何耀 秦少勛 劉新天 鄭昕昕 曾國建

（合肥工業(yè)大學(xué)，智能制造技術(shù)研究院，合肥 230009）

1 前言

動力電池是決定電動汽車性能表現(xiàn)的關(guān)鍵部件之一[1]，準(zhǔn)確地估計動力電池的荷電狀態(tài)（State Of Charge，SOC）能有效地管理電池系統(tǒng)，對動力電池充放電、使用壽命等有著重要的意義[2]。電動汽車以及電池負(fù)載系統(tǒng)的實時性與不確定性對SOC估計算法模型提出了巨大挑戰(zhàn)[3]。

SOC估計的常見算法有安時積分法（AH integrator，AH）、無跡卡爾曼濾波算法[4]、擴(kuò)展卡爾曼濾波算法[5]、粒子濾波算法[6]等。目前，更進(jìn)一層次提高SOC估計精度成為國內(nèi)外學(xué)者鉆研的熱門問題。文獻(xiàn)[7]提出了BPEKF算法，使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)能力和逼近能力，優(yōu)化和補(bǔ)償EKF算法的非線性誤差，同時降低了等效模型的精度要求。文獻(xiàn)[8]提出了基于信息交融的SOC估計算法，該算法根據(jù)不同模式切換到適配的模型對SOC進(jìn)行估計，進(jìn)一步提升了估計的精度和魯棒性。文獻(xiàn)[9]提出了一種無跡粒子濾波算法，并驗證了該算法具有良好的魯棒性。

濾波算法的準(zhǔn)確性在根源上取決于所建立的電池模型能否真實地反映電池特性[10]。典型的電池模型包括電化學(xué)模型、等效電路模型[11]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[12]等。動力電池的電化學(xué)反應(yīng)機(jī)理模型復(fù)雜，難以應(yīng)用到現(xiàn)有SOC估計中。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能夠模擬電池的高度非線性特性，但參數(shù)訓(xùn)練所需要的樣本量較大，在資源緊缺的嵌入式應(yīng)用中較難實現(xiàn)。常用的等效電路模型一般是整數(shù)階的，近年來，分?jǐn)?shù)階微積分理論在電池建模中有了初步的應(yīng)用。文獻(xiàn)[13]提出了基于分?jǐn)?shù)階微積分理論的車用鋰離子電池建模及SOC估計方法，該算法準(zhǔn)確度高、收斂速度快，是一種可靠的建模方法。文獻(xiàn)[14]提出基于分?jǐn)?shù)階聯(lián)合卡爾曼濾波的參數(shù)估計方法，該方法確定的參數(shù)穩(wěn)定性高。

基于此，本文提出一種基于可變溫度的分?jǐn)?shù)階Thevenin模型的建模方法，采用試驗設(shè)計（Design Of Experiment，DOE）方法和遺傳算法進(jìn)行參數(shù)辨識，通過動態(tài)應(yīng)力測試（Dynamic Stress Test，DST）工況試驗證明該模型較傳統(tǒng)的整數(shù)階Thevenin模型更加精確，而且適用于溫度連續(xù)變化的情況。此外，本文采用分?jǐn)?shù)階無跡粒子濾波（Fractional Unscented Particle Filter，F(xiàn)UPF）算法估計電池SOC并將其與無跡粒子濾波（Unscented Particle Filter，UPF）算法進(jìn)行比較。

2 動力電池分?jǐn)?shù)階建模

2.1 電池建模

分?jǐn)?shù)階微積分在電池建模方面有了初步的應(yīng)用，文獻(xiàn)[15]～文獻(xiàn)[17]表明動力電池的本質(zhì)是分?jǐn)?shù)階的，而且用分?jǐn)?shù)階微積分理論建立的動力電池分?jǐn)?shù)階模型更加精確。

本文根據(jù)傳統(tǒng)Thevenin模型建立可變溫度的分?jǐn)?shù)階Thevenin模型，如圖1所示。其中，Uoc、U0分別為電池開路電壓、端電壓，Rl、Cl分別為極化內(nèi)阻、極化電容，二者的端電壓為極化電壓U1，R為電池的歐姆內(nèi)阻，UR為歐姆內(nèi)阻的端電壓，I為充、放電電流，n為分?jǐn)?shù)階階數(shù)。其中R受溫度T、SOC和健康狀態(tài)（State of Health，SOH）的影響。

