(jī)變量元數(shù)的增加，其系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)位移幅值響應(yīng)統(tǒng)計特征將更加符合直接MCS模擬求解結(jié)果，但調(diào)用有限元次數(shù)與計算成本也將隨之呈多項式增長，故應(yīng)當(dāng)根據(jù)誤差分析選擇適當(dāng)隨機(jī)變量元數(shù)，以在滿足精度前提下盡可能減少計算工作量。

(2)當(dāng)考慮隨機(jī)參數(shù)變量個數(shù)較多時，采用文中方法仍可獲得較高的計算效率和求解精度。

(3)本文并未假定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)服從某一特定分布，故該方法適用性強(qiáng)。

(4)對網(wǎng)格逐步細(xì)化及離散節(jié)點彈簧數(shù)漸增的分析結(jié)果表明，F(xiàn)EM隨機(jī)響應(yīng)統(tǒng)計分布將向均值附近聚攏，且趨于連續(xù)隨機(jī)剛度邊界條件的某一確定分布。

然而，目前存在的不足之處是，當(dāng)板結(jié)構(gòu)右端處于彈性連續(xù)隨機(jī)剛度邊界條件時，建模以及響應(yīng)逼近求解過程的工作量均將大大增加，需借助理論分析來進(jìn)一步完善；再者，文中僅針對單點單頻激勵下板結(jié)構(gòu)原點穩(wěn)態(tài)振動隨機(jī)響應(yīng)的分析，對于跨點響應(yīng)分析亦需進(jìn)一步拓展研究。

參 考 文 獻(xiàn)

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