袁建華

[摘 要] 函數(shù)極限計算方法繁多，初學(xué)者不可避免地會常犯一些錯誤。對常見錯誤進(jìn)行了歸類，剖析了錯誤原因。

[關(guān) 鍵 詞] 高職；極限計算；錯誤原因

[中圖分類號] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）09-0162-02

極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)的主要概念（導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)等）本質(zhì)上都是特殊的極限，故正確理解極限的概念、掌握極限的運算是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。學(xué)習(xí)極限的核心任務(wù)就是極限的計算，然而由于初學(xué)者對極限的概念、性質(zhì)和運算法則等理解不透，運算中會經(jīng)常出現(xiàn)各種各樣的錯誤。為幫助高等數(shù)學(xué)初學(xué)者解決學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的“攔路虎”，增強(qiáng)學(xué)好高等數(shù)學(xué)的信心，下文對常見錯誤進(jìn)行了歸類分析。

一、不注意四則運算法則使用條件產(chǎn)生的錯誤

例1.計算極限■（■-■）

常見錯誤：因為■■=∞，■■=∞

所以 原式=■■-■■=∞-∞=0

錯誤分析：運用兩函數(shù)差的極限運算法則時，要求兩函數(shù)的極限均存在，而本例中函數(shù)y=■和y=■在x■1時均為無窮大量，屬極限不存在的情況，上述做法中忽視了兩函數(shù)差的極限運算法則的使用前提條件，從而導(dǎo)致了錯誤。

正確解答：原式=■■=■■

=■■=■

例2.計算極限■（■+■+…+■）

常見錯誤：原式=■■+■■+…+■■

=■■+■■+…+■■=0+0+…+0=0

錯誤分析：極限的和運算法則，僅可推廣到有限個函數(shù)的和的情形，但上述解法中沒有注意到這是一個無限項和的極限問題，錯誤地運用了有限個函數(shù)和的極限運算法則，從而導(dǎo)致了錯誤的產(chǎn)生。

正確解答：因為■≤■+■+…+■≤■

而■■=■■=1，■■=■■=1

故由夾逼準(zhǔn)則可得 ■（■+■+…+■）=1

二、不注意函數(shù)特殊性的而造成的錯誤

例3.計算極限■■

常見錯誤：因為■ arctan■=■

所以 原式=■=■=■

錯誤分析：求分段函數(shù)在分段點處的極限時，學(xué)生一般都會想到先分別研究左右極限，但對初等函數(shù)，往往會忽視這一點。而有一些特殊函數(shù)，如反三角函數(shù)、三角函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)有時在特殊點處左右極限是不一樣的。如本例中■arctan■=■，■arctan■=-■。上述做法中就忽視了先進(jìn)行左右極限的討論，因而造成了錯誤的產(chǎn)生。

正確解答：因為■■=■=■=■

■■=■=■=0

所以■■不存在。

三、不注意偶次根式意義造成的錯誤

例4.計算極限■■

常見錯誤：原式=■■ （分子分母同除x）

=■=3

錯誤分析：本例上述做法中沒有注意到題目中的根式是二次根式以及在■時x是負(fù)的，這種情況下x是不能變成x2放到根式內(nèi)的，所以這時分子分母同除-x才有意義，故上述做法是錯誤的。

正確解答：原式=■■=■=1

例5.計算極限■■

常見錯誤：原式=■■=■

錯誤分析：本例上述做法中沒有注意到題目中的根式是二次根式，在■時是sinx正的，此時2sin2x開方開出來應(yīng)是■sinx，而當(dāng)■時，sinx是負(fù)的，此時2sin2x開方開出來應(yīng)是-■sinx，故■時2sin2x開方開出來應(yīng)是■|sinx|而不是■sinx，故該做法錯了。

正確解答：因為■■=■■=■

■■=■■=-■

所以■■不存在。

四、運用等價無窮小替換法不注意替換原則造成的錯誤

例6.計算極限■■

常見錯誤：■■=■■=1

錯誤分析：運用等價無窮小替換法求極限，首先必須是無窮小才行。用等價無窮小替換法求極限，大大簡化了運算步驟，因此學(xué)了等價無窮小替換法，學(xué)生就經(jīng)常想用等價無窮小替換來求極限。但初學(xué)者往往看到常見形式，不管它是不是無窮小，拿到手就替換，本例上述做法就是這樣。事實上sinx與ex-1在■時均非無窮小量，故不能進(jìn)行等價無窮小替換。上述做法中忽視了等價無窮小替換的前提，因而造成了錯誤。

例7.計算極限■■=（其中a，b均為正整數(shù)）

常見錯誤：■■=■■=■

錯誤分析：本例中，雖然sinax與sinbx均為無窮小量，但ax與bx均非無窮小量，故sinax與ax、sinbx與bx都不是等價無窮小，故將sinax、sinbx分別用ax、bx替換是錯誤的，從而上述做法是錯誤的。

正確解答：令x=π-t，則

■■=■■=■■

=（-1）a-b■■=（-1）a-b■■=（-1）a-b■

例8.計算極限■■

常見錯誤：■■=■■=0

錯誤分析：運用等價無窮小替換法求極限，一般只對分子分母中的無窮小因子進(jìn)行整體等價替換，對代數(shù)和中的無窮小項不進(jìn)行替換。本例上述做法中忽視了等價無窮小替換規(guī)則，對sinx、tanx分別進(jìn)行了等價無窮小替換，從而造成了錯誤。

正確解答：■■=■■

=■■=-■

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2015.

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[3]施光燕.高等數(shù)學(xué)講稿[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2005.