錢德春

中考試題反映了命題者的價(jià)值取向、學(xué)科立意、學(xué)科素養(yǎng)和學(xué)科理解。命制一份結(jié)構(gòu)良好、布局合理、導(dǎo)向科學(xué)、立意新穎的試卷，對命題者的能力、智慧和心理提出了較高的要求。2017年各地中考數(shù)學(xué)試卷的大多試題形式與結(jié)構(gòu)等讓人耳目一新，對課標(biāo)的把握、教材的理解、學(xué)生心理的把控準(zhǔn)確到位，較好地考查了數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，具有原創(chuàng)性、層次性、關(guān)聯(lián)性，試卷導(dǎo)向明、質(zhì)量高、效度好。

同時(shí)，筆者也發(fā)現(xiàn)一些不容忽視的問題：有些試卷對課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知把握不準(zhǔn)；有的試題存在“三假”現(xiàn)象，即假情境、假問題、假探究；少數(shù)試題拼湊痕跡較重，關(guān)聯(lián)性、層次性不夠；個(gè)別試卷的壓軸題立意陳舊，甚至有抄襲現(xiàn)象；一些地區(qū)試題閱讀量偏大，不利于學(xué)生思考。這些問題的出現(xiàn)，給同是命題者的筆者以提醒：中考命題須謹(jǐn)慎，試題導(dǎo)向要合理。基于此，本文擬通過具體問題的評析，對中考數(shù)學(xué)命題提出建議，僅供同行參考。

一、命題要基于課程標(biāo)準(zhǔn)，尊重學(xué)生認(rèn)知

筆者發(fā)現(xiàn)，試題超標(biāo)、高中知識下放的現(xiàn)象屢見不鮮。

1.試題內(nèi)容超標(biāo)。

案例1.【試題呈現(xiàn)】將形狀、大小完全相同的兩個(gè)等腰三角形如圖1所示放置，點(diǎn)D在AB邊上，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，腰DF和底邊DE分別交△CAB的兩腰CA、CB于M、N兩點(diǎn)，若CA=5，AB=6，AD∶AB=1∶3，則MD+[12MA×DN]的最小值為 。

【評析與建議】試題通過證明△AMD∽△BDN得到MA×DN=BD×MD=4MD，故MD+[12MA×DN]= MD+[3MD]=[MD-3MD2]+[23]，當(dāng)[MD=3MD]即MD=[3]時(shí)，MD+[3MD]有最小值為[23]。該方法的本質(zhì)是基本不等式，即MD+[3MD]≥ 2[MD×3MD=23]。盡管問題也可用一元二次方程根的判別式來解決：設(shè)MD+[3MD]=k，則有MD2-kMD+3=0，此時(shí)[Δ]=k2 -12≥0，所以k≥[23]，即當(dāng)MD=[3]時(shí)，MD+[12MD]的最小值為[23]。但無論哪一種方法都超出了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[1]（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）的要求。

2017年各地中考試卷中出現(xiàn)的類似情況不在少數(shù)。有的仍在考查分式方程產(chǎn)生增根、分式方程待定字母范圍的討論，有的考查二次項(xiàng)系數(shù)含字母的一元二次方程根的討論，有的出現(xiàn)了解可化為一元二次方程的分式絕對值方程，有的出現(xiàn)了方程x+[12x]=3根的判定、解方程1=x2+（2x+[3x]）2中分母為二次根式和的有理化問題……這些問題均游走在《課標(biāo)（2011年版）》的邊緣。還有令人不解的是：某卷第20題“計(jì)算1+4+9+16+25+…的前29項(xiàng)的和”，是讓學(xué)生推導(dǎo)公式12+22 +32…+n2=[n（n+1）（2n+1）6]嗎？那就超出了學(xué)生的能力；如果要求學(xué)生記住公式，那么題目又有何意義？

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主陣地是課堂，而教學(xué)與評價(jià)的依據(jù)是課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，因此，命題要充分發(fā)揮其導(dǎo)向作用，嚴(yán)格執(zhí)行課程標(biāo)準(zhǔn)，尊重學(xué)生認(rèn)知，側(cè)重考查學(xué)生“基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”和“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力”。

