趙晴

我讀研究生的時候，做過一次教學試驗，讓一個美國一年級小男生計算一下6+7=？?？戳丝催@個題目，小男生從容地把一只腳從課桌下面掰上來，脫掉鞋，甩開襪子，然后從手指頭數到了腳趾頭。

提問：作為家長的你，會如何評價這個小男生？

學數學難道離不開掰手指頭么？這是讓很多家長頭疼的事情。孩子會不會產生依賴？會不會導致無法提高計算速度？這么算會不會太幼稚太初級呢？

這之后的若干年，項目組的同事們每次回看這段視頻，都忍不住哈哈大笑。從數學教育的專業(yè)角度，我們其實是這么評價和分析的：

第一，他能馬上判斷出答案應該在10-15這個區(qū)間內（因為他脫且只脫了一只鞋）說明他具有不錯的數感；第二，他知道在運算的過程中借助身邊的工具，把一個抽象的算式具體化。

小學數學的學習離不開數感的培養(yǎng)，而數感的培養(yǎng)離不開工具的使用。

那么，

到底什么是數感？

手指頭到底能不能用？

手指頭怎么用才好？

什么是數感？

在小學的數學教育中，不論中國還是美國，數與計算都是教學內容中的主要部分。而這部分都是建立在良好的數感基礎上的。所以，什么是數感呢？

數感這個詞，是從英文詞組number sense直接翻譯過來的。它的意思很寬泛，指的是孩子可以靈活機動的使用數字。根據美國數學教師委員會的定義，數感應該大致包括以下幾個方面：

1.了解數字，以及不同的數字的表示方式

2.了解數字之間的關系，以及我們的數字體系（比如十進制或二進制）

3.了解不同的運算，知道不同運算之間的關系可以在現實生活中使用數字

數感是如何培養(yǎng)起來的呢？

認知心理學普遍認為，當孩子還很小的時候，就能通過日常生活經驗積累起對一些數學性概念的直觀感受，比如大小，多少，前后，高矮，遠近。

全家喝湯需要幾把勺子？今天有客人，需要增加幾把？從家到學校需要多長時間？買一個玩具大概需要多少錢？這兩把香蕉哪個更多，多多少？

這些對話讓數學成為孩子的日常生活中不可缺少的一部分。進入學校后，在這些數學對話的基礎上，孩子要開始學習一系列正規(guī)的數學表達方法，十進位，加減乘除運算（豎式），數量的拆分和整合，加法結合律、加法交換律、乘法分配率，小數，分數，百分比，比例等等。

數感還包括，孩子知道6+17，17+6，16+7都是一樣的，并且能用自己的語言說出為什么一樣；4個15比50要大，為什么；一個電梯里大概能塞下多少人，這么多人排隊我們需要等幾趟電梯，等等。

但是需要注意的是，很多家長或多或少有一個錯覺，那就是，正規(guī)運算是更高級的數學，一旦孩子開始學習，日常生活中的數學對話就落后了，低級了，也沒有必要了。取而代之的，是習題，是熟練度，是反復練習?？傊?，孩子的數學學習就應該交付給學校的模式。

按照這個思路，掰手指頭顯然不夠高級也不夠正規(guī)?？偪筷种割^做算數怎么能熟練掌握數學原理呢？家長會有這個擔憂。

手指頭到底能不能用？

答案非常簡單粗暴：能！不僅能用，還應該鼓勵用。為什么？

1、先看看人類計數的歷史

首先，一起來做個情境代入。假如你生活在公元前9000年的美索不達米亞，是個牧羊人。你需要每天把羊群放出去吃草，晚上弄清楚是不是每只羊都回來了，可是，糟糕的是，這個時候還是新石器時代，數字還沒有發(fā)明，更沒有什么計數的體系。換句話說，你還不會數數這回事呢。這個時候你應該怎么辦？

你可能會想到幾個解決方法：

方法1：你從四面八方找來很多石頭塊，打開羊圈放羊群放出去吃草的時候，每當一只羊從你身邊經過，你就堆一塊石頭到羊圈門口，直到堆成一個石頭堆，剩下的石頭塊都丟的遠遠的不再用。晚上羊回來的時候，把石頭堆里的石頭一塊一塊搬開，如果最后一塊都不剩，你就知道一只沒少全回來了。就用石頭數羊法，日復一日，循環(huán)往復。

方法2：找來一個樹樁子，早上羊群經過你身邊的時候，看到一只羊就在樁子上劃個細道；晚上羊回圈的時候，回來一只就在細道旁邊畫個圈；第二天早上，每個圈旁邊再劃個道，就用樹樁子劃線圈法數羊，日復一日，循環(huán)往復。（當然，寫不下的時候要換樹樁子）。

這兩種方法都有一個共同點，都是用一一對應的方法來記錄羊群的數量。一塊石頭，一個細道道，或是一個圓圈對應一只羊。仔細想想，你會發(fā)現，這其實跟孩子用手指頭數數是一個道理——每一個手指頭對應數字“1”所代表的數量。

