嚴勇

[摘 要] 課堂是向著未知方向探索的旅程，該過程中必然會出現(xiàn)很多意想不到的因素，有經(jīng)驗的教師通過生成操作可以讓課堂更加精彩動人. 本文結合具體案例，分享了筆者有關高中數(shù)學課堂預設與生成的思考.

[關鍵詞] 高中數(shù)學；預設；生成

如何提升高中數(shù)學課堂教學的實效？筆者認為不能僅僅只有預設，還應該有生成，而且兩者是統(tǒng)一并非對立的關系. 通過有效的預設來啟迪學生的思維，連接學生原有的認知和經(jīng)驗，激活學生的思維，將思緒向最近發(fā)展區(qū)延伸，繼而有新的發(fā)現(xiàn)與思考，生成新的問題. 而對于學生的課堂生成，則有些是在教師預設的教學軌跡上的，而有些甚至是偏離原先預設的意外. 筆者認為這些都是很好的課堂生長點，尤其是意外生成，如果教師處理得恰當、科學，甚至會成為課堂的亮點所在. 最近，某校的教學展示活動中，一節(jié)數(shù)學課上的意外生成，引起了筆者的深思.

■案例呈現(xiàn)

本課是“等差數(shù)列的前n項和”的習題課，授課教師先引導學生對等差數(shù)列的一系列公式進行了復習，并對通項公式中的an和前n項求和公式中的Sn所具有的函數(shù)性進行了強調，然后開始進行例題教學.

例題 現(xiàn)有等差數(shù)列{an}，已知S10>0，S11<0，求n取何值時可以讓Sn達到最大？

教師給出一段時間讓學生進行思考，然后以提問的方式來引導學生正確審題，并尋求問題的解決思路.

師：從例題所給出的情境，你能發(fā)現(xiàn)哪些隱含條件？

生1：該數(shù)列{an}的前幾項都是正數(shù)，后面的項都是負數(shù)，它有單調遞減的規(guī)律.

師：好的，厘清題意對解題很關鍵. 要求讓Sn達到最大的n，你需要知道什么？

生2：需要知道n. （學生和教師都笑了，教師自己也意識到剛才的提問存在指向模糊的失誤，因此進行修正）

師：咱們再退后想想，現(xiàn)在有一個等差數(shù)列9，5，1，-3，-7……對應本數(shù)列的S■中，哪一個的值最大？

生3：最大的是S3. 我認為此類問題的解決關鍵在于判斷數(shù)列中的哪一項開始會出現(xiàn)正負切換，即需要明確an>0，an+1<0，此刻的n就是所求的值.

師：可以！當然an≥0，an+1<0也有可能. 結合我們已經(jīng)學過的知識，你如何對Sn與an進行溝通呢？請大家思考和交流. （教師為學生提供一定的時間進行互動）

生4：因為數(shù)列中S10>0，S11<0，則5（a1+a10）>0，■（a1+a11）<0，即a5+a6>0，a6<0，因此a5>0，可以判斷S5最大.

生5：本題還可以從圖像的角度來解釋. 如圖1所示，結合題意可知本數(shù)列的公差為負數(shù)，因此Sn所在的拋物線應該開口向下，假設對稱軸x=x0，則A（2x0，0），結合題意有10<2x0<11，則5

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圖1

教師對上述兩種解答方法進行簡單評價，并對學生在數(shù)學函數(shù)性方面的理解予以肯定，特別是學生將數(shù)形結合運用于問題處理，教師特別進行了說明和強調. 隨后，教師給出以下變式例題.

變式 現(xiàn)有等差數(shù)列{an}，已知a1>0，a9a10<0，a9+a10>0，求讓Sn取正數(shù)時n的最大值.

教師進行了適當分析，學生也能確認a9>0，a10<0和a9>a10，但是卻依然對問題所求不得要領.

師：考慮到a9+a10>0，你是否可以將它與Sn聯(lián)系起來呢？（經(jīng)過大概兩分鐘左右的思考，有學生舉手）

生6：我能發(fā)現(xiàn)S18=9（a1+a18）=9（a9+a10）>0.

師（追問）：那么18是否可以被認為是本題的答案呢？

生6：那還要看S19，因為S19=■（a1+a19）=19a10<0，所以可以確定答案就是18.

全班的學生聽完都紛紛贊同，教師也肯定該學生的做法，并點明其中涉及轉化與化歸的解題思想，這時又有學生舉手.

生7：和例題最后的分析類似，我們還可以用圖像法來處理本題，將更加簡單. 因為a9>0，a10<0，因此我們可以確認S9是最大值，如圖2所示，Sn所對應的函數(shù)圖像為開口向下的拋物線，設其對稱軸為x=x0，則9

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圖2

全班學生紛紛為他叫好，教師也頗受感染，熱情洋溢地對該解法進行了點評，殊不知意外就在此刻發(fā)生了.

