☉江蘇如皋市實驗初中 周軍蓮

“學材再建構”是師生根據(jù)學習任務，為了實現(xiàn)學習效益的最大化，對各種主客觀性學材進行主動加工重構的過程.這一做法是著名數(shù)學教育家李庾南老師多年的實踐和理論探索的成果，作為李庾南實驗學校的一名數(shù)學老師，筆者一直努力將學材再建構付諸于實踐，以期取得較好的教學效果.近期的一次研討活動中，筆者以“乘方的意義”作為教學的源頭，模仿李老師的做法將人教版“14.1整式的乘法”的部分內(nèi)容鏈接形成新知串，取得了較好的教學效果.現(xiàn)呈現(xiàn)這節(jié)課的兩則片段，并談一些個人的思考，希望能給大家啟示.

一、教學片段簡述

1.回顧舊知，建構生長點.

題1：說出下列式子的意義：

（1）32；（2）34；（3）a6；（4）am（m是正整數(shù)）.

題2：將下列運算的結(jié)果用冪的形式表示：

（1）2×2×2；（2）a·a·a·a·a；（3）（xy）·（xy）.

師生活動：學生思考并在小組中交流題1和題2，教師引導學生結(jié)合具體的式子梳理乘方的含義，并板書：

2.巧妙鏈接，形成新知串.

（1）同底數(shù)冪的乘法.

題3：計算：32·34.

師生活動：學生自主探索題3的算法，并在小組中交流：這個算式有什么特點？怎么算？依據(jù)是什么？運算的結(jié)果有什么特征？在全班交流時，教師引導學生給出解題過程：32·34=（3×3）×（3×3×3×3）=3×3×3×3×3×3=36，并對這一過程進行解讀：32·34是同底數(shù)冪的乘法，根據(jù)乘方的意義可以求得結(jié)果，而結(jié)果同樣是冪的形式.

題4：計算：am·an（m、n是正整數(shù)）.

師生活動：學生自主探索計算過程和結(jié)果，在全班交流時，教師有意識地引導學生說出每一步的依據(jù)，并歸納出同底數(shù)冪的乘法的運算法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

追問：三個同底數(shù)冪相乘，結(jié)果會怎樣？

師生活動：學生猜想出結(jié)果后，既可以用乘方的意義證明，也可以用前面得到的兩個同底數(shù)冪相乘的性質(zhì)證明，并說明這一性質(zhì)可以推廣到多個同底數(shù)冪相乘的情況.

題5：計算：（1）24×25；（2）ym·y3m+1；（3）a·a8·a3.

師生活動：學生給出運算的過程和結(jié)果，教師在全班交流時引導學生說出每一步的依據(jù)，幫助他們鞏固法則.

（2）冪的乘方.

題6：計算：（25）3.

師生活動：學生嘗試給出題6的過程和結(jié)果：（25）3=25×25×25=215.教師結(jié)合過程引導學生分析運算的特征，運算的步驟、依據(jù)及結(jié)果的特征，進而在合作交流中歸納出猜想：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

題7：計算：（am）n（m、n是正整數(shù)）.

師生活動：先獨立完成，再小組交流，然后投影儀展示并板書：（am）n=amn（m、n是正整數(shù)），進而將其推廣到一般情形：［（am）n］k=amnk（m、n、k都是正整數(shù)）.

題8：計算：（1）（103）5；（2）（xm）2；（3）（a2）3·a5.

師生活動：學生按照“判斷運算類型—應用運算性質(zhì)—呈現(xiàn)運算結(jié)果”的流程給出運算的具體步驟和結(jié)果，教師引導學生說出每一步運算的緣由.

（3）積的乘方.

題9：計算（ab）2，并將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論推廣到一般情況.

師生活動：學生口答計算過程和依據(jù)，教師投影顯示.在學生猜想（ab）3、（abc）n的結(jié)果后，教師引導學生說出運算的步驟及理由，進而將其推廣到一般情況：積的乘方，把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即（abc）n=anbncn（n是正整數(shù)）.

題10：計算：（1）（3a）2；（2）（－2b）3；（3）（xy2）3.

師生活動：學生自主解答并在小組中交流運算的類型、用到的法則和運算的結(jié)果.

二、片段簡析

片段1：處于課堂教學的起始階段.教者通過兩組題目的解答與交流，幫助學生從正反兩個方向梳理了乘方的含義，這對本節(jié)課的學習是十分重要的.結(jié)合片段2的三種運算教學歷程，我們不難發(fā)現(xiàn)，乘方的含義是接下來幾個整數(shù)指數(shù)冪運算的認知源，理清這個源頭會給后續(xù)探索掃清障礙.

片段2：處于本節(jié)課的核心教學時段.是對同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方等幾個運算的深度探究，教者將每一種運算的探索都建構在乘方的含義應用之上，始終讓學生經(jīng)歷從數(shù)到式的歸納歷程.這種從特殊到一般的相同認知歷程，讓學生初次探索積累的經(jīng)驗得到較好的應用，有利于學生將經(jīng)驗及早固化，融入自己的知識網(wǎng)絡中去.由于三種運算之間有著內(nèi)在的相似性，而與第一種運算相比，后兩種運算無論是知識上，還是經(jīng)驗上，都具有明顯的繼承性.因而，教者將這三種運算在以乘方的含義再認知的基礎上，逐個展開，在猜想、驗證、歸納的反復經(jīng)歷中，自然生長，有效融合.

