李一帆

函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析中的重點(diǎn)內(nèi)容，對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性的證明是數(shù)學(xué)分析中的難點(diǎn)，但對(duì)于某一例題來(lái)說(shuō)，結(jié)合其特點(diǎn)與一致連續(xù)性的多種定理，問(wèn)題會(huì)有多種解決方法，但是如何為問(wèn)題選擇一種最有效最簡(jiǎn)單的解決方法是本文討論的重點(diǎn)內(nèi)容.

1以 為例討論一致連續(xù)性的證明方法

分析 在 上處處連續(xù)，導(dǎo)函數(shù)存在且在定義域兩端的極限存在，本文對(duì) ， 上一致連續(xù)性的證明這幾個(gè)重要特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合相應(yīng)定理給出五種證明方法.

1.1依定義證明

定義1 設(shè) 為定義在區(qū)間 上的函數(shù)，若對(duì)任給的 存在 = ，使得對(duì)任何 ，只要 ，就有 ，則稱函數(shù) 在區(qū)間 上一致連續(xù).

證法一 任給 由于 ，故可選取 ，則對(duì)任何 ，只要 ，就有

，

這就證得 在 上一致連續(xù).

1.2依定理證明

1.2.1依與導(dǎo)函數(shù)有關(guān)的定理證明

定理1 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有有界導(dǎo)函數(shù)，則 在區(qū)間 上一致連續(xù).

證法二 因?yàn)?在 上存在導(dǎo)函數(shù)，且 ，在 上有 ，有界，所以由定理1可知： 在 一致連續(xù).

引理設(shè)區(qū)間 的右端點(diǎn)為 ，區(qū)間 的左端點(diǎn)也為 ，（ ， 可分別為有限或無(wú)限區(qū)間），若 分別在 和 上一致連續(xù)，則 在 上也一致連續(xù).

定理2 若 且 收斂，則 在 上一致連續(xù).

證法三 令 ，則 ， （ ）， ，而 ，所以， 在 上收斂，則由定理2知： 在 上一致連續(xù).

定理3 若函數(shù) 在 上可導(dǎo)，且 （常數(shù)或 ），則 在 上一致連續(xù)的充分必要條件是 為常數(shù).

證法四因?yàn)?在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，

又 ，其中 為常數(shù)，所以由定理3可知： 在 上一致連續(xù).

1.2.2依與極限有關(guān)的定理證明

定理4 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，且 存在且有限，則 在 上一致連續(xù).

證法五 在 上連續(xù)，而 0，所以 存在且為有限數(shù)，則由定理4可知： 在 上一致連續(xù).

1.3 方法分析

（1）定義證明法最容易想到且是最簡(jiǎn)單有效的方法.

（2）法二、法三和法四都利用了 在 上存在導(dǎo)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，但不同的是法二中要討論導(dǎo)函數(shù)的有界性，法三要討論導(dǎo)函數(shù)積分的斂散性，法四要討論導(dǎo)函數(shù)在 時(shí)的極限值，這三種方法相比起來(lái)，法四更易操作，其次是法二，再次是法三.

（3）法五利用 在 上的一致連續(xù)性及當(dāng) 時(shí)的極限值是否有限來(lái)判斷它本身的一致連續(xù)性，在實(shí)際證明中也較易實(shí)現(xiàn)的一種方法.

綜上，對(duì) 在 上的一致連續(xù)性證明的方法選擇順序應(yīng)為：一、五、四、二、三 .

2 函數(shù)一致連續(xù)性證明方法的推廣

2.1 依定義證明較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題

由于 在 上一致連續(xù)意味著：不論兩點(diǎn) 與 在 中處于什么位置，只要它們的距離小于 ，就可使 .因此證明一些形式較為簡(jiǎn)單的，并且容易得出 與 的函數(shù)的一致連續(xù)性，可依據(jù)定義進(jìn)行證明.例如 ， 、 ， 等函數(shù)都能依據(jù)定義得出函數(shù)在其定義域上一致連續(xù).

2.2 依與導(dǎo)函數(shù)有關(guān)的定理證明較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題

某些函數(shù)在定義域上存在導(dǎo)函數(shù)，此時(shí)我們可以考慮依據(jù)函數(shù)的這一性質(zhì)來(lái)得出所給函數(shù)在其定義域上的一致連續(xù)性.

2.2.1依定理1證明較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題

由于函數(shù)的一致連續(xù)是要求當(dāng)函數(shù)的自變量的改變很小時(shí)，其函數(shù)值的改變量也很小，從而要求函數(shù)的到數(shù)值不能太大，所以只需要求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有界即可得出函數(shù)在其定義域上一致連續(xù).例如證明 ， 、 ， 等函數(shù)的一致連續(xù)性在依據(jù)定理1證明時(shí)簡(jiǎn)單易行.

2.2.2依定理2證明較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題

對(duì)于定義在 上的函數(shù)，如果它存在導(dǎo)函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)在其定義域上可積，則可先判斷此無(wú)窮限積分的斂散性，再依據(jù)定理2得出所給函數(shù)是否在其定義域上一致連續(xù)就變得十分容易了.例如證明 ， 、 ， 時(shí)利用定理2來(lái)得出結(jié)論十分容易.

2.2.3依定理3證明較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題

對(duì)于定義在 上的函數(shù)，如果它在定義域上連續(xù)，在定義域內(nèi)可導(dǎo)，并且當(dāng) 時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)的極限存在且有限，這時(shí)可根據(jù)定理3得出所給函數(shù)在其定義域上一致連續(xù).例如 ， 、 ， 都可依據(jù)定理3很容易得出其在定義域上一致連續(xù).

2.3 依與極限有關(guān)的定理4證明較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題

極限存在是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，我們可以考慮依據(jù)函數(shù)的這一性質(zhì)來(lái)證明函數(shù)在其定義域上的一致連續(xù)性.

對(duì)于定義在 上的函數(shù)，我們可以通過(guò)先判斷函數(shù)在 處的極限是否存在是否有限，然后再根據(jù)定理4來(lái)證明函數(shù)在其定義域上是否一致連續(xù).例如在證明 ， 、 ， 的一致連續(xù)性時(shí)，定理4堪稱首選.

（作者單位：河南工業(yè)和信息化職業(yè)學(xué)院）