生8（沒有舉手，直接站起來）：老師，我用圖像法求解出的n等于17，我所畫的圖像如圖3所示，假設對稱軸x=x0，則8.5

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圖3

頓時，教室中寂靜一片，師生都進入了沉思狀態(tài)，顯然學生8是一個意外的攪局者，他的答案偏出教師的預設范圍，可能是聽課教師的存在增加了課堂的緊張感，授課教師有些語無倫次了.

師：剛才同學的想法很有意思，但是課堂時間有限，這個問題就留在課后大家繼續(xù)探討，我們接著來看下面的問題.

……

多么優(yōu)秀的生成性資源，本來應該成為教學亮點的探究活動，卻因為教師的一句“課堂時間有限”而被放棄，這顯然是資源的浪費. 事實上，教師后階段的教學也因此而被打亂，很多學生依然沉浸在學生7和學生8答案的沖突上，以致于后階段的學習心不在焉. 課后和授課教師的交流中，他也指出這兩個答案都超出他的預設范圍，特別是學生8的解法錯在何處，他也心中沒底，因此就沒有探究下去.

■案例分析

數(shù)學課堂應該是師生思想碰撞、情感融通的平臺，是師生分享認知、共同成長的過程. 然而上述案例中，學生感受到的卻是教師數(shù)學功底的欠缺，課堂駕馭能力的薄弱，關鍵之處教師沒有發(fā)揮應有的掌控作用和引導效果，導致了教學中的尷尬，這也給我們提供了以下啟示.

1. 要給學生一碗水，教師要有一桶水

課改實施以來，教師地位發(fā)生變化，由以往的知識“輸送者”變成學生探究的“組織者、引導者、參與者”. 在這種情況下，教師似乎不需要準備“一桶水”，有“一碗水”即可，只要能與學生分享就行；即便沒有“一碗水”，只要和學生一起探索，能“挖井取水”即可. 但是事實上，如果教師事先都不知道地下水源在何處，只會盲目試探，那取水成功的概率又如何？這只會讓課堂陷入尷尬的境地.

上述案例中，如果在a9+a10>0的兩邊同時加上a1+a2+…+a8，則有S10>S8，由于公差小于0，拋物線開口向下，所以點（10，S10）比點（8，S8）更加接近對稱軸，所以圖2是正確的. 如果本題改成：現(xiàn)有等差數(shù)列{an}，已知a1>0，a9a10<0，a9+a10<0，求讓Sn取正數(shù)時n的最大值. 由于a9+a10<0可得S10

數(shù)學教師要保持頭腦清醒，要善于深度鉆研教學內容，讓自己擁有俯視課堂的氣度與能力，這樣才能在教學活動中游刃有余，靈活生成.

2. 優(yōu)秀的數(shù)學課堂應該有精心而充分的預設

課堂因學生的參與而產(chǎn)生意想不到的精彩，這讓我們的教學更加生動和活潑，而生成性的課堂要求教師有精心而充分的預設. 課堂教學本就是一項兼具目的性和針對性的教育行為，教師要能掌控課堂，就要做好預設工作，這樣教師才能應對多變的教學情境，隨時疏導學生紛繁蕪雜的思緒.

在上述案例中，教師在備課時如果能夠多角度地分析例題變式，以圖像法來進行分析，就必然會考慮到圖2和圖3的差別，這樣也就可以對學生8的答案做出更好地處理. 事實上，由于學生知識層次和能力水平的限制，只要教師仔細備課，學生的生成一般都發(fā)生在教師的可控范圍以內.

3. 數(shù)學課堂重在預設，妙在生成

預設和生成是課堂教學中的一組對立統(tǒng)一體，如果教師未曾充分預設，則課堂即便有生成素材，教師也無法加以捕捉和應用. 可以說預設就是為生成做準備，課前精心地預設，課上藝術化地生成，這正是教師教學智慧的高度體現(xiàn). 此外，教師重視生成也是對學生的一種尊重，是對他們的人文關懷，這對學生創(chuàng)新思維和批判思維的培養(yǎng)能起到促進作用.

在課改不斷推進的過程中，愿我們的數(shù)學教師能在課前精心做好預設，課堂上能多一些自然生成，讓數(shù)學課堂因生成而美麗. 這樣的課堂對于學生來說永遠都充滿著挑戰(zhàn)且飽含驚喜，學生不僅僅獲得了知識的增長，其發(fā)現(xiàn)問題的意識與能力也獲得了增長，情感、態(tài)度和價值觀也得以升華.