圖1 可變溫度分?jǐn)?shù)階Thevenin模型

分?jǐn)?shù)階微積分的定義式主要有G-L定義、R-L定義和Caputo定義。本文采用G-L定義式：

其中

式中，算子表示分?jǐn)?shù)階微積分運算，α、t分別為積分上、下限；h為步長；i=0,1,2…。

圖1中，極化電容Cl可以用分?jǐn)?shù)階表示為：

式中，n為極化電容的分?jǐn)?shù)階階數(shù)，n∈R，0≤n≤1。

由圖1可建立以下方程：

由Nernst模型的常規(guī)表達(dá)式建立動力電池與來路電壓的關(guān)系：

式中，k1、k2為模型的辨識參數(shù)。

由式（3）～式（6），得到動力電池分?jǐn)?shù)階模型為：

式中，QN為動力電池額定容量。

由上述關(guān)系可得動力電池分?jǐn)?shù)階模型的狀態(tài)空間方程為：

式中，

2.2 電池模型參數(shù)辨識

為分析歐姆內(nèi)阻R與T、SOC和SOH的關(guān)系，本文采用DOE[18]方法中的中心復(fù)合設(shè)計（Central Composite Designs，CCD），此方法設(shè)計簡單、操作方便。等效模型如圖2所示。

圖2 基于CCD的Rin的DOE模型

所建立的模型有3個變量，故采用中心復(fù)合中的水平因子方法。擬合的等效內(nèi)阻模型表達(dá)式中包含T、SOC和SOH的1次、2次項、常數(shù)項以及交叉項，其表達(dá)式為：

其中，Con為常數(shù)項；a～i為常系數(shù)。

各項系數(shù)的擬合值和95%置信水平時的參數(shù)置信區(qū)間如表1所示。

表1 擬合函數(shù)各項系數(shù)

圖3給出了T、SOC和SOH對Rin的獨立效果圖，其表示各變量在其區(qū)間變動時導(dǎo)致總輸出變量的變化。

圖3 T、SOC和SOH對Rin的獨立效應(yīng)圖

由圖3可以看出，3個參數(shù)對Rin都存在較大的影響，從斜率可以看出，T和SOH對等效內(nèi)阻的影響較大。表現(xiàn)在表1中，a、c的值較b大。

圖4給出了基于所建模型的Rin響應(yīng)曲面，可以看出，Rin隨SOC和SOH的增加而增加，隨T的增高而降低，且SOH和T變化對Rin的影響更加明顯。

為分析極化電容分?jǐn)?shù)階的階數(shù)，本文采用遺傳算法對階數(shù)n進(jìn)行參數(shù)辨識，遺傳算法步驟如圖5所示。辨識結(jié)果為n=0.87。

3 基于FUPF算法估計SOC

首先將分?jǐn)?shù)階模型離散化可得：

式中，ωk、vk分別為系統(tǒng)狀態(tài)噪聲和量測噪聲。

圖4 Rin的響應(yīng)曲面

圖5 遺傳算法流程

根據(jù)G-L定義，系統(tǒng)的離散方程可以表示為：

式中，Ts=0.1 s為系統(tǒng)采樣時間；；，r為1或n。

根據(jù)建立的系統(tǒng)離散方程，采用FUPF算法估計SOC，其步驟為：

a.初始化，利用（0,1）均勻分布生成N個SOC初始值,i=1,2,…,N，可得到N個初始狀態(tài)粒子和估計誤差協(xié)方差矩陣：

b.對每一個粒子進(jìn)行Sigma點采樣：

式中，λ為標(biāo)量參數(shù)。

c.引入分?jǐn)?shù)階對粒子和估計誤差協(xié)方差進(jìn)行時間更新：

令表示的第j（j=0,1,…,2n）列列向量，將帶入狀態(tài)方程得到：

d.粒子量測更新過程為：

式中，為n=2的無跡變換權(quán)重因子。

結(jié)合最新測量數(shù)據(jù)yk對先驗估計狀態(tài)和協(xié)方差進(jìn)行修正：

式中，為卡爾曼濾波增益。

e.重采樣，由量測結(jié)果yk計算粒子的后驗概率pi：

進(jìn)行歸一化后得到：

f.更新系統(tǒng)狀態(tài)：

4 仿真與試驗驗證

4.1 電池模型驗證

為了對可變溫度的分?jǐn)?shù)階Thevenin模型的精度進(jìn)行驗證，選取單節(jié)額定容量為9 A·h的磷酸鐵鋰電池分別在-30℃、-10℃、0℃、10℃、20℃、40℃環(huán)境下進(jìn)行充、放電試驗。