2.高中知識下放。

部分試卷為追求所謂的新立意，將高中數(shù)學(xué)知識以閱讀理解和新定義形式下放到初中試卷中考查。

案例2.【試題呈現(xiàn)】在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），向量[OP]可以用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示為[OP]=（m，n）。已知：[OA=（x1，y1）]，[OB=（x2，y2）]，如果x1×x2+y1×y2=0，那么[OA]與[OB]互相垂直。下列四組向量：①[OC]=（2，1），[OD]=（-1，2）；②[OE]=（cos30°，tan45°），[OF]=（1，sin60°）；③[OG]=[（3-2，-2）]，[OH=（3+2，12）]；④[OM]=（π0，2），[OD]=（2，-1）。其中互相垂直的是 （填上所有正確答案的序號）。

【評析與建議】向量法是數(shù)學(xué)中處理圖形問題的重要工具。該題主要考查新定義與閱讀理解。我們發(fā)現(xiàn)，上海卷也考查了向量問題：如圖2，已知AB∥CD，CD=2AB，AD、BC相交于點(diǎn)E，設(shè)[AE=a]，[CE=b]，那么向量[CD]用向量[a]、[b]表示為 。兩地試題除了考查方式不同外，其根本區(qū)別在于：《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》[2]中明確要求“在初中引進(jìn)向量及其線性運(yùn)算，重視向量的工具作用和對解析幾何的奠基作用”，要求初中階段的學(xué)生（六至九年級）“知道向量的要素及向量的表示，理解相等向量、相反向量、平行向量、零向量的意義”“掌握向量的線性運(yùn)算，體會(huì)用向量解決簡單幾何問題的過程”。而其他地區(qū)“向量”是高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容，使用的《課標(biāo)（2011年版）》沒有向量內(nèi)容，因此，如果上海試題出現(xiàn)向量的簡單問題尚屬正常的話，那么，其他地區(qū)考查向量屬于高中知識的下放，顯然不太恰當(dāng)。

高中知識下放的問題在各地中考試卷中屢見不鮮，如四川某市考查“導(dǎo)數(shù)”的閱讀與運(yùn)用，湖南某市考查復(fù)數(shù)的定義的理解與運(yùn)用，山東某市考查坐標(biāo)平面內(nèi)“點(diǎn)P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離公式”的理解與深度運(yùn)用，凡此種種都是一種不好的命題導(dǎo)向。建議要依綱據(jù)本，在學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容的范圍內(nèi)命題，避免“教師猜題押題，將大量高中知識下放到初中教學(xué)，學(xué)生機(jī)械套用，加重學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)”的現(xiàn)象。

二、要設(shè)計(jì)真情境、提出真問題、引導(dǎo)真探究

《課標(biāo)（2011年版）》指出，學(xué)生要“學(xué)會(huì)在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法等解決簡單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力”。將現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化，培養(yǎng)建模意識和歸納與抽象能力，是課堂教學(xué)和數(shù)學(xué)命題的應(yīng)然目標(biāo)。但從中考試題來看，情境設(shè)計(jì)不符合數(shù)學(xué)常識、不真實(shí)，探究缺乏創(chuàng)新性等現(xiàn)象比較突出。

1.情境選用不符合數(shù)學(xué)常識。

案例3.【試題呈現(xiàn)】可燃冰，學(xué)名叫“天然氣水合物”，是一種高效清潔、儲量巨大的新能源，據(jù)報(bào)道，僅我國可燃冰預(yù)測遠(yuǎn)景資源量就超過了1000億噸油當(dāng)量。將1000億用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）。

A.1×103 B.1000×108 C.1×1011 D.1×1014

【評析與建議】命題者提供的答案為C。筆者認(rèn)為，情境選用不當(dāng)。雖然教材規(guī)定：任何一個(gè)正數(shù)都可以寫成a×10n（1≤a<10，n為整數(shù)）的形式，但通常情況下，如果一個(gè)數(shù)能表示成10n（n為整數(shù)），就沒有必要再寫成1×10n的形式。因此，“1×1011”的表示方式不符合數(shù)學(xué)常識。建議試題命制過程中的情境選擇與設(shè)計(jì)要符合學(xué)科特點(diǎn)和共識。

2.問題設(shè)置不真實(shí)。

有不少試題所謂的現(xiàn)實(shí)情境，是為情境而設(shè)情境，不真實(shí)、不符合實(shí)際，可謂假情境。

案例4.【試題呈現(xiàn)】某水果店的原價(jià)為10元/斤的某種水果，在兩周內(nèi)經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為8.1元/斤，并且兩次降價(jià)的百分率相同。

