徐俊峰

[摘 要] 微專題能夠結(jié)合學(xué)情進(jìn)行問題的專門性手段設(shè)計(jì)與推進(jìn)，微專題因自身所具備的時(shí)效性、針對(duì)性、靈活性以及細(xì)致性在新時(shí)期復(fù)習(xí)課的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練中成了必不可少的有效手段. 教師應(yīng)在微專題的理論指引下精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)的形式并有效整合教學(xué)內(nèi)容為思維訓(xùn)練的實(shí)施與實(shí)現(xiàn)保駕護(hù)航.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；微專題；優(yōu)勢(shì)；思維訓(xùn)練

■概述

1. 微專題

圍繞一到兩個(gè)緊密相關(guān)的知識(shí)或者思想方法而進(jìn)行專門性的研究我們一般稱之為“微專題”. 相對(duì)來說，微專題更具針對(duì)性，它能夠結(jié)合學(xué)情進(jìn)行問題的專門性手段設(shè)計(jì)與推進(jìn)，時(shí)效性、針對(duì)性、靈活性以及細(xì)致性等顯著特征集于微專題一身. 比如，教師在結(jié)合微專題進(jìn)行數(shù)形結(jié)合大專題下直線與圓問題的相關(guān)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該將問題的條理性、問題結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)潔與深度一一考慮進(jìn)來，使得問題得到專門性的、有深度的研討. 著名特級(jí)教師李金姣教授對(duì)于微專題就有“切口小，但能在尺寸之內(nèi)做文章”這樣的高度評(píng)價(jià).

2. 數(shù)學(xué)思維與訓(xùn)練

數(shù)學(xué)思維是人的大腦與數(shù)學(xué)對(duì)象在數(shù)量關(guān)系、空間形式以及結(jié)構(gòu)關(guān)系等方面的相互作用，它是一種理性的內(nèi)在活動(dòng)，這種內(nèi)在理性活動(dòng)一般會(huì)按照思維規(guī)律對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容建立認(rèn)識(shí)，相對(duì)于靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)來說，思維活動(dòng)則是動(dòng)態(tài)的呈現(xiàn).

數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心這一點(diǎn)是毋庸置疑的，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)也因此成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)尤為重要的任務(wù). 思維訓(xùn)練是比數(shù)學(xué)知識(shí)與解題技能的獲得更為重要的環(huán)節(jié)，學(xué)生在科學(xué)合理的思維訓(xùn)練中能夠使自身的分析與綜合、抽象與概括、具體化與系統(tǒng)化等思維操作逐步得到針對(duì)性的有效鍛煉，邏輯、形象以及直覺等各思維能力均能在此鍛煉中得到培養(yǎng)與提高.

現(xiàn)代教學(xué)論的觀點(diǎn)一直認(rèn)定數(shù)學(xué)思維的教學(xué)才是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì). 新課改中對(duì)于過程教學(xué)的強(qiáng)調(diào)也正因此而提出的. 實(shí)現(xiàn)思維訓(xùn)練的主陣地當(dāng)然是課堂教學(xué)，因此，教師必須精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)的形式并有效整合教學(xué)內(nèi)容為思維訓(xùn)練的實(shí)施與實(shí)現(xiàn)保駕護(hù)航. 微專題因其自身所具備的優(yōu)勢(shì)在課堂教學(xué)中顯得更加不可替代.

■微專題在新時(shí)期復(fù)習(xí)課中使用的優(yōu)勢(shì)分析

從中學(xué)生思維發(fā)展來看，利用微專題進(jìn)行思維訓(xùn)練也是極為合適的. 在大的知識(shí)框架之下對(duì)所學(xué)細(xì)節(jié)進(jìn)行鞏固與深化正是微專題的優(yōu)勢(shì). 大的知識(shí)框架下對(duì)知識(shí)細(xì)節(jié)進(jìn)行處理與分解并靈活運(yùn)用與轉(zhuǎn)化是學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在需求.

1. 定位精準(zhǔn)

微專題所關(guān)注的問題相對(duì)集中，且其研究過程中所用的語言、符號(hào)、圖像以及方法會(huì)不斷重復(fù)地被使用，知識(shí)準(zhǔn)確度高，方法運(yùn)用上更熟練. 例如，很多學(xué)生談及數(shù)形結(jié)合就會(huì)想到畫圖，不過，即使在解題中明確告訴學(xué)生此題可用數(shù)形結(jié)合的方法解決，學(xué)生也不一定能畫出符合題意或者解題需要的圖形. 事實(shí)上，即使問題已經(jīng)被局限于解析幾何的范疇內(nèi)，學(xué)生有效作圖的情況很多時(shí)候也不理想. 但是，微專題卻能將研究的范圍縮小得更為精簡(jiǎn)和準(zhǔn)確. 例如，筆者曾在高三學(xué)生中開設(shè)過“數(shù)形結(jié)合中的直線與圓”這一微專題，將直線與圓問題的作圖共性作為專門性的問題進(jìn)行了探究，使學(xué)生在探究中清醒而深刻地認(rèn)識(shí)到了作圖的共同策略——作圓心到直線的距離.

