李易林

本文試圖從Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型的角度解釋銀行間所存在的金融傳導造成的金融崩塌。世界對2008年全球金融海嘯的影響極其重視，學界在這之后試圖得出一個一般化理論解釋金融系統(tǒng)中的網絡傳導現象，即最初的美國次貸危機是如何造成全球經濟衰退的，機制是什么，動力是什么。在前人的許多研究基礎上，本文希望從一個全新的視角——物理學領域中自組織臨界的動力系統(tǒng)例子、相交、平均場理論等——來模擬該金融網絡傳導與崩潰。

金融傳導

金融理論 沙堆崩塌模型

模型基本要素

Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型

Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型又稱作Abelian沙堆模型，由Per Bak，Chao Tang和Kurt Wiesenfeld于1978年提出，是自組織臨界的動力系統(tǒng)中第一個發(fā)現的例子，其模型本質是一種細胞自動機（ CellularAutomation）。下面介紹這個沙堆模型。

首先從一個簡單模型開始，考慮一個3*3均勻分割的正方形網格平面，每個小格中最多容納3顆沙礫，并假設沙礫都是完全相同的，若某個小格中沙礫數量n_i（n_i∈N）超過3顆，n_i≥4，則該小格的沙堆會發(fā)生崩塌，向四邊的四個小格各擴散1顆沙礫，則變?yōu)閚_it-4，其的四個相鄰小格的沙礫數量都+1，此時若還存在沙礫數量超過3顆的小格，則繼續(xù)上述崩塌過程。

繼續(xù)擴展到Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型，考慮一個d維的邊長為L的超正方體網格面，每個網格點r的沙礫數量為z（r），當z（r）超過某個特定閾值，就會出現崩塌現象：

z（r）→z（r） - 2d

z（r+n）→z（r+n）+l，n=±e1，±e2，…，±ed

其中{e_i）是單位向量。不失一般性，令z_c= 2d -1，則當z（r）超過z_c時，即沙堆的平均坡度θ> θ_c時，崩塌就會發(fā)生。

馬爾可夫鏈（ Markov Chain）

馬爾可夫鏈為狀態(tài)空間中經過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉換的隨機過程。該過程要求具備“無記憶”盼性質：下一狀態(tài)的概率分布只能由當前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關。這種特定類型的“無記憶性”稱作馬爾可夫性質。馬爾科夫鏈作為實際過程的統(tǒng)計模型具有許多應用。

模型結論與展望

本文所提出的沙堆模型是對金融傳導網絡擬合的一個嘗試，并取個體銀行的破產閾值為Y_c=（2d -l）y。出現的一個問題是y_r> y_c時，對于不同銀行r1≠r2，現實情況中其破產的可能性是不同的，大銀行往往能夠得到中央銀行等機構的支持，大銀行的企業(yè)外資源要遠遠高于小銀行，所以該沙堆模型中只能假設每個銀行擁有同樣的特點：可變現資產相同、社會資源相同、可承受風險能力相同。

其次，該模型的銀行間關系用是否相鄰來反映，因為在沙堆崩潰的過程中，一個網格面（點）的崩潰只能傳導給相鄰的網格面（點），所以只能認為這是發(fā)生直接聯系的銀行間才能出現的情況，而每兩個銀行間都能夠用一個距離來衡量聯系程度，可以將該距離定義為兩個銀行間的直接債務、間接債務所占總債務的百分比的加權平均，權重為間接銀行間的距離，即

這樣的一組方程組至少可以得到一組解。然而這種所謂的“距離”確是不可逆的，即銀行i對銀行j的距離并不需要與銀行j對銀行i的距離嚴格相等。本文一直希望克服這樣的一個非對稱性，構造一個對稱的距離指標，這樣的距離囊括了特定超立方體沙堆模型中的結構性質要素，從而這樣的距離m_ij就存在一個閾值m_c，當兩個銀行的距離m_ij< m_c時，則對銀行i施加的某個與銀行的資產負債相關的負面沖擊ε_i就會導致銀行j的崩潰。

第三，該模型存在一個崩潰邊緣。該崩潰邊緣是指，舉2維平面網格的例子來說，沙礫在該有限網格系統(tǒng)中是否能穩(wěn)定留存：一個穩(wěn)定的沙堆模型的邊界是確定的，一旦其在沖擊下向外擴散，則該模型相對于這些特定量的沖擊是不穩(wěn)定的，形象的來講就是，需要依靠外部的力量去吸收這些多余的違約負債（沙礫）。閾值y_c=（2d -l）y衡量了一個沖擊ε的“大”和“小”：若ε>y_c，則該沖擊為大沖擊，能夠確定一組距離閾值{m_c}；反之為小沖擊，也能夠確定一組距離閾值{m_c}。這也是物理學中相變現象的應用。