林晨

緒論

（1）課題的背景、研究意義

1.1.1收益率

收益率指的是投資者在進(jìn)行一項(xiàng)投資時(shí)所獲得的回報(bào)率。假設(shè)是標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)刻的價(jià)格。

當(dāng)期簡(jiǎn)單收益率：若投資者持有某種標(biāo)的資產(chǎn)，持有期從第t-l天到第f天，則對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)單收益率為：

其中：P_t= InP_t在實(shí)際的金融實(shí)踐分析過(guò)程中，我們經(jīng)常是利用連續(xù)復(fù)合收益率，這是因?yàn)檫B續(xù)復(fù)合收益率有著簡(jiǎn)單收益率所不具備的特點(diǎn)，而這些特點(diǎn)是金融研究中需要具備的。首先，連續(xù)復(fù)合收益率比簡(jiǎn)單收益率更能夠反映資產(chǎn)的收益情況。其次，連續(xù)復(fù)合收益率具有一些更好處理的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，方便我們進(jìn)行一些金融研究。

（2）波動(dòng)率

波動(dòng)率是在金融交易中的一個(gè)重要指標(biāo)，它是資產(chǎn)收益率的條件標(biāo)準(zhǔn)差，是在金融衍生品的定價(jià)中扮演著重要的角色。然后，由于波動(dòng)率的一個(gè)特殊的性質(zhì)，它是不能夠被直接的觀測(cè)的，于是這對(duì)異方差模型的預(yù)測(cè)帶來(lái)一定影響。

股票收益率ARMA模型

（1） AR模型

其中：p是非負(fù)整數(shù)。

（2） MA模型

滑動(dòng)平均模型在金融收益率的建模過(guò)程中具有很重要的作用，是另一種簡(jiǎn)單模型。移動(dòng)平均模型：將白噪聲過(guò)程進(jìn)行推廣或者將白噪聲過(guò)程看做一個(gè)自變量滯后相應(yīng)時(shí)期的模型。

一階滑動(dòng)平均模型（MA（1）模型）：

（3） ARMA模型

在我們實(shí)證分析的過(guò)程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)單一利用AR模型以及MA模型，其實(shí)在刻畫真實(shí)數(shù)據(jù)時(shí)效果并不是很好的。從而，學(xué)者們就需要建立更好的模型來(lái)刻畫一些數(shù)據(jù)，通過(guò)結(jié)合AR模型以及MA模型，有幾位學(xué)者建立了自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMA模型）。在實(shí)際的金融研究過(guò)程中，我們一般不需要直接利用ARMA模型來(lái)描述收益列序列，但在波動(dòng)率建模的過(guò)程中ARMA模型扮演很重要的角色。對(duì)于最簡(jiǎn)單的自回歸滑動(dòng)平均模型ARMA（1，1），有：

股票收益的波動(dòng)率模型

（1）經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)差模型

我們這里所講的標(biāo)準(zhǔn)差是資產(chǎn)收益率的條件標(biāo)準(zhǔn)差，也就是資產(chǎn)收益率的波動(dòng)率。波動(dòng)率建模過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)運(yùn)用經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)差模型，這些模型有著各自的特點(diǎn)，在做參數(shù)估計(jì)時(shí)有著不同效果，有著各自的優(yōu)缺點(diǎn)，需要我們?cè)诮７治鲞^(guò)程中充分利用好這些模型。下面簡(jiǎn)單介紹一下不同波動(dòng)率模型的提出者。

（2）股票等金融資產(chǎn)波動(dòng)率的常見特性

股票等金融資產(chǎn)波動(dòng)率并不能被直接觀測(cè)的，例如，在計(jì)算金融資產(chǎn)波動(dòng)率時(shí)，我們一般只需要交易日的每日收盤價(jià)。雖然波動(dòng)率并不能被直接觀測(cè)的，但我們能夠在資產(chǎn)收益率的時(shí)間序列里看到波動(dòng)率的一些特征。