當孩子對抽象的阿拉伯數字還不夠熟悉的時候，他們需要一切方便易得的工具來協助記錄數量和數量的變化。就像這個人類早期文明時期的羊倌一樣。對孩子而言，還有什么比手指頭更簡單更順手的工具呢？

從人類計數發(fā)展的歷史來看，用手指計數是再正常不過的，甚至很多專門研究計數發(fā)展史的學者認為，人類最早的計數方法就是利用手指頭計數。在這之后，才逐漸出現巖石刻道，然后這些道道被分成幾個一組。再然后才出現進位機制，再以后的十進制，直到阿拉伯數字從印度傳到西方，現代數學的符號基礎才逐步穩(wěn)定。

每一個阿拉伯數字都是一個抽象的數學符號，孩子要經過相當長一段時間才能逐步把這個符號和它背后代表的數量結合起來。而在此之前，用手指頭幫忙計數是個自然而然、簡便易行的方法。

2、再聽聽腦神經學家是怎么說的

2015年的一個神經學研究中，學者萊利亞·伯特雷蒂和詹姆斯·R·布斯對人的大腦進行了分析。他們發(fā)現，大腦中的某一個特定部分是可以“看到”我們的手指的。8-13歲的學生做減法題目的時候，他們大腦的這個部分就會點亮，即使沒有掰手指頭。其他的學者還發(fā)現，一年級的孩子如果手指用得很熟練的話，二年級時候的數量比較和估算能力也會更強。當研究者們訓練六歲的孩子有一些“手指頭意識”的時候，孩子不僅僅提高了算數能力，而且未來數學學習成功的可能性也更大。

當然，這些研究并不是說掰掰手指頭孩子就能開啟神秘的大腦能量。而是說，在適當的階段，當孩子需要的時候，給孩子一個天然的、人類使用已久的計數工具，從長遠看來，這么做對孩子的數學學習是有幫助的。

3、最后參考一下數學教育專家的意見

斯坦福大學的喬·博勒教授常年致力于改善美國小學生的數學學習體驗和效果。她在研究中發(fā)現，手指輔助運算能夠幫助孩子更好的學習數學。她認為，使用手指在教會孩子基礎概念的時候至關重要，而且也和孩子今后的數學IQ有相關性。而強行禁止孩子使用手指輔助運算，很可能對他們的數學能力發(fā)展造成傷害。

對于剛剛開始接觸正規(guī)數字的孩子來說，手指頭是一個橋梁，一個過渡?！笆种割^是我們最有用的視覺輔助系統(tǒng)，對于提高數學理解能力，大腦發(fā)展都至關重要。這個作用還會一直延續(xù)到成年之后?！?/p>

“當學生不擅長死記硬背，或者數字使用不太熟練的時候，往往會找到視覺的或者其他的輔助工具。而這一點，讓我們很多最偉大的科學家比如愛因斯坦和愛迪生，在小時候被老師認為是愚蠢的。”

4、總結一下：到底能不能掰手指頭

Q1：孩子做算數的時候能不能掰手指頭？

A1：能。

Q2：孩子是不是一定要掰手指才能學好數學？

A2：不是。但腦神經研究結果表明，手指的訓練和使用有助于大腦的發(fā)展和數學能力的培養(yǎng)。

Q3：會不會造成依賴？

A3：不會。這只是個過渡。隨著理解的深入，自然就會放棄不用。你會走了之后還用爬么？

Q4：我小時候沒用也學會了啊。

A4：你小時候沒用不代表你孩子就不能用，你小時候還不用互聯網呢。你小時候初學數學的痛苦你可能已經不記得了。

Q5：能不能讓孩子戒掉？

A5：你可以試試。這么做的后果有以下一個或幾個。

1、孩子在你不在的時候偷偷用，或者干脆改用計算器。（順便說一句，我個人不主張小學生使用計算器，除非是特別設計的課堂活動。）

2、孩子的運算速度和準確度會下降。

3、孩子會對數學產生畏難情緒，如果不及時調整，會影響學習數學的興趣。

4、家長提供其他替代工具，孩子慢慢放棄使用手指。

5、當然，還有一種可能，你的孩子輕松戒掉掰手指（或者根本不需要），因為他/她在數學方面有天分。

手指頭和其他工具該怎么用

現在你應該不糾結能不能讓孩子掰手指了。下面的問題是，手指頭或者其它工具，應該怎么用呢？

這里又涉及到數感的概念。數感不是簡單的數（shǔ）數（shù），而是知道數“量”的變化是怎么來的，是去了解一種數量變化的因果關系。單純靠死記硬背背熟九九乘法表，或是熟記圓周率小數點之后100位，跟數感都沒有關系。

