近期筆者有機(jī)會(huì)聽某年輕教師的一節(jié)匯報(bào)課，教材上并沒有相關(guān)的課例。該教師針對(duì)平面直角坐標(biāo)系新授課之后，學(xué)生家庭作業(yè)中出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤增設(shè)出一節(jié)習(xí)題課，精心選題，歸類講解了在平面直角坐標(biāo)系中的三角形面積的探究，題型比較豐富，訓(xùn)練量很大，應(yīng)該說對(duì)這類問題的應(yīng)試輔導(dǎo)是到位的，也是有效的。要想讓課堂教學(xué)更有品質(zhì)，各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)之間更有關(guān)聯(lián)，不同例、習(xí)題之間更有聯(lián)系，我們還可以怎樣設(shè)計(jì)與構(gòu)思呢？帶著這些問題，本文將該課的一些主要選題摘抄一部分呈現(xiàn)，并本著教學(xué)研討的目的，重新給出教學(xué)設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)案，拋磚引玉。

一、聽課摘錄

聽課記錄：學(xué)生匯報(bào)解題思路之后，教師小結(jié)了求這種三角形面積的關(guān)鍵是利用點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為高來計(jì)算。

題型2 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，4），B（4，2），C（1，1），則△ABC的面積為________。

聽課記錄：師生合作畫出圖形，如圖2，過A，B，C三點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線，補(bǔ)成四邊形CDEF，先分析得出D（1，4），E（4，4），F(xiàn)（4，1），

進(jìn)一步用四邊形面積減去3個(gè)直角三角形面積，S△ABC=3×3-[12]×1×3-[12]×3×1-[12]×2×2

=9-[32]-[32]-2=4。

題型3 已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過A（a，0）和B（0，-5）兩點(diǎn)，且直線AB與兩坐標(biāo)軸圍成的直角三角形的面積為10，求a的值。

聽課記錄：先構(gòu)造出草圖進(jìn)行分析，師生互動(dòng)探討了A點(diǎn)所在位置（x軸上任意一點(diǎn)），學(xué)生最初只考慮了一個(gè)解，為了糾錯(cuò)和防控漏解，教師啟發(fā)學(xué)生從絕對(duì)值方程的角度來思考，列出絕對(duì)值方程[12]·|a|·|-5|=10，解得a=±4。最后，在圖形上給出A點(diǎn)兩處可能的位置（如圖3）。

題型4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有4個(gè)點(diǎn)A（-6，0），B（-5，2），C（-1，4），D（1，0），順次連接AB，BC，CD，AD，得到四邊形ABCD。求四邊形ABCD的面積。

聽課記錄：有學(xué)生先想到將四邊形補(bǔ)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，然后依次減去一些三角形的面積；教師對(duì)學(xué)生基于“補(bǔ)”形的思考策略表示了肯定，接著提示，是否可以采用“割”的方法呢？于是，有學(xué)生提出過點(diǎn)B作BP⊥x軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)C作CQ⊥x軸于點(diǎn)Q。直角三角形ABP的面積=[12]×1×2=1，Rt△CDQ的面積=[12]×2×4=4，梯形BPQC的面積=[12]×4×（2+4）=12，所以四邊形ABCD的面積=1+4+12=17。這樣問題也獲得了解決。

聽課隨感：課中，上述4種題型較好地涵蓋了平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的常考題型，學(xué)生訓(xùn)練之后普遍感覺不錯(cuò)，在課堂小結(jié)中表示對(duì)這類問題都更有信心。在教師隨后鏈接的一些同類訓(xùn)練題中，學(xué)生的正確率也較高。應(yīng)該說這節(jié)課的教學(xué)還是富有成效的。

二、教學(xué)再設(shè)計(jì)

筆者從平面直角坐標(biāo)系的概念復(fù)習(xí)出發(fā)，漸次生成系列問題，讓各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)融為一體，如中國(guó)古代山水畫卷一樣，緩緩展開。

（一）復(fù)習(xí)引入

師：同學(xué)們，前面我們剛學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系，大家會(huì)用一個(gè)有序數(shù)對(duì)表示平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置，現(xiàn)在我們來練習(xí)一道習(xí)題（給學(xué)生發(fā)的學(xué)案上已備好幾個(gè)平面直角坐標(biāo)系，教師在黑板上也畫好一個(gè)直角坐標(biāo)系備用）。

問題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出

A（-2，3），B（2，-2），C（-1，-2），D（3，2），

E（-3，0），F(xiàn)（0，-3）。

教學(xué)組織：師生合作，復(fù)習(xí)舊知，得出平面直角坐標(biāo)系xOy以及6個(gè)點(diǎn)，如圖4。

師：這節(jié)課，我們就圍繞這六個(gè)點(diǎn)，選取其中兩個(gè)或多個(gè)來研究相關(guān)圖形的面積。先看問題1：在圖4中，連接AO，AE，OE，得到△AEO，怎樣求它的面積？

