胡柳平，劉佳琦，王 康，歐祖軍

(吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 吉首 416000)

均勻設(shè)計[1]是一種重要的計算機試驗，它要求試驗點均勻分布在試驗區(qū)域中，具有模型穩(wěn)健的優(yōu)點.一般采用偏差來衡量設(shè)計的均勻性.對于一個設(shè)計，若沒有其他設(shè)計比它有更小的偏差，則稱該設(shè)計為均勻設(shè)計.Lee偏差[2]作為一種均勻性測度，克服了可卷型L2-偏差[3-5]的局限性.周永道等[2]給出了Lee偏差與廣義最小低階混雜準則[6]之間的解析關(guān)系，并獲得了Lee偏差值的一個下界.鄒娜等[7]給出了二水平、三水平設(shè)計的Lee偏差與最小矩混雜準則[8]之間的解析關(guān)系，以及二水平、三水平設(shè)計的Lee偏差值的下界.對于二三混水平設(shè)計，K Chatterjee等[9]、張瓊慧[10]討論了Lee偏差與最小矩混雜準則、Lee偏差與正交性之間的關(guān)系，并給出了二三混水平設(shè)計的Lee偏差值的下界.事實上，二四混水平設(shè)計是應(yīng)用最廣泛的混水平因子設(shè)計，雷秩菊[11]給出了它在可卷型L2-偏差下的下界.筆者擬研究二四混水平因子設(shè)計在Lee偏差下的均勻性.

1 預(yù)備知識

(1)

2 主要結(jié)果及其證明

對于任意設(shè)計d(d∈U(n;2s14s2))，其中s1+s2=s，由(1)式可得其Lee偏差計算表達式為

(2)

其中：

當1≤k≤s1和s1+1≤k≤s時，分別有：

其中：Ω1={(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(0,3),(3,0)}；Ω2={(0,2),(2,0),(1,3),(3,1)}.定義如下符號：

(3)

其中|Ω|表示集合Ω的勢.那么，由(2)，(3)式可得如下結(jié)論：

引理2對于任意設(shè)計d(d∈U(n;2s14s2)),有：

將(2)式改寫成含有參數(shù)λij,ξij,ηij的形式，則有如下結(jié)論：

定理1對于任意設(shè)計d(d∈U(n;2s14s2))，有

證明由(2)，(3)式和引理2，有

當i,j(≠i)=1,…,n時，所有的δij都相等(記作θ),由引理2可知

(4)

此時,類似于文獻[12]中定理2.1的證明，由定理1和(4)式可得如下結(jié)論：

特別地，對于任意設(shè)計d(d∈U(n;2s14s2))，當s1=0或s2=0時，由定理1和定理2可得如下結(jié)論：

推論1對于任意設(shè)計d*(d*∈U(n;2s)),d**(d**∈U(n;4s))，有

由推論1和引理1不難得出如下結(jié)論：

推論2對于任意設(shè)計d*(d*∈U(n;2s))，d**(d**∈U(n;4s))，有

(LD(d*))2≥LB(LD(d*)),(LD(d**))2≥LB(LD(d**)).

其中：

這里：

3 實例

為了方便起見，將定理2中的(LD(d))2記作LD,下界LB(LD(d))記作LB.為了比較設(shè)計的優(yōu)劣，定義設(shè)計d的效率Eff(d)=LB/LD，若Eff(d)=1，則設(shè)計d為Lee偏差下的均勻設(shè)計.

例1考慮以下6個設(shè)計：d1∈U(4;2242),d2∈U(4;2441),d3∈U(4;2343),d4∈U(4;2641),d5∈U(4;2643),d6∈U(4;2943).其中：n=4；s1分別為2，4，3，6，6，9；s2分別為2，1，3，1，3，3.表1給出d1—d6的設(shè)計.

表1 設(shè)計d1—d6Table 1 Designs of d1 to d6

由表1的數(shù)據(jù)可計算出6個設(shè)計的Lee偏差平方值、下界和效率，如表2所示.

表2 d1—d6的Lee偏差平方值、下界和效率Table 2 Values of Squared Lee Discrepancy,Lower Bound and Efficiency for Designs of d1 to d6

從表2可知LB是可達的，即是一個緊的下界，這樣的下界可以作為搜索Lee偏差下二四混水平均勻設(shè)計的一個基準.

參考文獻：

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[12] FANG Kaitai,TANG Yu,YIN Jianxing.Lower Bounds for Wrap-AroundL2-Discrepancy and Constructions of Symmetrical Uniform Designs[J].Journal of Complexity,2005,21(5):757-771.