羅荔齡，曹廣福

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中學(xué)數(shù)學(xué)部分概率內(nèi)容的問(wèn)題與建議

羅荔齡，曹廣福

（廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

針對(duì)中學(xué)概率論中部分重要概念以及教學(xué)中常見的問(wèn)題展開討論，從歷史發(fā)展的角度出發(fā)指出，教材最好先系統(tǒng)介紹概率論，在此基礎(chǔ)上再介紹統(tǒng)計(jì)．應(yīng)該明確基本事件與隨機(jī)事件之間的關(guān)系，隨機(jī)變量概念的定義適宜嚴(yán)格化，特別是不適合將隨機(jī)變量與函數(shù)做類比，前者是隨機(jī)現(xiàn)象的量化表示，是一個(gè)數(shù)學(xué)化過(guò)程，后者是不同確定性事件量化后的數(shù)量關(guān)系，兩者不屬于同一個(gè)范疇，隨機(jī)變量的合適類比對(duì)象是確定性變量．同時(shí)指出，隨機(jī)思想、隨機(jī)方法是概率教學(xué)價(jià)值的兩個(gè)重要方面．此外，對(duì)教材中出現(xiàn)的一些疏忽提出了一些建設(shè)性意見，并指出有必要將分布函數(shù)引入中學(xué)課堂．

隨機(jī)事件；樣本空間；隨機(jī)變量；分布函數(shù)

1 引言

客觀世界充滿著隨機(jī)性，老天爺陰晴不定，說(shuō)變臉就變臉，土地老爺又何嘗能夠捉摸，很難說(shuō)哪天不高興了一跺腳，某地就發(fā)生地震了．宏觀世界如此，微觀世界也是如此，粒子的運(yùn)動(dòng)就充滿著不確定性，空氣中的懸浮微粒就在不停地做著無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，這就是著名的布朗運(yùn)動(dòng)．雖然概率生于賭場(chǎng)，但隨著理論的不斷完善，這一理論在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用．無(wú)論是工程理論中的噪聲問(wèn)題還是經(jīng)濟(jì)、金融理論中的風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題都與該理論有關(guān)（參見文[1]）．

世界上中學(xué)階段教授概率的國(guó)家不只有中國(guó)，美國(guó)、英國(guó)、日本等國(guó)家在高中階段也開設(shè)概率課程．中學(xué)階段是否有必要學(xué)習(xí)概率？這似乎是個(gè)有爭(zhēng)議的話題，也許這里該討論的不是開不開設(shè)概率的問(wèn)題，而是怎么開設(shè)？開設(shè)到何種程度？教材通常將概率與統(tǒng)計(jì)交叉融合在一起，例如某版教材高中版在數(shù)學(xué)選修1-2、選修2-3以及必修3中都以交叉的方式介紹了概率與統(tǒng)計(jì)，必修3先介紹統(tǒng)計(jì)再介紹概率，選修2-3則反其道而行之．這與大學(xué)階段的概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)很不相同．大學(xué)階段通常是先系統(tǒng)地學(xué)習(xí)概率論，再學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)（參見文[2]），這么安排是有道理的，事實(shí)上，雖然概率與統(tǒng)計(jì)密不可分，但概率的誕生早于統(tǒng)計(jì)學(xué)，兩者的思想方法也大相徑庭，前者偏重于推理，后者側(cè)重于歸納．概率是統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，主要根據(jù)給定的數(shù)據(jù)觀測(cè)、研究其性質(zhì)，判斷事件發(fā)生的可能性．而統(tǒng)計(jì)學(xué)則是通過(guò)搜集、整理、分析統(tǒng)計(jì)資料，認(rèn)識(shí)客觀現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，根據(jù)觀測(cè)的數(shù)據(jù)，思考其數(shù)據(jù)生成過(guò)程，預(yù)測(cè)、分類、聚類、估計(jì)等都是統(tǒng)計(jì)的主要形式，強(qiáng)調(diào)對(duì)于數(shù)據(jù)生成過(guò)程的研究，它具有客觀、準(zhǔn)確和可檢驗(yàn)的特點(diǎn)．如果說(shuō)中學(xué)概率教材有什么值得進(jìn)一步改進(jìn)的地方，其中之一或許將概率與統(tǒng)計(jì)分開更合適一點(diǎn)．中學(xué)教材并未對(duì)隨機(jī)變量作嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，只是給了一個(gè)直觀描述．例如某版教材選修2-3是這樣定義的：“如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量．”這個(gè)定義沒(méi)有把隨機(jī)變量的本質(zhì)特征揭示出來(lái)，而且很不嚴(yán)格，可能與教材沒(méi)有在概率部分明確定義樣本空間有關(guān)．隨機(jī)變量的本質(zhì)特征是什么？首先，隨機(jī)變量是樣本空間到實(shí)數(shù)域的一個(gè)映射，換句話說(shuō)，給定一個(gè)樣本點(diǎn)，就對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，但隨機(jī)變量取什么值是不確定的，因?yàn)殡S機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是不確定的．其次，隨機(jī)變量一旦確定下來(lái)，可以用它來(lái)表示隨機(jī)事件．上述定義既沒(méi)有強(qiáng)調(diào)隨機(jī)變量的不確定性，也忽略了隨機(jī)變量可以表示隨機(jī)事件的重要特征．雖然對(duì)于中學(xué)生不一定非得給予隨機(jī)變量嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義不可，但最好把隨機(jī)變量的重要特征說(shuō)清楚，否則，學(xué)生很可能對(duì)隨機(jī)變量的引入莫名所以．這里針對(duì)中學(xué)概率論教學(xué)中常見的一些問(wèn)題進(jìn)行了深入的分析，試圖找出一種行之有效的教學(xué)方案．