為充分驗證可變溫度的分?jǐn)?shù)階Thevenin模型具有較高的精度，此處放電波形采用美國先進(jìn)電池聯(lián)合會（United States Advanced Battery Consortium，USABC）的《電動汽車電池試驗手冊》中規(guī)定的DST工況波形。經(jīng)過每個DST工況，電池放出0.45 A·h的電量，20℃時共計20次左右循環(huán)可將電池電量放完。將各溫度下對鋰電池進(jìn)行充、放電試驗結(jié)合上述參數(shù)辨識結(jié)果，在MATLAB中分別對可變溫度的分?jǐn)?shù)階Thevenin模型與傳統(tǒng)的Thevenin模型進(jìn)行仿真，驗證電池模型的精確性。圖6所示為DST工況電流波形示意。

圖6 DST工況電流波形示意

圖7所示為多個溫度下常溫與低溫DST工況充、放電試驗動力電池端電壓變化曲線。通過對圖7及多個溫度下進(jìn)行DST工況充、放電試驗時鋰電池的端電壓的分析可得：常溫下可變溫度的分?jǐn)?shù)階Thevenin模型和傳統(tǒng)Thevenin模型參數(shù)相差不大、在低溫環(huán)境下，等效內(nèi)阻Rin發(fā)生變化，會導(dǎo)致傳統(tǒng)Thevenin模型的估計誤差變大。

表2給出了各溫度下兩種模型端電壓的平均絕對誤差。

通過對圖7及在多個溫度下DST工況充、放電試驗電池的端電壓變化的分析，結(jié)合表2可以看出，利用DOE方法建立的電池模型在DST工況下仍具有精度高、誤差小的特點，充分驗證了可變溫度的分?jǐn)?shù)階Thevenin模型能夠提高電池模型的精確性。

圖7 不同溫度下端電壓曲線

表2 端電壓平均絕對誤差

4.2 電池SOC估計精度驗證

為了驗證FUPF算法估計動力電池SOC的精確性，選取單節(jié)額定容量為9 A·h的磷酸鐵鋰電池，進(jìn)行不同工況的充、放電試驗。利用MATLAB/Simulink軟件建立動力電池SOC估算模型進(jìn)行仿真驗證，通過與擴(kuò)展卡爾曼濾波器（Extended Kalman Filter，EKF）和UPF的估算誤差進(jìn)行比較來驗證FUPF算法的估計精度。

4.2.1 循環(huán)放電試驗SOC估計

為了驗證FUPF算法在不同溫度下的補(bǔ)償效果，本文分別在-10℃與30℃的環(huán)境溫度下進(jìn)行循環(huán)放電試驗：將SOC=90%的鋰電池分3次放電，每次放出30%的電量，每次放電時間間隔3 min。

圖8所示為試驗電流波形，圖9所示為-10℃與30℃下3種算法的SOC估計誤差。

圖8 電流波形示意

圖9 循環(huán)放電SOC估計誤差

由圖9可以看出，在-10℃和30℃條件下，電池模型的修正效果均比較明顯。UPF算法的最大估計誤差為5.23%，而FUPF算法的最大估計誤差為2.16%，性能改善了58.6%。EKF算法的最大估計誤差為7.64%。由此可知，分?jǐn)?shù)階無跡粒子濾波算法估計SOC的精度更高。

4.2.2 US06工況下SOC估計

為驗證FUPF算法在實際復(fù)雜運行工況中的優(yōu)越性，本文采用高速公路駕駛時間表US06工況驗證SOC算法的精度。使用1個US06循環(huán)，歷時600 s，為了匹配本文所研究的內(nèi)容，工況電流按照一定的比例縮小，如圖10所示。

圖10 US06工況電流示意

圖11給出了US06工況的SOC估計誤差。與UPF、EKF算法對比，在US06工況下，F(xiàn)UPF算法更接近實際值，準(zhǔn)確度更高。

圖11 US06工況SOC估計誤差

5 結(jié)束語

本文在Thevenin模型基礎(chǔ)上，融入分?jǐn)?shù)階理論重新建模，運用DOE方法分析了電池內(nèi)阻的變化規(guī)律，得到可變溫度的分?jǐn)?shù)階Thevenin模型。在此基礎(chǔ)上，建立了分?jǐn)?shù)階無跡粒子濾波算法模型，實現(xiàn)對動力電池SOC的動態(tài)估計，所提出的方法具有以下優(yōu)勢：

a.采用DOE方法擬合內(nèi)阻可以較少的測量數(shù)據(jù)得到較為精確的內(nèi)阻模型，在提高效率的同時提高了SOC估算精度；

b.電池模型避免了現(xiàn)有模型在高、低溫條件下不適用的缺陷，在環(huán)境溫度較高或較低時，電池模型的修正效果更為明顯；

c.分?jǐn)?shù)階可變溫度Thevenin模型可以更加精確地模擬動力電池。

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