1.波動(dòng)率時(shí)間序列存在波動(dòng)率聚集。金融資產(chǎn)如股票價(jià)格或者是本文所研究的上證綜合指數(shù)在大的波動(dòng)之后還存在大的波動(dòng)，而小的波動(dòng)之后往往是伴隨著小的波動(dòng)的，在圖像上呈現(xiàn)m來(lái)的是在一段時(shí)間內(nèi)表現(xiàn)為高波動(dòng)率，而在有的時(shí)候就會(huì)出現(xiàn)一定的低波動(dòng)率。很多的金融市場(chǎng)都存在波動(dòng)率聚集的，A股市場(chǎng)亦是如此的。

2.波動(dòng)率的時(shí)間序列在實(shí)際過(guò)程中一般都是連續(xù)的，波動(dòng)率間斷比較難得出現(xiàn)，上下波動(dòng)跳躍也是很難得見到的，這樣為分析波動(dòng)率有一定的好處。

（3） ARCH、GARCH模型

3.3.2 GARCH 模型

比較ARCH模型，可以看出 GARCH模型比ARCH模型的表達(dá)式更加復(fù)雜，從而在刻畫金融資產(chǎn)收益率的波動(dòng)率時(shí)，能夠更好的描述這一過(guò)程。

上證綜合指數(shù)收益率、波動(dòng)率建模分析

要對(duì)上證綜合指數(shù)收益率、波動(dòng)率進(jìn)行建模分析，那么必然需要下載建模過(guò)程中所需的數(shù)據(jù)。于是，我們先在網(wǎng)易財(cái)經(jīng)中找出上證綜合指數(shù)的歷史數(shù)據(jù)，一般我們只需要下載近幾年上證綜合指數(shù)的收盤價(jià)就夠了。

（1）上證綜合指數(shù)收益率ARMA建模實(shí)證

從網(wǎng)易財(cái)經(jīng)中下載的上證綜合指數(shù)收盤價(jià)并不能直接使用，需要我們先進(jìn)行數(shù)據(jù)的預(yù)處理。這里我們選取的時(shí)間區(qū)間為：2016年7月25日到2017年1月18日，共有120個(gè)樣本數(shù)據(jù)。

根據(jù)Box-Jenkins的理論研究，在建模的步驟中需要如下進(jìn)行：首先，我們需要判斷原始數(shù)據(jù)時(shí)間序列的平穩(wěn)性，這是因?yàn)椴煌瑫r(shí)期上證綜合指數(shù)的波動(dòng)性是不同。若時(shí)間序列是不平穩(wěn)，原序列不能夠直接用來(lái)建模分析，需要利用差分變化等方式使得時(shí)間序列滿足平穩(wěn)性條件。

第一步：打開Eviews8軟件，點(diǎn)擊Open a Foreign （such as），點(diǎn)擊View-Graph-Line graph，得出了原始數(shù)據(jù)

從圖1我們可以發(fā)現(xiàn)，這一時(shí)期內(nèi)的上證綜合指數(shù)的波動(dòng)還是較大，也就是說(shuō)時(shí)間序列是不平穩(wěn)的。畫出一階差分后的序列圖，rt為收益率數(shù)據(jù)的時(shí)間序列，輸入代碼：series dx=d（ rt），生成一個(gè)一階差分序列，再畫m一階差分序列的折線圖，如下圖所示：

從圖2中，我們可以看出：對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一階差分之后的一階差分時(shí)間序列在一定程度上是平穩(wěn)的。然而，這僅僅只是我們從圖中直接觀察得出的初步結(jié)論，要知道其是否是平穩(wěn)序列，我們?nèi)赃€需要進(jìn)行ADF檢驗(yàn)。

利用Eviews8對(duì)一階差分序列做單位根的檢驗(yàn)，需要如下操作：選取一階差分序列dx，點(diǎn)擊View-Unit RootTest-lst difference-OK，得出結(jié)果，如下圖所示：

從圖3中，我們可以看出： ADF的t值為-7.848756，在1%、5%、10%的置信水平下的t值分別為-3.489659，、-2.887425、-2.580651。7.848756要大于3.489659， 2.887425，以及2.580651，從而我們可以根據(jù)這一對(duì)比得出拒絕原假設(shè)，因此該一階差分序列是平穩(wěn)的。

