郭永勝　黃秀旺

課堂提問是一門藝術，也是一種有效的教學方式，在數學教學中有著極其重要的作用。在教學中，問題設得好，設得巧，不僅能點燃學生思維的火花，激發(fā)學生的求知欲，而且能挖掘學生的創(chuàng)造潛能，促進學生思維力生長。本文以蘇科版九年級上冊“2.4 圓周角”第一課時的教學過程為例，分享筆者對“如何設計問題，促進學生思維力生長”的一些想法。

一、教學實錄

1.情境創(chuàng)設。

問題：足球訓練場上教練在球門前畫了一個圓圈，進行無人防守的射門訓練，如圖1（1），甲、乙兩名運動員分別在C、D兩地，他們爭論不休，都說自己所在位置對球門AB的張角大。如果你是教練，請評一評他們兩個人，誰的位置對球門AB的張角大。

生1：我覺得點C位置比較正，點D位置比較偏，點C的張角比點D大。

生2：我覺得兩個位置對球門AB的張角一樣大。

師：又來了一名運動員丙，要想對球門AB的張角與甲、乙一樣，你覺得應該站在什么位置？

生3：應該站在圓弧上。（在圖1（2）中畫出丙的位置點Q。）

師：你能給出這樣判斷的依據嗎？（學生陷入思考，給不出推理依據。）

師：我們通過今天的學習來解決這個問題。

2.提煉概念。

師：觀察圖1中的∠C、∠D，與我們已經學習的圓心角有什么不同？

生4：頂點在圓心的角是圓心角，而這兩個角的頂點在圓上，不在圓心。

師：你能再畫兩個具有相同特征的角嗎？

（生4板演展示圖2。）

師：老師這邊也畫了幾個角（圖3），你覺得與圖1中的∠C、∠D的特征一樣嗎？

生5：我覺得只有圖3（4）中的角和∠C、∠D是一類的，都在圓的里面，而圖3（1）中角的頂點不在圓上，圖3（2）中角在圓的外面，圖3（3）中的角的一部分在圓的外面。

師：你能再完善一下圖形的特征嗎？

生5：頂點在圓上，邊與圓相交。

師：這樣的角我們稱之為圓周角，你能給圓周角下個定義嗎？

生5：頂點在圓上，并且兩條邊都和圓相交的角叫作圓周角。

（教師板書課題及圓周角定義。）

3.探索性質。

【片段1】

師：畫出弧BC所對的圓心角和圓周角，并思考這樣的圓心角有多少個，圓周角有多少個。

生6：弧BC所對的圓心角只有一個，圓周角有無數個，看我畫的圖。（投影展示圖4。）

師：弧BC所對的圓周角有無數個，你能為它們分類嗎？可以小組交流。

生7：連接BC，構造三角形，以三角形的形狀分類，分為鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形，比方說：△A1BC是鈍角三角形，△A3BC是銳角三角形。

師：哇！你結合了我們對三角形的分類標準，想法非常好。但我還有個問題，這個直角三角形你能在圖中畫出來嗎？

生7：過B點作BC的垂線，交⊙O于點E，連接CE即可。

師：太好了，你對幾何圖形的聯想能力很強。

（突然有一位同學興奮地舉手。）

生8：老師，他的分類雖然行，可是我覺得沒有和圓的知識聯系起來，所以我想用圓心和圓周角的位置不同來分類，分別是圓心在圓周角的邊上，圓心在圓周角的內部，圓心在圓周角的外部，并且這種分類的圖形也比較容易畫出來。這就是我畫的圖形。（投影展示圖5。）

師：大家覺得哪種分類標準更符合圓的圖形特征呢？

生（眾）：第二種。

師：好！我們以圓心與圓周角的位置關系進行分類：圓心在角的邊上、角的內部、角的外部。（利用幾何畫板動態(tài)演示。）

師：請大家看看以上兩種分類之間有什么聯系。希望大家課后思考這個問題！

【片段2】

師：弧BC所對的圓周角有無數個，我們已經將它們進行了分類，你認為我們接下來還要研究什么？

生（眾）：這些角的大小關系。

師：你們認為這些圓周角的大小關系是什么。動動手，測一測。

生9：我測量了好幾個，發(fā)現它們的度數一樣，所以我覺得這些圓周角的度數不變。

師：這個發(fā)現很好！我們再來看看這些圓周角和弧BC所對的圓心角有什么關系呢。

生10：我經過測量，發(fā)現弧BC所對的圓周角等于弧BC所對圓心角的一半。

（教師先把這兩個發(fā)現寫下來，同時借助幾何畫板分別度量出每個角的度數，肯定學生的這個發(fā)現，激發(fā)學生驗證這一發(fā)現的求知欲。）

師：怎么驗證我們的發(fā)現呢？

生11：我們的發(fā)現有兩個：1.同弧所對的圓周角相等；2.同弧所對的圓周角等于該弧所對圓心角的一半。這兩個發(fā)現中只要驗證了第二個，那么第一個就自然成立。所以我覺得應該首先來驗證同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。

