鮑世杰

[摘 要]抽屜原理是一個重要的組合數(shù)學(xué)原理，也是組合數(shù)學(xué)中最基本的原理，是研究如何將元素分類的一個原理。它能夠用來解決各種有趣的問題，常常得出一些驚奇的結(jié)論。本文首先簡要地介紹了抽屜原理的簡單形式及其衍生形式，其次重點論述抽屜原理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及生活領(lǐng)域方面中的運用。

[關(guān)鍵詞]抽屜原理;簡單形式;衍生形式

[中圖分類號]O157 [文獻標(biāo)識碼]A

1 抽屜原理

設(shè)t1，t2，…，tn是n（n≥2）個非負(fù)整數(shù)，如果t1+t2+…tn≥n+1，則必有正整數(shù)k（1≤k≤n），使得tk≥2.

可用通俗的語言表述成：如果不少于n+1只鴿子飛進n個籠子，則必有一個籠子，該籠子里至少有2只鴿子。

抽屜原理的定義非常簡單，很容易理解，它在解決生活中或者是科研當(dāng)中的數(shù)學(xué)問題時可以發(fā)揮很大的作用。使用抽屜原理首先需要考慮問題自身的特點，根據(jù)不同的問題的特點來使用抽屜原理。主要應(yīng)該著重考慮一下問題是對哪一些元素進行分類，然后根據(jù)所要求解的題目做出分類標(biāo)準(zhǔn)，也就是所說的制作抽屜的一個過程。

2 抽屜原理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域方面的應(yīng)用

當(dāng)一個問題可以使用抽屜原理來進行求解的時候，這個問題一般不需要經(jīng)過非常多的計算，解決問題的關(guān)鍵就是依據(jù)不同問題的自身特點來構(gòu)造出來一些抽屜，通過這樣的方式來使用抽屜原理。

2.1 抽屜原理在幾何中的形狀分割方面的應(yīng)用

如果所解決的問題是有關(guān)幾何圖形的一些位置的分布和研究它們的性質(zhì)的問題，那么就可以采用抽屜原理來進行計算.在我們進行使用的時候最常用的一種做法就是把題目當(dāng)中所給出來的圖形形狀分解成為幾個部分，然后把這幾個劃分出來的部分各自當(dāng)成同一個集合，最后根據(jù)相對應(yīng)的法則把要求的元素放到集合里面。在進行圖形的分割時，最簡單明了的方法就是把這些幾何圖形等分成比較常見的圖形，例如劃分成為圓形、正方形。

例1? 把13個點以任意方式散落在一個邊長為2m的正方形當(dāng)中證明：在13個點里面一定會有4個點圍城一個面積小于或者等于1平方米的四邊形。

證明：首先將題目中所給的大正方形平均分成面積是1平方米的小正方形。由13=3×4+1，那么根據(jù)前面的抽屜原理，一定會有4個點落在面積是1平方米的小正方形內(nèi)部或者是它的邊上。

在上面問題進行求解的時候，我們是把這個大的正方形分解成為了四個面積相同的正方形，然后把問題證明了出來。我們也一樣可以把這個大的正方形分成其他的形狀來求解。

2.2 抽屜原理在整數(shù)的性質(zhì)方面的應(yīng)用

如果需要解決的問題是有關(guān)整除的存在性的問題，那么就可以對模n進行同余分類，然后進行構(gòu)造n個抽屜，也就是把n當(dāng)做模，那么就可以把整數(shù)集分為“余0類”、“余1類”，……，“余n—1類”一共n只抽屜，然后應(yīng)用抽屜原理。

例2? 證明在自然數(shù)當(dāng)中隨便取5個整數(shù)，那么不管怎么取，總會存在三個整數(shù)的和能夠被3所整除。

證明： 無論整數(shù)除以3，剩下的只能是0或1。如果選中的5個整數(shù)3除剩余的0，1，2，其余都是0，數(shù)字1和2的總和是零的余數(shù)。如果有一個余數(shù)沒有出現(xiàn)，根據(jù)5=2×2+1，這樣的話，按照抽屜原理的定義，有一個余數(shù)一定會出現(xiàn)3次或者是3次以上。所以根據(jù)以上的說明，例題就能夠證明出來。

2.3 抽屜原理在染色問題方面的應(yīng)用

染色問題通常利用顏色來進行抽屜的構(gòu)造。

例3? 如果在空間當(dāng)中的任意位置有6個點，但是這些點里面隨便3個點都不在一條直線上，把這些點兩兩用一條紅色或者是藍(lán)色的線連起來，試證明：一定可以找到三個點，以它們?yōu)轫旤c的三角形的三條邊都有相同的顏色。