2 概率論的教育價(jià)值

概率論作為一門特殊的數(shù)學(xué)分支，其教育價(jià)值主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面．

（1）隨機(jī)思想．學(xué)生習(xí)慣了確定性數(shù)學(xué)方法，對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件等概念都很陌生，而隨機(jī)思想對(duì)于認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象、理解隨機(jī)事件是非常重要的．雖然古典概型、幾何概型都基于等可能性假設(shè)，但這種假設(shè)的基礎(chǔ)實(shí)際上也是統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，可見隨機(jī)思想的核心是認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象背后的統(tǒng)計(jì)規(guī)律．通過(guò)大量觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的結(jié)論對(duì)于習(xí)慣了確定性數(shù)學(xué)思維的學(xué)生是一個(gè)難點(diǎn)，而隨機(jī)思想正是通過(guò)對(duì)大量偶然現(xiàn)象的觀察與分析從而發(fā)現(xiàn)隱藏在其中的必然結(jié)果（概率），進(jìn)而把握隨機(jī)現(xiàn)象．

掌握隨機(jī)思想的重要手段是隨機(jī)試驗(yàn)，然而，大量重復(fù)試驗(yàn)在教學(xué)過(guò)程中是很難實(shí)現(xiàn)的，而概率恰恰是大量重復(fù)試驗(yàn)過(guò)程中隨機(jī)事件出現(xiàn)頻率的極限，這是教學(xué)中的一個(gè)難以解決的悖論．隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，隨機(jī)模擬成為一個(gè)有效手段，例如著名的蒙特卡羅方法就是用來(lái)模擬隨機(jī)試驗(yàn)的重要方法．不過(guò)對(duì)于目前的中學(xué)教師而言，把隨機(jī)模擬引進(jìn)課堂可能不太現(xiàn)實(shí)．不妨簡(jiǎn)單向?qū)W生介紹一下，利用計(jì)算機(jī)可以模擬隨機(jī)試驗(yàn)，一些數(shù)學(xué)軟件如Mathlab就可以做這些事．另一個(gè)辦法是結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，例如不會(huì)有學(xué)生懷疑投擲硬幣時(shí)出現(xiàn)正反面的可能性不同，在此基礎(chǔ)上說(shuō)明，如果進(jìn)行大量投擲，正面朝上的頻率會(huì)越來(lái)越接近1/2，即正面朝上的概率為1/2．雖然中學(xué)階段不可能向?qū)W生介紹大數(shù)定理，但通過(guò)這類簡(jiǎn)單問(wèn)題的闡述應(yīng)該容易讓學(xué)生理解頻率與概率之間的不同．

（2）隨機(jī)方法．中學(xué)教材涉及的概率中的概念并不少，不僅介紹了隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件、古典概型、幾何概型，甚至對(duì)隨機(jī)變量、二項(xiàng)分布、均值、方差、正態(tài)分布等都有介紹，但貌似缺少一點(diǎn)系統(tǒng)性與嚴(yán)謹(jǐn)性，讓人感覺(jué)有些凌亂．