綜合分析上面的兩則片段，不難發(fā)現(xiàn)，教師設計的教學活動環(huán)環(huán)相扣，無論是舊知的復習，還是新知的探索，都為下一步探索從知識和經(jīng)驗兩個方面做好了準備，這樣的設計契合知識的生長路徑，符合學生的認知發(fā)展規(guī)律，能取得教者期待的好的教學成效也就在情理之中了！

三、教學感悟

1.理清認知源，筑就學材建構通道.

任何一個數(shù)學知識的學習或數(shù)學活動的開展，都應建立在學生的最近發(fā)展區(qū)之上.對于數(shù)學老師而言，我們關注最近發(fā)展區(qū)的直接體現(xiàn)就是對學生已獲得的與本節(jié)課關聯(lián)較大的知識的分析.這些知識是學生進一步探索新知的源頭，如果不進行細致入微的分析，并在教學之初加以喚醒，新知探索難免會遇到困難.所以，想要讓李庾南老師所提的學材再建構在課上落地生根，一線教師的首要任務便是理清新知的認知源.以本文中的案例為例，乘方的定義是整數(shù)指數(shù)冪運算的共同起點，只有理解了乘方的含義并能將其遷移到乘方算式中來，本節(jié)課的探索才有可能順利展開.因而，教師安排片段1用以幫助學生梳理舊知，這是完全符合學生的認知規(guī)律和發(fā)展需求的.也正是教者這樣的安排，讓學生在兩組題目解答交流后，真正清晰地知曉“am（m是正整數(shù)）”的內(nèi)涵，從接下來的教學中，不難發(fā)現(xiàn)，任何一次運算法則的歸納都需要學生將類似于“am（m是正整數(shù)）”的式子回歸到乘方的本源“a·a·…·a（m個a相乘）”上來.這種基于復習的舊知回歸，讓我們能將與之相關的同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方等運算串在一起，形成了有別于原教材安排的新的學材.這樣看來，理清認知源的價值也就凸顯出來了.

2.建構新知鏈，彰顯重組學材價值.

學材再建構，在關注舊知梳理的同時，教師應將更多的精力放新知的鏈接上來.學材再建構的最大價值在于從整體上編排學生的學習進程，將原本零散的知識合理地嵌入這一進程中，使其能在最適合的時機呈現(xiàn)，為學生“獲得知識，形成技能，積累經(jīng)驗，感悟思想”提供最大的便利.因此，對教學過程，尤其是新知的獲得過程進行精心謀劃、合理編排，讓新知巧妙地串在一起，形成新知鏈，應是學材再建構的核心任務和價值指向所在.本文中的三種運算的教學編排，正是基于這種考慮之上的精心設計：同底數(shù)冪的乘法法則的生成是乘方的含義的簡單應用，有了片段1的教學，得來不難；探索冪的乘方法則，不僅要用到乘方的含義，還需要借力同底數(shù)冪的乘法法則，將其安排在同底數(shù)冪的乘法之后即時探索，想必生成法則也應該不難；同樣地，最后的積的乘方的法則探索，在乘方的含義外，還需要用到同底數(shù)冪的乘法法則或冪的乘方法則，最后呈現(xiàn)也就合乎情理了.三種運算，難度逐級遞增，前一個知識的獲得將是后一個知識探究的知識與經(jīng)驗基礎，以應用為抓手巧妙地鏈接，使得學生對新知的探索拾階而上，成效斐然.這樣的設計，讓原本需要花費三節(jié)課完成的探索僅需一節(jié)課就能完成，較低的耗時與較高的成效間的強烈對比，彰顯了學材再建構的價值.

3.體驗同過程，推動活動經(jīng)驗定型.

無論是知識的探索，還是技能的訓練，學生所獲得的絕不只是知識或技能.在知識技能的探索過程中，相伴共生的還有問題解決的經(jīng)驗和數(shù)學的思想方法，這些潛藏于探索進程之中的知識都是隱性的，不顯山，不露水，但對學生的發(fā)展影響巨大.因而，數(shù)學教學，尤其是基于學材再建構之上的數(shù)學教學，更應著力于幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗和感悟數(shù)學思想.因為有了學材的再建構，我們完全可以根據(jù)自己的教學需求將活動經(jīng)驗的積淀巧妙地滲透至學生的探索歷程中，通過反復的強化應用使其固化為知識網(wǎng)絡的一部分，從而真正成為學生自己的經(jīng)驗.上文中的教者對三種運算的探索，始終秉持從特殊到一般的過程，而且每種運算的探索都在獲得法則后進行了推廣與應用，這是教師對學生活動經(jīng)驗固化的一種堅持.尤其是基于法則后的即時推廣，順應了學生認知發(fā)展的需求，讓學生知曉任何一個數(shù)學結(jié)論只需再多邁出一步就可能在更廣闊的范圍內(nèi)發(fā)揮作用，這同樣是對學生認知結(jié)構的完善與發(fā)展.從整個教學進程看，教師的堅持應該是有效的，“題9：計算（ab）2，并將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論推廣到一般情況”恰到好處地讓學生在前兩種運算探索中積累的知識與經(jīng)驗得以發(fā)揮作用，而這種基于新知探索的經(jīng)驗應用，無疑是已有的活動經(jīng)驗在學生的腦海中定型，為今后的學習與生活中的進一步遷移應用提供了可能.

參考文獻：

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