第二步：在對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一階差分后，得出了一個(gè)平穩(wěn)序列，即完成了平穩(wěn)性處理。于是，接下來(lái)我們需要求ACF和PACF等一些能夠描述序列特征的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量，然后再利用AIC準(zhǔn)則來(lái)確定ARMA模型的階數(shù)P和Q。

求ACF和PACF的操作方式如下所示：第一種方式（菜單方式），點(diǎn)擊X序列，選擇菜單中的View--Correlogram，在跳出的對(duì)話框中選擇Level和lstdifferent.第二種方式（命令方式），在命令框中輸人命令：ident rt.同樣在跳出的對(duì)話框中選擇Level和lst different。下圖即所求的ACF和PACF：

從圖4中，我們可以觀察到：上證綜合指數(shù)收益率數(shù)據(jù)的相關(guān)圖并不是急劇變化的，而是一步步慢慢衰減的，因此收益率時(shí)間序列便是一個(gè)不平穩(wěn)序列，與我們最初的直觀判斷是一致的。

第三步：在選取模型的階數(shù)的過(guò)程中，我們一般是利用ACF和PACF的截尾性，即是否截尾或者拖尾來(lái)確定。若我們選擇AR模型：應(yīng)當(dāng)根據(jù)ACF是拖尾的，PACF是截尾的；若我們選擇MA模型：應(yīng)當(dāng)根據(jù)ACF是截尾的，PACF是拖尾的；若我們選擇ARMA模型：應(yīng)當(dāng)根據(jù)ACF和PACF都是拖尾的。根據(jù)上圖所示，ACF以及PACF無(wú)截尾性，因?yàn)槲覀冞x擇ARMA模型。接著，我們需要利用t值以及AIC法則來(lái)確定ARMA模型滯后性的P與Q。

在數(shù)據(jù)擬合的過(guò)程中，P和Q的取值一般都只取1或者是2，一般很少有取值超過(guò)2的。利用Eviews8分別得出四個(gè)模型的估計(jì)結(jié)果，具體步驟：在主窗口中點(diǎn)擊Quick--Estimate Equation，然后再Equation specification的窗口下分別輸入：dxma（l）ar（l）； dxma（l）ar（2）；dxma （2） ar （1）； dxma （2） ar （2）.分別得出以下四種結(jié)果：

ARIMA（1，1，1）中AR （1）的t值為-0.3 86162，p值為0.7001，AR （2）的t值為-66.11124：

ARIMA（1，1，2）中AR （1）的t值為-71.74361，P值近似為0，MA （2）的t值為-46.79320，P值也近似為0。

ARIMA（2，1，1）中AR （2）的t值為-0.301777，P值近似為0.7634，MA（1）的t值為-106.4222，P值近似為0。

ARIMA（2，1，2）中AR （2）的t值為0.689724，P值近似為0.4918，MA（1）的t值為-801157，P值為0.4247。

根據(jù)上圖的四個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)論，我們能夠發(fā)現(xiàn)：ARIMA（1，1，2）中AR模型和MA模型都通過(guò)了檢驗(yàn)，而ARIMA（1，1，1），ARIMA（2，1，1）以及ARIMA（2，1，2）這三個(gè)模型擬合效果相對(duì)較差，因此我們就利用了ARIMA（1，1，2）模型。

結(jié)論分析：在對(duì)上證綜合指數(shù)收益率ARMA建模實(shí)證分析過(guò)程中，根據(jù)Box-Jenkin建模思想，首先對(duì)收益率進(jìn)行平穩(wěn)性分析，若該時(shí)間序列是不平穩(wěn)的，我們需要對(duì)不平穩(wěn)序列做差分變化，使得時(shí)間序列滿足平穩(wěn)性條件。通過(guò)以上的實(shí)證分析，我們可以知道所取時(shí)間段的上證綜合指數(shù)收益率序列是不滿足平穩(wěn)性條件的，這里我們選擇做一階差分變化，得出了一個(gè)一階差分序列。接著，得出收益率時(shí)間序列的ACF以及PACF。