（1）求該水果每次降價(jià)的百分率；

（2）從第一次降價(jià)的第1天算起，第x天（x為整數(shù)）的售價(jià)、銷量及儲存和損耗費(fèi)用相關(guān)信息如表所示。已知該水果的進(jìn)價(jià)為4.1元/斤，設(shè)銷售該水果第x（天）的利潤為y（元），求y與x（1≤x<15）的函數(shù)關(guān)系式，并求出第幾天時(shí)銷售利潤最大？

[時(shí)間（天） 1≤x<9 9≤x<15 x≥15 售價(jià)（元/斤） 第1次降價(jià)后的價(jià)格 第2次降價(jià)后的價(jià)格 銷量（斤） 80-3x 120-x 儲存和損耗費(fèi)用（元） 40+3x 3x2-64x+400 ]

（3）在（2）的條件下，若要使第15天的利潤比（2）中最大利潤最多少127.5元，則第15天在第14天的價(jià)格基礎(chǔ)上最多可降多少元？

【評析與建議】就題目設(shè)置而言，表格中的銷量80-3x與120-x、儲存40+3x與損耗費(fèi)用3x2-64x+400等是現(xiàn)實(shí)問題嗎？北京卷“情境真實(shí)、真正考查數(shù)學(xué)化能力”的特點(diǎn)就比較突出，可供廣大命題者借鑒。

3.問題解決不是真探究。

“真探究”是提供真實(shí)的思維環(huán)境，讓學(xué)生自主思考如何探究。一些中考試題人為設(shè)置好探究的路徑，學(xué)生所謂的探究，只是按照試題的路徑依樣畫葫蘆，沒有自主的、獨(dú)立的思維。

案例5.【試題呈現(xiàn)】綜合與實(shí)踐

【背景閱讀】早在三千多年前，我國周朝數(shù)學(xué)家商高就提出：將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”。它被記載于我國古代著名數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中。為了方便，在本題中，我們把三邊的比為3∶4∶5的三角形稱為（3，4，5）型三角形。例如：三邊長分別為9、12、15或[32]、[42]、[52]的三角形就是（3，4，5）型三角形。用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類型的三角形。

【實(shí)踐操作】如圖3-①，在矩形紙片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm。

圖3

第一步：如圖3-②，將圖3-①中的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)D落在AB上的點(diǎn)E處，折痕為AF，再沿EF折疊，然后把紙片展平。

第二步：如圖3-③，將圖3-②中的矩形紙片再次折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，折痕為GH，然后展平，隱去AF。

第三步：如圖3-④，將圖3-③中的矩形紙片沿AH折疊，得到△AD′H，再沿AD′折疊，折痕為AM，AM與折痕EF交于點(diǎn)N，然后展平。

【問題解決】（1）請?jiān)趫D3-②中證明四邊形AEFD是正方形。

（2）請?jiān)趫D3-④中判斷NF與ND′的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。

（3）請?jiān)趫D3-④中證明△AEN是（3，4，5）型三角形。

【探索發(fā)現(xiàn)】（4）在不添加字母的情況下，圖3-④中還有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？請找出并直接寫出它們的名稱。

【評析與建議】試題“實(shí)踐操作”環(huán)節(jié)，讓學(xué)生按照指定步驟進(jìn)行操作，進(jìn)而對操作得到的圖形進(jìn)行判定與性質(zhì)的探究，似乎是在落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)。然而，當(dāng)學(xué)生作為一個(gè)自然人，面臨一個(gè)真實(shí)情境時(shí)，這些探究路徑與步驟需要自己摸索，沒有誰預(yù)先設(shè)計(jì)好探究路徑，所以筆者認(rèn)為這類探究題是“偽探究”?！墩n標(biāo)（2011年版）》指出：“動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程?！边@個(gè)過程應(yīng)該體現(xiàn)在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中。初學(xué)階段給出探究路徑、步驟，為學(xué)生搭建腳手架；在學(xué)生掌握了操作探究的基本方法后逐步“放手”，給出問題情境，讓學(xué)生自己去思考、自己設(shè)計(jì)探究的方案。而操作探究類中考壓軸題則應(yīng)該提供開放的情境，給學(xué)生自主探究、解決問題的機(jī)會(huì)。

三、關(guān)注學(xué)科內(nèi)涵，指向考查內(nèi)容的本質(zhì)