師：想法不錯！可是一條弧所對的圓周角有無數個，那我們怎么來驗證呢？

生12：剛才我們把這無數個圓周角分成了3種情況，可以分情況去證明。

師：你認為應該從哪種情況入手呢？

生12：我覺得先從最特殊的情況證明吧，就是當圓心在圓周角的邊上時（如圖6（1））。

師：現在大家根據這位同學給出的想法先思考一下。

（給每一名學生思考的時間，等待2分鐘后，請學生回答，教師板書。）

生13：在⊙O中，

∵OA=OB，

∴∠A=∠B。

在△OAB中，

∵∠BOC=∠A+∠B，

∴∠A=[12]∠BOC。

師：其他兩種情況如何驗證呢？大家可以小組交流一下。

（在學生思考交流的時候，教師到每個小組，捕捉學生的想法或了解學生遇到的難點。其實這兩種情況的驗證還是有一些難度的，學生一時沒有完整的思路也不必著急，可以先從他們已有的想法入手，逐漸深入。）

師：我們在解決從一般到特殊的圖形問題時，大家還記得通常的研究方法嗎，能類比試試嗎？

生14：我接下來想解決圓心在圓周角內部的情況。首先過點A作直徑AD（如圖7），這樣就出現了第一種情況的圖形，可以利用第一種情況的結論證明。

可得：∠BAD=[12]∠BOD，∠CAD=[12]∠COD，

從而∠BAD+∠CAD=[12]∠BOD+[12]∠COD

=[12]（∠BOD+∠COD），即∠BAC=[12]∠BOC。

師：這個想法很好，找到了兩種情況之間的聯系，大家為他鼓掌！第三種情況又怎么解決呢？

生15：我根據剛才第二種情況的解法，過點A作直徑AD（如圖8），也出現了第一種情況的圖形，可得：∠BAD=[12]∠BOD，∠CAD=[12]∠COD，

從而∠BAD-∠CAD=[12]∠BOD-[12]∠COD

=[12]（∠BOD-∠COD），即∠BAC=[12]∠BOC。

師：到這里，我們已經證實了最初的發(fā)現，誰來總結一下。

生16：同弧所對的圓周角等于圓心角的一半；同弧所對的圓周角相等。

師：我們回頭評一評問題中兩個運動員的射門角度大小如何，你的依據是什么？

生17：兩個運動員的射門角度∠C、∠D一樣大，因為同弧所對的圓周角相等。

二、課后反思

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：數學教學活動，特別是課堂教學應激發(fā)學生興趣，調動學生積極性，引發(fā)學生的數學思考，激勵學生的創(chuàng)造性思維。教師作為組織者、引導者，可以通過設計恰當的問題，激發(fā)學生好奇心，促進學生思維力生長。

1. 精心預設課堂問題。

教師在備課時，就要對課堂提問進行預設，在預設問題時，要思考幾個方面：（1）從知識內容考慮，如何抓住重點、突破難點。本節(jié)課圓周角的定義是一個重點，筆者通過設計一系列問題，引導學生自主探究出圓周角的特征。（2）從學生情況考慮，充分認識學生的認知規(guī)律，對學生的學習情況、學習習慣有清晰的判斷。如在圓周角定義形成時，學生往往對圓周角的特征理解不深刻，所以筆者添加了一個辨析問題，鞏固概念。（3）學生是否具備學習新知識所需的知識與技能或相關的生活經驗。如在“圓周角”的教學設計中，為了讓學生體會圓周角的定義，筆者創(chuàng)設了一個足球運動員射門訓練的情境，這也是學生比較熟悉的一項運動。

2. 靈活處理生成問題。

課堂教學的成功基于課前的精心設計，但課堂的精彩之處往往在于教師引導學生智慧處理教學過程中的生成問題。所以提問不能僅局限于課前設計的問題，學生是一個個鮮活的思維個體，預設不可能將課堂中出現的所有問題都考慮在內，所以教師的預設也要具備一定的彈性，要能接納和吸收學生在課堂上生成的新問題。如本節(jié)課在設計圓周角如何分類時，預設的答案是“以圓心與圓周角的位置”為標準進行分類，而在課堂上有學生給出“以三角形是銳角、直角、鈍角三角形”為標準進行分類，這時立刻就生成了一個問題“兩種分類之間有什么聯系”，把學生的思維引向深入。課堂生成是一種教學資源，是學生全身心投入的表現，是師生、生生對話、碰撞激起的智慧火花。

3.課堂提問巧“留白”。

“留白”一詞指書畫藝術創(chuàng)作中為使整個作品畫面、章法更為協調精美而有意留下相應的空白，留有想象的空間。數學課堂提問“留白”可以增加學生探索的欲望和動力，拓寬學生思維的廣度和深度。如在本節(jié)課的引入環(huán)節(jié)，筆者通過“射門”訓練，在規(guī)定的圓弧上什么位置射門最好，學生只能憑借自己的感覺給出判斷，但不能說明判斷的理由。學生急切地想知道原因，這時教師乘勝追擊：“你們一定很想知道原因，我們就通過今天的學習，一起來尋找答案吧！”有些問題由于時間原因可以問而不答，留給學生更多的思維空間。如在圓周角的分類時，得到兩種分類標準之后，提出：“請大家看看，以上兩種分類之間有什么聯系？希望大家課后思考這個問題！”這樣的問題引導學生課后繼續(xù)探索。

筆者通過“課前設計—教學實踐—課后反思”，不斷地探索提高學生思維力的方法。但學生思維力生長是一個長期發(fā)展的過程，如何根據不同的教學內容和學生的實際情況設計出有效的問題，引領學生思維走向深入，是每一位數學教師需要不斷思考的課題。

（作者單位：1南京市天景山中學，2南京市竹山中學）

本文系南京市江寧區(qū)初中數學鄉(xiāng)村骨干教師培育站研修項目“基于初中生思維力生長的問題導學式課堂教學”的研究成果。