教學(xué)組織：學(xué)生應(yīng)該能直接讀出這個(gè)三角形的面積，教師追問是怎樣做的，在追問中學(xué)生形成對(duì)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與三角形高之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

（二）“補(bǔ)形法”求解坐標(biāo)系中任意三角形的面積

問題2：如圖4，連接AO，AD，DO，BD，OB，求△ADO和△BOD的面積。

教學(xué)組織：這兩個(gè)三角形的面積都可以通過補(bǔ)形的方法來求出，將其補(bǔ)成梯形或長(zhǎng)方形，然后再減去“周邊”三角形，可安排學(xué)生上臺(tái)展示他們的補(bǔ)形與意圖。

（三）“分割法”求解坐標(biāo)系中任意四邊形的面積

問題3：如圖4，連接AO，AE，CE，OC，求四邊形AOCE的面積。

教學(xué)組織：學(xué)生仍然可以將這個(gè)四邊形補(bǔ)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，并逐個(gè)減去“周邊”三角形。作為多解訓(xùn)練的需要，要啟發(fā)學(xué)生能否將其分割求解呢。學(xué)生會(huì)想到將這個(gè)四邊形分割為兩個(gè)三角形的面積（△AOE，△COE）來求和。

變式問題1：求四邊形CDBF的面積。

（四）探究具有特殊位置關(guān)系的三角形面積算法

問題4：分析計(jì)算△COE，△BOE的面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？你能解釋這種發(fā)現(xiàn)嗎？

教學(xué)組織：學(xué)生計(jì)算出它們的面積相等后，通過師生互動(dòng)對(duì)話，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形的底相同（OE），高相等（點(diǎn)B，C的縱坐標(biāo)相等）。

變式問題2：若另有一點(diǎn)M（m，0），當(dāng)△AOM的面積為3時(shí)，求m的值；

變式問題3：若另有一點(diǎn)N（n，-2），當(dāng)△NCD的面積為6時(shí)，求n的值。

教學(xué)組織：變式問題主要是坐標(biāo)中含有一個(gè)參數(shù)，另一個(gè)坐標(biāo)為常數(shù)，學(xué)生需要先解讀出這樣的點(diǎn)在某一直線上，然后再畫出草圖分析，分類討論。

三、進(jìn)一步的思考

在當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)中，習(xí)題講評(píng)課幾乎每天都上，作業(yè)講評(píng)、周練講評(píng)、階段檢測(cè)卷講評(píng)、期中期末卷講評(píng)等，然而多數(shù)習(xí)題講評(píng)課總是對(duì)照習(xí)題資料的順序，一題接著一題往后講，鮮有針對(duì)同類題型或某一種方法或某種解題策略而研發(fā)的習(xí)題講評(píng)課型，這是值得我們反思和重視的。

（一）習(xí)題講評(píng)課的備課要精心選題并同類跟進(jìn)。

習(xí)題講評(píng)課首先要精心選題，針對(duì)學(xué)生作業(yè)過程中出現(xiàn)的普遍、共性問題，選定講評(píng)主題，然后有針對(duì)性地挑選相關(guān)問題，歸類講解，漸次展開（如上文中后一種教學(xué)設(shè)計(jì)），讓學(xué)生抬級(jí)而上，逐個(gè)突破，做一題，會(huì)一類，通一片。在講評(píng)之后，還應(yīng)該進(jìn)行同類跟進(jìn)的訓(xùn)練，這樣就可有效反饋學(xué)生是否真正弄懂、掌握。

（二）習(xí)題講評(píng)課應(yīng)該有目標(biāo)意識(shí)，重視內(nèi)容效度。

如前所述，當(dāng)前習(xí)題講評(píng)課的一個(gè)現(xiàn)狀是就題講題，講完一題接著講另一題，題目之間知識(shí)點(diǎn)、方法策略等層面往往差別很大，很多時(shí)候?qū)W生還沒有來得及消化前一題，教師又開始講解下一題了，造成習(xí)題講評(píng)的教學(xué)效率低下。這種現(xiàn)象的應(yīng)對(duì)策略首先是要讓教學(xué)“慢”下來，慢下來就是要增強(qiáng)習(xí)題教學(xué)的課時(shí)教學(xué)目標(biāo)意識(shí)，想講評(píng)一類習(xí)題就要先搜集出同類習(xí)題作為題組呈現(xiàn)出來，這樣習(xí)題課的內(nèi)容效度就得到了保證，然后再跟進(jìn)同類訓(xùn)練，習(xí)題講評(píng)的效率也就得到了提升。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué)）

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