筆者對2017年全國90份中考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，在每份試卷最后兩題共180道試題中，與函數(shù)有關(guān)的試題共101題，以二次函數(shù)為背景的試題共76題，其中，純函數(shù)的試題有10題，函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用有6題，其余都是“函數(shù)+圖形”類試題，占以二次函數(shù)為背景的試題數(shù)的79%。“不少所謂的函數(shù)試題，函數(shù)只是背景，實(shí)質(zhì)還是圖形變換與幾何計(jì)算，很少真正涉及函數(shù)知識與本質(zhì)，筆者稱之為‘偽函數(shù)題?！盵3]

【評析與建議】客觀地說，初中階段是從形象思維向抽象思維過渡的階段，從學(xué)生認(rèn)知能力來看，考查與圖形有關(guān)的試題以及知識、方法的綜合運(yùn)用與遷移能力無可厚非。但數(shù)學(xué)最終指向抽象，中考承擔(dān)著為高一級學(xué)校選拔生源的功能，因此，中考壓軸題的命制，還是要在關(guān)注學(xué)科內(nèi)涵、指向考查內(nèi)容的本質(zhì)上下點(diǎn)功夫。

四、力求關(guān)聯(lián)性與層次性，減少拼湊痕跡

好的試題一定是和諧、協(xié)調(diào)的，給人以美感，然而一些試題存在人為拼湊的痕跡。

1.內(nèi)容缺乏關(guān)聯(lián)，試題效度不高。

案例6.【試題呈現(xiàn)】下列命題中為假命題的是（ ）。

A.正六邊形的外角和等于360°

B.位似圖形必定相似

C.樣本方差越大，數(shù)據(jù)波動(dòng)越小

D.方程x2+x+1=0無實(shí)數(shù)根

【評析與建議】從試題看，該題將毫不相干的內(nèi)容作為選擇支拼湊在一起，沒有知識關(guān)聯(lián)，也沒有邏輯關(guān)聯(lián)。那么試題究竟想考查什么？如果學(xué)生錯(cuò)了，錯(cuò)在哪里？是什么原因致錯(cuò)？無從知曉。建議編制試題時(shí)適當(dāng)考慮內(nèi)容的指向性，提高試題的效度。

2.問題缺乏遞進(jìn)，方法鋪墊較少。

案例7.【試題呈現(xiàn)】已知拋物線C1的頂點(diǎn)為A（-1，4），與y軸的交點(diǎn)為D（0，3）。

（1）求C1的解析式；

（2）若直線l1∶y=x+m與C1僅有唯一的交點(diǎn)，求m的值；

（3）若拋物線C1關(guān)于y軸對稱的拋物線記作C2，平行于x軸的直線記作l2∶y=n。試結(jié)合圖形（圖4）回答：當(dāng)n為何值時(shí)，l2與C1和C2共有：①兩個(gè)交點(diǎn)；② 三個(gè)交點(diǎn)；③四個(gè)交點(diǎn)；

（4）若C2與x軸正半軸交點(diǎn)記作B，試在x軸上求點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形。

【評析與建議】該題具有較好的問題背景，但問題（3）考查數(shù)形結(jié)合與圖形直觀，問題（4）是根據(jù)條件列方程求待定字母的值，盡管都用到分類討論，但思考方向迥異、解題方法不同，兩小題間既無結(jié)論的遞進(jìn)關(guān)系，也沒有方法的鋪墊，有拼湊之疑。一道好的試題，問題與題干之間、問題與問題之間，無論是內(nèi)容還是結(jié)構(gòu)都要具有良好的邏輯關(guān)系，凸顯關(guān)聯(lián)性、層次性和發(fā)展性。

五、堅(jiān)持原創(chuàng)性，讓壓軸題具有強(qiáng)大的生命力

壓軸題是一卷之魂。一方面，壓軸題起著區(qū)分的作用；另一方面，壓軸題是教師、學(xué)生、學(xué)生家長和社會(huì)的關(guān)注焦點(diǎn)。所以，原創(chuàng)性應(yīng)該作為壓軸題的基本要求。但一些壓軸題有明顯的由陳舊中考題改編的痕跡，個(gè)別地區(qū)的壓軸題與上一年其他地區(qū)中考原題高度雷同。

案例8.【試題呈現(xiàn)】已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點(diǎn)，以BP為邊作正方形BPEF，使點(diǎn)F在線段CB的延長線上，連接EA、EC。