直觀不等于不要嚴(yán)謹(jǐn)，例如某版教材是這樣介紹隨機(jī)事件的：“對(duì)于某個(gè)現(xiàn)象，如果能讓其條件實(shí)現(xiàn)一次，那么就是進(jìn)行了一次試驗(yàn)，而試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果，都是一個(gè)事件．”這里的事件指的是什么事件？基本事件還是隨機(jī)事件？接著，教材以開始時(shí)的幾個(gè)例子說(shuō)明什么叫必然事件，什么叫不可能事件，什么叫隨機(jī)事件．教材寫道：“在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件．”在古典概型一節(jié)又回過(guò)頭來(lái)定義什么叫基本事件，即“在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件”．這個(gè)說(shuō)法有失嚴(yán)謹(jǐn)，什么叫基本結(jié)果？與“每一個(gè)可能的結(jié)果”有什么不同？隨機(jī)事件與基本事件之間是什么關(guān)系？教材一概不提，這樣很容易讓學(xué)生如霧里看花般弄不清概念的內(nèi)涵．事實(shí)上，基本事件是一個(gè)相對(duì)概念，正如擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果把奇數(shù)用白色涂上，偶數(shù)用黑色涂上，每次投擲骰子有兩個(gè)可能的結(jié)果：“白色”或“黑色”，這與“奇數(shù)”或“偶數(shù)”本質(zhì)上沒(méi)有差別．

處理隨機(jī)現(xiàn)象的一般方法是什么？教材并未給予總結(jié)，眾所周知，“感知、歸納、抽象、鞏固、運(yùn)用”是課堂教學(xué)的幾個(gè)基本環(huán)節(jié)，作為一個(gè)與其它數(shù)學(xué)分支有著完全不同思維方法的重要內(nèi)容，至少應(yīng)該幫助學(xué)生梳理一下處理問(wèn)題的基本方法．概念的定義也應(yīng)該是嚴(yán)格的．那么概率的基本處理方法是什么？教師在一些實(shí)例的基礎(chǔ)上不妨幫助學(xué)生總結(jié)一下．有幾個(gè)基本概念是需要梳理清楚的：隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果（樣本空間）、基本事件（樣本點(diǎn)）、隨機(jī)事件（樣本空間的子集）、頻率、概率、隨機(jī)變量、分布函數(shù)．盡管教材中沒(méi)有介紹分布函數(shù)，但既然提到了隨機(jī)變量，而且也介紹了一些特殊的概率分布，完全可以沒(méi)有難度地引入分布函數(shù)的概念．在此基礎(chǔ)上說(shuō)明處理隨機(jī)現(xiàn)象的一般方法：（1）明確隨機(jī)現(xiàn)象或隨機(jī)試驗(yàn)（隨機(jī)假設(shè)）；（2）確定問(wèn)題的目標(biāo)（要解決什么問(wèn)題？即需要計(jì)算何種隨機(jī)事件的概率？）；（3）根據(jù)目標(biāo)確定樣本空間（同樣的隨機(jī)試驗(yàn)可能導(dǎo)致不同的樣本空間，所以問(wèn)題的目標(biāo)很關(guān)鍵）；（4）計(jì)算隨機(jī)事件的概率．如果按照這樣的處理方法，教材其實(shí)不必過(guò)分強(qiáng)調(diào)古典概型與幾何概型，只需要強(qiáng)調(diào)等可能性是針對(duì)什么試驗(yàn)作出的假設(shè)就可以了，學(xué)生不僅不會(huì)對(duì)教輔材料中的隨機(jī)射線問(wèn)題產(chǎn)生疑惑，甚至對(duì)于貝特朗問(wèn)題的不同解答也能理解．總而言之，等可能性假設(shè)不過(guò)是一種特殊的隨機(jī)假設(shè)，只需根據(jù)隨機(jī)假設(shè)與問(wèn)題的目標(biāo)確定樣本空間與概率分布（分布函數(shù)）就可以了，這是處理概率問(wèn)題的一般方法．

3 教材中值得商榷的一些問(wèn)題

通過(guò)對(duì)某個(gè)版本教材的分析，感覺(jué)概率與統(tǒng)計(jì)的編寫存在許多有待改進(jìn)的問(wèn)題．從編寫體例看，教材中例子很多，但缺少嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，雖然中學(xué)階段對(duì)概率的要求不高，尤其是隨機(jī)變量只做直觀解釋，但直觀不等于不要嚴(yán)謹(jǐn)，尤其是不能出現(xiàn)令人無(wú)法理解的概念．例如某教材是這樣引入隨機(jī)事件的．

3.1 隨機(jī)事件及其概率

3.1.1 隨機(jī)現(xiàn)象

觀察下列現(xiàn)象：

（1）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃，沸騰；

（2）導(dǎo)體通電，發(fā)熱；

（3）同性電荷，互相吸引；

（4）實(shí)心鐵塊丟人水中，鐵塊浮起；

（5）買一張福利彩票，中獎(jiǎng)；

（6）擲一枚硬幣，正面向上．

這些現(xiàn)象各有什么特點(diǎn)？

（1）、（2）兩種現(xiàn)象必然發(fā)生，（3）、（4）兩種現(xiàn)象不可能發(fā)生，（5）、（6）兩種現(xiàn)象可能發(fā)生，也可能不發(fā)生．