案例1：已知一直線l，經(jīng)過點(diǎn)P（-3，0）與單位圓O.

（1）分別求l與圓相交、相切與相離時(shí)的斜率取值范圍.

（2）若l與O相切于A點(diǎn)，該直線方程與線段PA的長(zhǎng)如何？

（3）若l與O相交于A，B兩點(diǎn)，△OAB的面積最大為多少？

（4）若l與O相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足■=■+■，點(diǎn)C也在該圓上，l斜率怎樣？

（5）若l上最少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心、■為半徑的圓與O有公共點(diǎn)，l的斜率最大值為多少？

（6）若圓O上有3個(gè)到l的距離為■的點(diǎn)，l的斜率取值范圍如何？若這樣的點(diǎn)有0，1，2，3，4個(gè)，各自對(duì)應(yīng)的斜率取值范圍怎樣？

（7）若l的斜率是4，圓方程改成x2+y2=r2，則圓上有3個(gè)到l的距離為■的點(diǎn)，r的取值范圍如何？若這樣的點(diǎn)有0，1，2，3，4個(gè)，各自對(duì)應(yīng)的r取值范圍怎樣？

學(xué)生的思維經(jīng)過這種準(zhǔn)確定位的訓(xùn)練從怎樣解題有效地轉(zhuǎn)變成了怎樣將解題與點(diǎn)線距離相關(guān)聯(lián)，在解決接下來的兩道難題時(shí)也相對(duì)更加游刃有余.

（1）已知圓C：x2+y2-（6-2m）x-4my+5m2-6m=0，直線l經(jīng)過點(diǎn)P（1，0），對(duì)任意實(shí)數(shù)m，l被圓所截弦長(zhǎng)是定值，求直線l的方程.

（2）已知圓O：x2+y2=4，點(diǎn)M（1，■），AC，BD是過點(diǎn)M的圓的弦，這兩條弦互相垂直，則AC+BD的最大值是多少？

準(zhǔn)確在思維訓(xùn)練中意味著高效，學(xué)生對(duì)方法的概括與抽象也因此能夠更快地實(shí)現(xiàn).

2. 展示細(xì)節(jié)

微專題很多時(shí)候是教師在教學(xué)過程中臨時(shí)追加的，一般發(fā)生在學(xué)生出現(xiàn)群體性的問題之后，所以，很多時(shí)候微專題解決的只是問題中的某一個(gè)步驟，因此，專注于這個(gè)步驟的處理時(shí)相對(duì)就會(huì)更加詳盡. 例如，高三數(shù)學(xué)中有函數(shù)的“能成立”與“恒成立”這一常見題型，學(xué)生在分析題意時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)表述方式上的一些不足，問題的后續(xù)解決正因?yàn)檫@些不足往往會(huì)面臨失敗，有時(shí)候還會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤觀念被強(qiáng)化的現(xiàn)象. 這類綜合性的題目往往需要多個(gè)知識(shí)技能共同參與解決，教師在常規(guī)題的題意分析之后往往會(huì)繼續(xù)后續(xù)問題的分析與解決，不過，很多學(xué)生在分析題意這一環(huán)節(jié)往往就會(huì)產(chǎn)生一些問題，題意分析中的一點(diǎn)思維訓(xùn)練對(duì)于這些學(xué)生來說是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，仍然有一部分學(xué)生還是不能真正理解題意的最終意圖，更別提問題是否能夠產(chǎn)生正遷移了. 筆者針對(duì)學(xué)生實(shí)際水平進(jìn)行了“任意還是存在，最大還是最小”的微專題開發(fā)與探究，大量類似的問題被一一羅列了出來.

案例2：（1）恒成立：a>f（x）恒成立？圯a>f（x）max，a

能成立：a>f（x）能成立？圯a>f（x）min，a

（2）不等式f（x）>g（x）在區(qū)間D上恒成立？圯_______.

（3）設(shè)函數(shù)f（x），x∈D1，g（x），x∈D2.