（2）基于標(biāo)準(zhǔn)差的金融資產(chǎn)波動(dòng)率實(shí)證

在實(shí)際的金融研究過(guò)程中，方差或者標(biāo)準(zhǔn)差通常是用來(lái)衡量金融資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的一個(gè)重要指標(biāo)，標(biāo)準(zhǔn)差同樣也用來(lái)做為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的標(biāo)準(zhǔn)。標(biāo)準(zhǔn)差用符號(hào)σ表不，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

其中：Ⅳ表示研究數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；μ表示樣本均值，這里指的是所選取樣本上證綜合指數(shù)收益率的均值。

波動(dòng)率是金融資產(chǎn)收益率的條件標(biāo)準(zhǔn)差，反映了標(biāo)的資產(chǎn)投資回報(bào)率的變化程度，波動(dòng)性代表了未來(lái)價(jià)格取值的不確定性。上證綜合指數(shù)同股票價(jià)格一樣，上證綜合指數(shù)的波動(dòng)程度代表了上證市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)變化。本文中，我們將基于標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)上證綜合指數(shù)波動(dòng)率和深證綜指波動(dòng)率進(jìn)行實(shí)證分析。

第一步：首先從網(wǎng)易財(cái)經(jīng)網(wǎng)站中分別下載上證綜合指數(shù)和深證綜指的收盤價(jià)的歷史數(shù)據(jù)，由于歷史數(shù)據(jù)較多，于是我們就研究最近一段時(shí)間兩個(gè)綜合指數(shù)的實(shí)際波動(dòng)狀況。選取的時(shí)間區(qū)間為：2016年3月29日到2017年1月18日，共200個(gè)收盤價(jià)的歷史數(shù)據(jù)。

第二步：先利用excel，根據(jù)收益率的計(jì)算公式分別求兩個(gè)綜合指數(shù)的收益率，這樣我們分別得出了上證綜合指數(shù)和深證綜指收益率的時(shí)間序列，每個(gè)綜合指數(shù)都有199個(gè)收益率數(shù)據(jù)。

第三步：利用標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式求各自收益率的均值，上證綜合指數(shù)收益率的平均值計(jì)算公式為：

根據(jù)公式（4.2.5），我們計(jì)算出了上證綜合指數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.008695211，深證綜指的標(biāo)準(zhǔn)差為0.012497197。

結(jié)論分析：在基于標(biāo)準(zhǔn)差的金融資產(chǎn)波動(dòng)率實(shí)證分析過(guò)程中，本文通過(guò)計(jì)算上證綜合指數(shù)和深證綜指的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)判斷這兩個(gè)綜合指數(shù)的變化程度。我們知道：如果計(jì)算得出的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值大，則可以表明該時(shí)間序列的偏離程度大，即該組數(shù)據(jù)穩(wěn)定性不好。通過(guò)上述的分析，上證綜合指數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比深證綜指的標(biāo)準(zhǔn)差要小很多，這就表明了深證綜指的變化程度越大，越不穩(wěn)定。而且，我們還可以看出，上證綜合指數(shù)和深證綜指收益率都是正，說(shuō)明在所選取的這一時(shí)期內(nèi)，我們投資上證綜合指數(shù)和深證綜指都可以獲利。

（3）基于ARCH模型、GARCH模型描述波動(dòng)率實(shí)證

4.3.1 基于ARCH模型描述波動(dòng)率實(shí)證

這里，我們選擇ARCH模型來(lái)刻畫所研究對(duì)象的波動(dòng)性。以上證綜合指數(shù)為研究對(duì)象，從網(wǎng)易財(cái)經(jīng)中獲取所需的歷史數(shù)據(jù)，一般只選取收盤價(jià)，選取時(shí)間段為2015年5月1日到2017年1月18日共500個(gè)日收盤價(jià)。用P表示收盤價(jià)，則{P_t}為此收盤價(jià)的時(shí)間序列。根據(jù)以相鄰兩個(gè)交易日收盤指數(shù)的對(duì)數(shù)一階差分公式來(lái)計(jì)算出上證綜合指數(shù)收益率，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：