在一定條件下，事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是確定性現(xiàn)象．在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，事先不能斷定出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象就叫隨機(jī)現(xiàn)象．在自然界和人類社會(huì)的生產(chǎn)與生活中，存在著大量的確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象．

對(duì)于某個(gè)現(xiàn)象，如果能讓其條件實(shí)現(xiàn)一次，那么就是進(jìn)行了一次試驗(yàn)．而試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果，都是一個(gè)事件．

可以看到，如果把（1）、（2）的條件各實(shí)現(xiàn)一次，那么一定出現(xiàn)“沸騰”與“發(fā)熱”的結(jié)果，“沸騰”與“發(fā)熱”都是一個(gè)事件．這種在一定的條件下，必然會(huì)發(fā)生的事件叫做必然事件．

當(dāng)（3）、（4）的條件各實(shí)現(xiàn)一次時(shí)，“吸引”與“浮起”也都是一個(gè)事件，但這兩個(gè)事件都是不可能發(fā)生的．在一定條件下，肯定不會(huì)發(fā)生的事件叫做不可能事件．

當(dāng)（5）、（6）的條件各實(shí)現(xiàn)一次時(shí)，“中獎(jiǎng)”及“正面向上”也都是一個(gè)事件，但這2個(gè)事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生．在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機(jī)事件．

必然事件域不可能事件反映的都是在一定條件下的確定性現(xiàn)象，而隨機(jī)事件反映的則是隨機(jī)現(xiàn)象．

以后用，，等大寫英文字母表示隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱為事件．

…………

3.1.2 隨機(jī)事件的概率

前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)用概率表示一個(gè)事件在一次試驗(yàn)或觀測(cè)中發(fā)生的可能性的大小，它是在0~1之間的一個(gè)數(shù)，將這個(gè)事件記為，用()表示事件發(fā)生的概率．對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)事件，()必須滿足如下基本要求：0≤()≤1．

怎樣確定一個(gè)事件發(fā)生的概率呢？

奧地利遺傳學(xué)家孟德爾用豌豆進(jìn)行雜交試驗(yàn)……

3.2 古典概型

有紅心1、2、3和黑桃4、5這5張撲克牌，將其牌點(diǎn)向下置于桌上，現(xiàn)從中任意抽取1張，抽到的牌為紅心的概率有多大？

若進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，“用抽到紅心”這一事件的頻率估計(jì)概率，工作量較大且不夠準(zhǔn)確．

有更好地解決辦法嗎？

如果把“抽到紅心”記為事件，那么“抽到紅心”相當(dāng)于“抽到紅心1”“抽到紅心2”“抽到紅心3”這3中情況，而“抽到黑桃”相當(dāng)于“抽到黑桃4”“抽到黑桃5”這2種情況，因?yàn)槭侨我獬槿〉模钥梢哉J(rèn)為出現(xiàn)這5種情況的可能性都相等．

當(dāng)出現(xiàn)抽到紅心1、2、3這3種情形之一時(shí)，事件B就發(fā)生了，于是()=3/5．

在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件．如在上面的問(wèn)題中，“抽到紅心1”即為一個(gè)基本事件．若在一次試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件．

上面的問(wèn)題具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：

（1）所有的基本事件只有有限個(gè)；

（2）每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的．

將滿足上述條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型．

…………

先來(lái)分析一下上述基本內(nèi)容．教材首先定義了隨機(jī)事件：“在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機(jī)事件．”在第二節(jié)又定義基本事件：“在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件．”什么叫基本結(jié)果？基本事件與隨機(jī)事件之間是什么關(guān)系？教材一概沒(méi)有解釋．在定義古典概型時(shí)，教材利用統(tǒng)計(jì)意義下的概率來(lái)說(shuō)明頻率與概率的關(guān)系：“若進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，‘用抽到紅心’這一事件的頻率估計(jì)概率，工作量較大且不夠準(zhǔn)確．”這句話實(shí)際是具體否定了這一做法，進(jìn)而轉(zhuǎn)向等可能性事件，得到古典概型的定義．把概率的歷史來(lái)了個(gè)乾坤顛倒．如此處理的合理性是什么不得而知，至少這是對(duì)歷史的不尊重．眾所周知，統(tǒng)計(jì)意義下的概率來(lái)自貝努利，它的產(chǎn)生在古典概型之后，這個(gè)定義本身就存在邏輯循環(huán)的問(wèn)題，現(xiàn)在再來(lái)一個(gè)乾坤顛倒，即使是學(xué)過(guò)概率的人恐怕也被繞暈了．如果中學(xué)教材不介紹互斥事件，按上述方法處理也還可以理解（互斥是基本事件的重要特征之一），可接著又在第四節(jié)介紹了互斥事件．這讓人無(wú)法通過(guò)教材理清邏輯關(guān)系．幾何概型的定義也顯得有些粗糙：