證明：假如這個點分別為A、B、C、D、E、F，如果存在的任意三個點都不在一條線上，那么對邊選取三個點就可以組成一個三角形。隨便把一個點A和其他的五個點相連接，那么就可以得到五條線段，AB、AC、AD、AE、AF，因為這里的五條線段都涂有紅色或者是藍(lán)色，也就是5=2×2+1，根據(jù)抽屜原理可以發(fā)現(xiàn)，這里的五條線段最少會有三條的顏色是一樣的（如果把顏色表示成為抽屜，線段表示成元素），不如把AB、AC、AD都當(dāng)成是紅色，那么研究三角形ABC三條邊的顏色，一共會有以下兩種情況。

（1）這三條邊里面不全部是藍(lán)色，不管哪一條邊是紅色，那么這個三角形就是一個每一條邊都是紅色的三角形。

（2）如果在這個三角形當(dāng)中沒有紅色的邊線，那么非常的明顯，這個三角形是一個每一條邊都是藍(lán)色的三角形。

從上面可以看出來無論是什么樣的一種情況，一定會有三條邊的顏色都一樣的三角形存在。

2.4 抽屜原理在劃分?jǐn)?shù)組方面的應(yīng)用

例4? 從1到12里面隨便選擇7個數(shù)，那么不管怎樣選取，這7 個數(shù)字里面一定會有一個相對比較大的數(shù)字是另外一個數(shù)字的整數(shù)倍。

分析：如果想要利用抽屜原理證明，那我就可以把這前面的12個數(shù)字分成6組，也就是把這12個元素分別放在6個抽屜里面，然后就可以利用前面所說的抽屜原理來進行證明了。

所以現(xiàn)在自然而然地就把問題轉(zhuǎn)化為怎么樣才（下轉(zhuǎn)頁）

（上接頁）能夠把這些數(shù)字進行有效合理的分組。經(jīng)過觀察我們可以看出來，不管是哪一個自然數(shù)，它都能夠被一個奇數(shù)和一個2的冪次方的乘積表示出來.這樣的話。我們將這種表示方法當(dāng)中奇數(shù)部分相同的數(shù)分到一個組里面，當(dāng)做一個抽屜。

證明：經(jīng)過研究，12個數(shù)字可以劃分成下面的幾組：

從上面可以很明顯的看出來，在上面的每一個抽屜里面都沒有一樣的元素，并且A1+A2+A3+…A12=1，2，3，…，12，于是，根據(jù)抽屜原理可以得到，對于前面的12個自然數(shù)不管用什么樣的方式從他們里面拿出七個數(shù)，那么一定會存在兩個數(shù)在上面六個抽屜當(dāng)中的一個元素，所以，x，y不會存在這三個抽屜當(dāng)中，所以想x，y一定是前面三個抽屜當(dāng)中的一個，這樣的話，x和y這兩個數(shù)當(dāng)中較大的數(shù)一定是較小的數(shù)字的整數(shù)倍。

2.5 抽屜原理在等分區(qū)間方面的應(yīng)用

把這種方法往簡單了說就是指：在一個長度是一的線段里面存在有N個點，如果我們把這個線段平均分配成為N個比較小的區(qū)間，那么這樣的話根據(jù)前面所說的抽屜原理，不管怎么劃分，一定會有兩個點被劃分在一個比較小的區(qū)間里面，這樣的話這兩個點之間的距離就會小于或者等于。在我們進行不等式的證明的時候經(jīng)常會用到這樣的劃分方法。

例5? 已知11個數(shù)x1，x2，…，x11，全滿足0≤xi≤1，i=1，2…，11，證明必有兩個xi，xj（i≠j）滿足.

證明： 如圖1，將實數(shù)軸上介于0與1那段（連同端點）等分為10小段（這10個小段也就是10個等分區(qū)間，即10個抽屜），每一小段長為。由抽屜原理，11個點（數(shù)）中至少有個點落在同一條小線段上，這兩點相應(yīng)的數(shù)之差的絕對值≤

例6任給7個實數(shù)，證明必存在兩個實數(shù)a，b滿足0≤（a-b）<1+ab。

證明： 設(shè)七個實數(shù)為a1，a2，a3，…，a7，作Qi=（i=1，2，…7），顯然，把等分成六個區(qū)間：，由抽屜原理，Q1，Q2，…Q7必有兩個屬于同一區(qū)間，不妨設(shè)為Qi，Qj，而不論Qi，Qj屬于哪個小區(qū)間都有，由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，，不妨記a=tgQi，b=tgQj，則，而由（*）知，又因為有 a-b>0（Qi>Qj），1+ab>0， 從而有0≤（a-b）<1+ab.

如果遇到給定了取值范圍要求證明不等式的問題，我們可以利用把取值范圍拆開的方法來進行抽屜的構(gòu)建，就像上面所舉得例子一樣，我們在等分區(qū)間上面很方面地建立了一個抽屜，然后利用抽屜原理這種方式比較簡單地證明出了不等式。和其他的不等式的證明方法例如創(chuàng)建一個函數(shù)的辦法相比較，利用抽屜原理求解更加簡單快捷方便。

[參考文獻]

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