在培養(yǎng)數感的過程中，有兩個能力是非常重要的，那就是：

觀察數量的規(guī)律（patterns）

對數量進行分組（grouping or partitioning）

比如下面這張圖，四個網球拍，爸爸媽媽可以問小朋友，這圖片里面有幾個球拍？

他們會說4個，這時你就可以問他們，你們是怎么知道這是4個球拍的啊？他們這時可能會說，2個+2個=4個，也有可能會說，這是1個+1個+1個再+1個。

那么兩個方法比較起來，就會發(fā)現很顯然2+2，比1+1+1+1更先進。為什么更先進了呢？因為這個方法更高效。能夠一眼看到圖中有兩個2，把視覺畫面和數量多少建立直接的聯系，簡單說來，這就是觀察數量的規(guī)律。

再比如下面這張圖，小朋友會從圖中看到了哪些數量之間的關系呢？一眼看上去，最直觀的可能是5+3=8；如果再花點時間，給點引導，小朋友可能看到8+2=10，甚至10-2=8。接觸更多的數量變化之后，孩子還會知道5+5=10，7+3=10；甚至可以推導出一系列其他的方法來得到10這個數字。能靈活的把10分成8和2，或者分成7和3，甚至5+3+2，這就是我們說的對數量進行分組。

最初的數感的建立，都需要經過從具體到抽象的過程，數學學習離不開構建一個數學形象。與其讓孩子用抽象的算式來表達？+？=8，不如給8個香蕉（或者8個任何東西），問問他/她，應該怎么在兩個小朋友之間分這8樣東西，有多少種分法，哪種分法你最喜歡，為什么。

多問開放性的問題，同時給孩子機會，讓他/她說出自己推理思考的過程，這比每天壓著孩子做10道四則運算題更能激發(fā)數學學習的熱情。

所以，手指頭能幫助孩子看到什么樣的數量規(guī)律，又能幫助做哪些數量劃分呢？

提問：你有沒有想過，我們的十進制是怎么來的？

提示：掰掰手指頭你就知道了。

是的，我們的手上，寫滿了人類數學發(fā)展的歷史?，斞湃说?0進制，其他古代文明的12進制，到我們現在用的十進制。利用10個手指頭，除了可以清晰的表達出1-10的不同數量之外，我們可以幫助孩子迅速的認出每個數量所對應的手指規(guī)律。比如，5就是一只手的全部手指，6就是一只手加一根額外的手指。

利用兩只手，我們可以演示10=？+？的各種方法。每一種方法，都是對10這個數量的一次重新劃分，而我們可以把這個劃分過程用手指頭演示出來。

更高級一點，有沒有想過超過10的數字怎么辦？18應該怎么表示呢？最簡單的方法，我們可以把腳趾頭一起算上，就像我們文章一開頭，那個從容脫掉襪子的小男生一樣。

跟他不同的是，我們可以跟孩子約定，每當我們湊夠10根手指頭的時候，我們就用一根腳趾頭來標記。手腳并用，我們可以有各種數字游戲出來：比大小，猜數字，湊100。在這樣的游戲過程中，你在傳達一個更為重要的數學概念，10進制。

當孩子通過掰手指頭對于數量有了進一步的深入的了解，把在具體的數量（幾根手指頭）和對應的阿拉伯數字之間建立起更堅固的關聯之后，他們自然而然就會降低對手指頭的依賴，學會了更快更高效的方法，誰還會抓住笨辦法不放呢？

在這個過程中，家長當然也可以給孩子提供其他的替代性的工具，輔助孩子的計算。比如家里的生活用品，牙簽，米粒，火柴，或者是一些簡易好用的數學工具，比如可以拆卸的塑膠粒。

塑膠粒的好處是，我們可以隨時組裝出5、8、10，和他們的不同構成形狀，讓孩子們對于數量的樣子和規(guī)律有進一步的理解。

寫在最后

今天說了好多次手指頭，連腳趾頭也出現了幾次，說這些，不僅是因為這是個常見問題，更重要的是這背后的觀念對孩子造成的影響。

從人類早期文明的牧羊人，到高科技時代的孩子們，使用形象、便捷的工具去理解和運用數字，是一以貫之的，也是很自然的。我們需要看到，從日常生活中的數學對話到學校學到的正式數學符號中間，還隔著很長一段的學習距離。在這個過程中，深度比速度更重要。多問問孩子why和how的問題，比知道答案是幾更重要。

上了初中后，正常情況下，所有的孩子都能熟練掌握四則運算。回看小學階段家長和孩子為了數學的著急上火，那些都成了云煙。但是，雖然知識都能掌握，但是孩子是如何掌握四則運算的，四則運算對于他們意味著什么，往往決定了他們今后對待數學的態(tài)度。

對于父母而言，幫助孩子學好數學的第一步，是破除自己的數學迷思，給孩子提供他們所需要的輔助和過渡，從樂見孩子掰手指甚至脫掉鞋子掰腳趾開始。（摘自成長合作社）（編輯/紫蘇）