繆應鐵

【摘要】線性變換里最有趣的奧妙，就蘊含在其矩陣中。理解了這些內(nèi)容，線性代數(shù)里很多定理和規(guī)則會變得更加清晰、直覺。 【關鍵詞】線性變換 矩陣

【中圖分類號】O151.2 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）16-0116-01

“矩陣是線性空間里躍遷的描述”?？墒沁@樣說又太物理，也就是說太具體，而不夠數(shù)學，也就是說不夠抽象。因此用一個正牌的數(shù)學術語——變換，來描述這個事情。這樣一說，大家就應該明白了，所謂變換，其實就是空間里從一個點到另一個點的躍遷。比如說，拓撲變換，就是在拓撲空間里從一個點到另一個點的躍遷。再比如說，仿射變換，就是在仿射空間里從一個點到另一個點的躍遷。盡管描述一個三維對象只需要三維向量，但所有的計算機圖形學變換矩陣都是4×4的。真正的原因，是因為在計算機圖形學里應用的圖形變換，實際上是在仿射空間而不是向量空間中進行的。想想看，在向量空間里相一個向量平行移動以后仍是相同的那個向量，而現(xiàn)實世界等長的兩個平行線段當然不能被認為同一個東西，所以計算機圖形學的生存空間實際上是仿射空間。而仿射變換的矩陣表示根本就是4×4的。一旦我們理解了“變換”這個概念，矩陣的定義就變成：“矩陣是線性空間里的變換的描述?！钡竭@里為止，我們終于得到了一個看上去比較數(shù)學的定義。不過還要多說幾句。教材上一般是這么說的，在一個線性空間V里的一個線性變換T，當選定一組基之后，就可以表示為矩陣。因此我們還要說清楚到底什么是線性變換，什么是基，什么叫選定一組基。線性變換的定義是很簡單的，設有一種變換T，使得對于線性空間V中間任何兩個不相同的對象x和y，以及任意實數(shù)a和b，有：T（ax + by）= aT（x） + bT（y），那么就稱T為線性變換。定義都是這么寫的，但是光看定義還得不到直覺的理解。線性變換究竟是一種什么樣的變換？變換是從空間的一個點躍遷到另一個點，而線性變換，就是從一個線性空間V的某一個點躍遷到另一個線性空間W的另一個點的運動。這句話里蘊含著一層意思，就是說一個點不僅可以變換到同一個線性空間中的另一個點，而且可以變換到另一個線性空間中的另一個點去。不管你怎么變，只要變換前后都是線性空間中的對象，這個變換就一定是線性變換，也就一定可以用一個非奇異矩陣來描述。而你用一個非奇異矩陣去描述的一個變換，一定是一個線性變換。有的人可能要問，這里為什么要強調(diào)非奇異矩陣？所謂非奇異，只對方陣有意義，那么非方陣的情況怎么樣？這個說起來就會比較冗長了，最后要把線性變換作為一種映射，并且討論其映射性質(zhì)，以及線性變換的核與像等概念才能徹底講清楚。我覺得這個不算是重點，如果確實有時間的話，以后寫一點。以下我們只探討最常用、最有用的一種變換，就是在同一個線性空間之內(nèi)的線性變換。也就是說，下面所說的矩陣，不作說明的話，就是方陣，而且是非奇異方陣。什么是基呢？只要把基看成是線性空間里的坐標系就可以了。注意是坐標系，不是坐標值，這兩者可是一個“對立矛盾統(tǒng)一體”。這樣一來，“選定一組基”就是說在線性空間里選定一個坐標系。就這意思。好，最后我們把矩陣的定義完善如下：“矩陣是線性空間中的線性變換的一個描述。在一個線性空間中，只要我們選定一組基，那么對于任何一個線性變換，都能夠用一個確定的矩陣來加以描述?！崩斫膺@句話的關鍵，在于把“線性變換”與“線性變換的一個描述”區(qū)別開。一個是那個對象，一個是對那個對象的表述。就好像我們熟悉的面向?qū)ο缶幊讨?，一個對象可以有多個引用，每個引用可以叫不同的名字，但都是指的同一個對象。如果還不形象，那就干脆來個很俗的類比。同樣的，對于一個線性變換，只要你選定一組基，那么就可以找到一個矩陣來描述這個線性變換。換一組基，就得到一個不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。同樣的，你給我兩個矩陣，我怎么知道這兩個矩陣是描述的同一個線性變換呢？如果是同一個線性變換的不同的矩陣描述，那就是本家兄弟了，見面不認識，豈不成了笑話。好在，我們可以找到同一個線性變換的矩陣兄弟們的一個性質(zhì)，那就是：若矩陣A與B是同一個線性變換的兩個不同的描述，則一定能找到一個非奇異矩陣P，使得A、B之間滿足這樣的關系：B=P-1AP。線性代數(shù)稍微熟一點的讀者一下就看出來，這就是相似矩陣的定義。沒錯，所謂相似矩陣，就是同一個線性變換的不同的描述矩陣。而在上面式子里那個矩陣P，其實就是A矩陣所基于的基與B矩陣所基于的基這兩組基之間的一個變換關系。關于這個結(jié)論，可以用一種非常直覺的方法來證明。這個發(fā)現(xiàn)太重要了。原來一族相似矩陣都是同一個線性變換的描述??！工科研究生課程中有矩陣論、矩陣分析等課程，其中講了各種各樣的相似變換，比如什么相似標準型，對角化之類的內(nèi)容，都要求變換以后得到的那個矩陣與先前的那個矩陣式相似的，為什么這么要求？因為只有這樣要求，才能保證變換前后的兩個矩陣是描述同一個線性變換的。當然，同一個線性變換的不同矩陣描述，從實際運算性質(zhì)來看并不是不分好壞的。有些描述矩陣就比其他的矩陣性質(zhì)好得多。這很容易理解。所以矩陣的相似變換可以把一個比較丑的矩陣變成一個比較美的矩陣，而保證這兩個矩陣都是描述了同一個線性變換。這樣一來，矩陣作為線性變換描述的一面，基本上說清楚了。但是，事情沒有那么簡單，或者說，線性代數(shù)還有比這更奇妙的性質(zhì)，那就是，矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個點給變換到另一個點去，而且也能夠把線性空間中的一個坐標系（基）表換到另一個坐標系（基）去。而且，變換點與變換坐標系，具有異曲同工的效果。

參考文獻：

[1]孫艷，呂堂紅.《線性代數(shù)》課程教學改革的實踐與思考[J].長春理工大學學報，2007（1）.

[2]馬麗杰.關于線性代數(shù)教學中的幾點思考[G].改革與開放，2009（24）.