吳 琳

初學(xué)幾何的時(shí)候，我們就知道了點(diǎn)動(dòng)成線；初學(xué)函數(shù)的時(shí)候，我們也知道了，函數(shù)描述的是兩個(gè)變量之間的關(guān)系，如果將這兩個(gè)變量分別看作一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，我們就能得到函數(shù)的圖像.

如果題目給出的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)，如點(diǎn)P（2m-1，4m+3），隨著m取不同的值，就能得到不同的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn).這些點(diǎn)是怎么分布的呢？先采用圖像法，取一些特殊值.________________________________

m 0_____________________________________（3，11）_2m-____1_4m+____3 P點(diǎn)坐標(biāo)_-2_____-5_____-5_____（-5，-5）-1-3_____-1_____（-3，-1）-1_____3______（-1，3） （1，7）_______1______1______7_____2__3__1 1__

在平面直角坐標(biāo)系中描出這些點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)都在同一條直線上，為什么呢？

如果設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為y，則

①×2-②得：y=2x+5，再回頭看看剛剛得出的這些點(diǎn)，都在直線y=2x+5上.因此雖然題目給出的只是一個(gè)點(diǎn)P（2m-1，4m+3），但實(shí)際上這個(gè)點(diǎn)在直線y=2x+5上，是一個(gè)一次函數(shù).

通過(guò)前面這道題目我們不難看出，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果能找出它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系式，就是這個(gè)點(diǎn)所在的函數(shù)的圖像上一點(diǎn).

如“不論m為何值，點(diǎn)P（m-1，m2-2m-3）總在函數(shù)_______的圖像上”.

解決這道題，可以設(shè)由①得，m=x+1，所以y=（x+1）2-2（x+1）-3，化簡(jiǎn)得y=x2-4.

2015年南通中考數(shù)學(xué)第28題提供的函數(shù)解析式是y=x2-2mx+m2+m-1（m是常數(shù)）.這個(gè)函數(shù)解析式可以寫(xiě)成y=（x-m）2+（m-1）.由于這個(gè)二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)為1，因此這個(gè)拋物線的形狀不會(huì)改變，而頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m-1），根據(jù)前面研究可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)頂點(diǎn)始終在直線y=x-1上，因此本題可理解為一個(gè)拋物線沿著y=x-1平移的拋物線組，了解到這一點(diǎn)之后，這道題就容易多了.

反之，如果已知一個(gè)點(diǎn)是函數(shù)圖像上一點(diǎn)，也可以根據(jù)函數(shù)的解析式設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，如：

（1）一次函數(shù)y=2x+5圖像上的點(diǎn)可設(shè)為（m，2m+5）；

（2）二次函數(shù)y=-x2+2x+5圖像上的點(diǎn)可設(shè)為（m，-m2+2m+5）；

（3）反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)可設(shè)為

例（2017·蘭州中考改編）如圖1，拋物線y=-x2-2x+4與直線AB：y=2x+4交于A（-4，-4），B（0，4）兩點(diǎn)，直線交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G.

5.6.6 電療法 應(yīng)用頻率為1～100電流治療疾病，促進(jìn)局部血液循環(huán)，消炎、軟化瘢痕、松解粘連;防止肌肉萎縮。

（1）連接GB、EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo).

（2）如圖2，在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH、HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A、E、F、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E、H的坐標(biāo).

圖1

圖2

【思路分析】（1）點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)E的橫縱坐標(biāo)滿足y=2x+4，可設(shè)E（m，2m+4），同樣方法可設(shè)G（m，-m2-2m+4）.根據(jù)GE=OB=4，列出一個(gè)關(guān)于m的方程，即可求出點(diǎn)G坐標(biāo).

（2）由于點(diǎn)E、F分別在直線AB、AC上，可設(shè)然后根據(jù)矩形的性質(zhì)列出方程，求出m的值.

解：（1）設(shè)E（m，2m+4），

則G（m，-m2-2m+4）.

∵四邊形GEOB是平行四邊形，

∴GE=OB=4，

∴-m2-2m+4-2m-4=4，解得m=-2，

∴G（-2，4）.

（2）設(shè)E（m，2m+4），則

過(guò)A作AN⊥EG，過(guò)H作HQ⊥EG，垂直分別為N、Q.

∵四邊形AFHE是矩形，

總之，研究動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的關(guān)系可以看出動(dòng)點(diǎn)在哪個(gè)函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)；反之，如果已知一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)函數(shù)圖像上，則可以根據(jù)函數(shù)的解析式設(shè)出這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).