（1）如圖5-①，若點(diǎn)P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；

（2）如圖5-②，若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，連接AC，判斷△ACE的形狀，并說明理由；

（3）如圖5-③，若點(diǎn)P在線段AB上，連接AC，當(dāng)EP平分∠AEC時(shí)，設(shè)AB=a，BP=b，求a∶b及∠AEC的度數(shù)。

【評析與建議】該題與江蘇泰州2016年卷第25題幾乎相同。比較兩題發(fā)現(xiàn)，除了文字少數(shù)微調(diào)、對圖5-③增加了“連接線段AC”外，整個(gè)試題從圖形到條件、結(jié)論與2016年泰州題幾乎完全相同。中考試卷承載著為高一級學(xué)校選拔生源的重任，壓軸題只有堅(jiān)持原創(chuàng)，才能夠確保評價(jià)的客觀、公平與公正，才能具有強(qiáng)大的生命力。

六、控制題量與閱讀量，留給學(xué)生思考時(shí)間

史寧中先生在談到數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)時(shí)指出：“數(shù)學(xué)是需要思考的，不能單純通過解題速度的快慢來評價(jià)一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)的好壞。”[4]這里就涉及一份試卷的題量和閱讀量的問題。

1.控制試卷總題量。

從試卷分析來看，各地試卷總題量沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，多的如北京卷共29題42小題，少的如山東日照卷共22題30小題?？傤}量多少為宜？還要看試題的難度與考查目的。從初中生角度來說，考試時(shí)間在2個(gè)小時(shí)內(nèi)，題量應(yīng)控制在26大題36小題內(nèi)為宜。

2.控制閱讀量。

《課標(biāo)（2011年版）》對數(shù)學(xué)閱讀的教學(xué)與評價(jià)提出要求。在教學(xué)中，“對于學(xué)有余力并對數(shù)學(xué)有興趣的學(xué)生，教師要為他們提供足夠的材料和思維空間，指導(dǎo)他們閱讀，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能”。在評價(jià)中，“根據(jù)評價(jià)的目的合理地設(shè)計(jì)試題的類型，有效地發(fā)揮各種類型題目的功能。例如，為考查學(xué)生從具體情境中獲取信息的能力，可以設(shè)計(jì)閱讀分析的問題”。

但有些試題的閱讀量太大，不利于學(xué)生對問題本質(zhì)的思考。如山東某卷第23題僅文字就達(dá)713個(gè)，還有幾個(gè)圖形、公式等，學(xué)生要結(jié)合等式和圖形閱讀，閱讀量偏大，在有限的時(shí)間內(nèi)完成解答比較困難。該市近幾年都考查了閱讀理解，閱讀量都比較大，2009年試題超過1000字，2015年“小棒搭三角形”問題有707個(gè)字，2016年“矩形分割”問題有719個(gè)字。

【評析與建議】此類試題立意與目標(biāo)較好，無須復(fù)雜運(yùn)算、推理和書寫過程，只要靜心閱讀、理解題意，運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)就能順利完成答題。但中考側(cè)重對學(xué)習(xí)結(jié)果的評價(jià)，而數(shù)學(xué)閱讀是一種學(xué)習(xí)過程，因此中考試題要把握好閱讀量，力求試題簡約，讓學(xué)生有足夠的時(shí)間思考，體現(xiàn)對學(xué)生的人本關(guān)懷。史寧中先生就高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問題在回答記者提問時(shí)談到，“基于目前的狀況，希望在不增加題量的前提下，適當(dāng)延長考試的時(shí)間。”[5]這也是今后高考、中考命題的新導(dǎo)向。

寫在最后

命題是一項(xiàng)勞心勞力的工作，需要考慮的因素太多，因而要絞盡腦汁；命題又是一件遺憾的藝術(shù)，無論當(dāng)初的預(yù)設(shè)多么美好，回頭再看，總還是能發(fā)現(xiàn)諸多不足。這也是筆者多年從事命題工作的體會(huì)。本文無意對他人挑剔與指責(zé)，旨在提醒自己，也與同行共勉：正是這種“勞心勞力”與“遺憾”，才體現(xiàn)命題工作的創(chuàng)造性與挑戰(zhàn)性，凸顯命題工作者的價(jià)值。我們只有不斷完善自我，精益求精，才能應(yīng)對挑戰(zhàn)，讓命題工作具有更高的價(jià)值。

（作者單位：江蘇省泰州市教育局教研室）