①？坌x1∈D1，？坌x2∈D2， f（x1）>g（x2）？圯f（x）____>g（x）____；

②？堝x1∈D1，？坌x2∈D2， f（x1）>g（x2）？圯f（x）____>g（x）____；

③？堝x1∈D1，？堝x2∈D2， f（x1）>g（x2）？圯f（x）____>g（x）____；

④？坌x1∈D1，？堝x2∈D2， f（x1）>g（x2）？圯f（x）____>g（x）____.

變式：已知函數(shù)f（x）=lnx+a（x2-x）.

（1）若對(duì)于x∈[1，2]，函數(shù)f（x）圖像上的任何一點(diǎn)處的切線的傾斜角都不大于■，實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

（2）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

（3）若f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

（4）若？堝x∈[1，e]，使得f（x）<-2成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

（5）若f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

（6）若f（x）的圖像總在x軸下方，實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

（7）若直線y=b2與f（x）的圖像有交點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

（8）設(shè)a>0，g（x）=-（a2-a+1）ex+2，若f（x）的圖像總在g（x）下方，實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

（9）設(shè)a>0，g（x）=-（a2-a+1）ex+2，是否對(duì)于任意x2∈[-2，2]，都存在x1∈[-2，2]，使得g（x2）

（10）設(shè)a>0，g（x）=-（a2-a+1）ex+2，若對(duì)于f（x）上任意一點(diǎn)M，在g（x）上總能找到一點(diǎn)N，使得線段MN與x軸平行，實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

我們從這一系列的變式不難看出怎樣正確分析出題意正是這個(gè)微專題的目標(biāo)定位，過程中問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，運(yùn)算上則相對(duì)要求較低. 細(xì)節(jié)上的精致探究正是這個(gè)微專題中所專注的思維訓(xùn)練之處，越是精致，方法上的掌控也就越發(fā)全面.

3. 思維深度開發(fā)

微專題的研究一般緊緊圍繞一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行，因此，時(shí)間與精力全都投入在了這唯一的目標(biāo)上. 而且，教師引領(lǐng)學(xué)生圍繞目標(biāo)所進(jìn)行的挖掘可以由教師進(jìn)行調(diào)節(jié)，因此，各個(gè)層面的學(xué)生都得到了教師的分層照顧，因材施教真正得以體現(xiàn).

案例3：不等式最值問題中換元和配湊的應(yīng)用.

●一元變量

（1）x>2，x+■的最小值為______.

●二元變量

（1）已知正數(shù)x，y滿足x+2y=2，則■的最小值為_____.

（2）已知正數(shù)x，y滿足xy+2x+y=4，則x+y的最小值為_____.

（3）已知正數(shù)x，y滿足x+y=2，則■+■的最小值為_____.

（4）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x>y>0，x+y≤2，則■+■的最小值為_____.

（5）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x>y>0，則x2+■的最小值為_____.

●三元變量

（1）已知正數(shù)x，y，z滿足x-2y+3z=0，則■的最小值為_____.

（2）已知正數(shù)x，y，z滿足x2-3xy+4y2-z=0，則當(dāng)■取得最大值時(shí)，■+■-■的最大值為_____.

不同思維與能力水平的學(xué)生可以結(jié)合自身的情況在上述練習(xí)中依次感受和體驗(yàn)如何換元與配湊. 題目的深化使得學(xué)生的思維也隨之逐步深化，思維能力在掌控性的練習(xí)中不斷提高.

4. 師生交往真實(shí)而活躍

人類大腦所擁有的思維當(dāng)然不可能是一次性的，在思維訓(xùn)練過程中呈現(xiàn)螺旋式上升的思維活動(dòng)也要不斷地經(jīng)歷批判與改造的洗禮. 微專題中所要解決的問題一般只是思維訓(xùn)練中一個(gè)微小的環(huán)節(jié)，會(huì)的學(xué)生或許可以圍繞這一環(huán)節(jié)盡情抒發(fā)自己的想法與體驗(yàn)，不會(huì)的學(xué)生也會(huì)因?yàn)閱栴}的微小而能夠具體表達(dá)出自己的困惑，對(duì)于自己的錯(cuò)誤也能相對(duì)輕松地重新認(rèn)識(shí)，在大而多的問題面前索性一無所知、無從下手的混沌與模糊也不至于產(chǎn)生. 正確與錯(cuò)誤在短時(shí)間內(nèi)得到了辨析與探究，真理在辨析與探究中也就越發(fā)顯得清明，師生之間的交流越發(fā)顯得活躍有氛圍，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)在微專題的思維訓(xùn)練中也得到了不斷的鍛煉與優(yōu)化.