設(shè)是一個(gè)可度量的區(qū)域（例如線段、平面圖形、立體圖形等），每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；隨機(jī)事件的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)．這時(shí)，事件發(fā)生的概率與的測(cè)度（長(zhǎng)度、面積、體積等）成正比，與的形狀和位置無(wú)關(guān)．把滿足這樣調(diào)價(jià)的概率模型稱為幾何概型．

這個(gè)定義應(yīng)該來(lái)自數(shù)學(xué)辭海，什么叫區(qū)域？數(shù)學(xué)辭海是有定義的，但教材并沒(méi)有定義，正如在定義古典概型時(shí)沒(méi)有定義什么叫基本結(jié)果一樣．其次，將概率說(shuō)成區(qū)域的“測(cè)度”之比在這里是否合適？也許在這里將“測(cè)度”換成“度量”更合適一些．幾何概型是古典概型的一種擴(kuò)充，與古典概型的本質(zhì)差別在于幾何概型的樣本空間是無(wú)限的，因此就不能用樣本點(diǎn)的數(shù)量作為度量了．至于怎么度量無(wú)限的樣本空間則需要專門的理論，這就是公理化概率論中提到的測(cè)度．不管學(xué)生對(duì)概念的理解是否有難度，作為標(biāo)準(zhǔn)化教材，概念的定義應(yīng)該是嚴(yán)格的，寧可在概念之后向?qū)W生作出適當(dāng)解釋：由于涉及空間的度量問(wèn)題，我們目前能做的僅限于部分幾何概型．

中學(xué)教材涉及的概率中的概念很多，在理科選修2-3中隨機(jī)變量、概率分布、獨(dú)立性、超幾何分布、二項(xiàng)分布、均值與方差、正態(tài)分布等無(wú)所不包，但依舊是例子加直觀描述．在人們的理解中，從感知性的例子到抽象化或符號(hào)化的數(shù)學(xué)概念與定理應(yīng)該形成一個(gè)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐暾R(shí)體系，數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延應(yīng)該是清晰明確的，遺憾的是，從某版教材中似乎沒(méi)有能看到這一點(diǎn)．

教材為了講超幾何分布與二項(xiàng)分布，花了相當(dāng)?shù)钠榻B排列組合，達(dá)45頁(yè)之多，超幾何分布、二項(xiàng)分布則總共不過(guò)占據(jù)了6頁(yè)的篇幅，顯得有些頭重腳輕．當(dāng)然，排列組合本身也是重要的內(nèi)容，作為一個(gè)獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)講授倒也無(wú)妨，但已超出這里談及的主題．

在條件概率部分，教材設(shè)計(jì)了一個(gè)思考題還是很好的：

思考：若事件與事件互斥，則(|)等于多少？

這個(gè)問(wèn)題可以有效地幫助學(xué)生理解互斥事件與后續(xù)介紹的獨(dú)立事件之間的本質(zhì)不同．

但教材也有一個(gè)疏忽，首先給出了條件概率的一個(gè)描述性定義：

一般地，對(duì)于兩個(gè)時(shí)間和，在已知事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率，稱為事件發(fā)生的條件下事件的條件概率，記為(|)．

在通過(guò)一個(gè)具體的例子說(shuō)明了條件概率與概率的關(guān)系之后便指出：

一般地，若()>0，則事件發(fā)生的條件下發(fā)生的條件概率是：(|)=()/()．

這個(gè)等式是定義還是定理？教材沒(méi)有明確說(shuō)明，但從上下文（前面已經(jīng)給出了條件概率的描述性定義）顯然給讀者一種暗示：這是個(gè)定理．很遺憾，這是條件概率的數(shù)學(xué)化定義而非定理，雖然很多概率論教材也是通過(guò)若干具體問(wèn)題說(shuō)明條件概率滿足上面的等式，但似乎沒(méi)有一個(gè)概率論教材把它作為一個(gè)定理或命題．

既然教材花了大量篇幅介紹排列組合，那么貝努力試驗(yàn)（二項(xiàng)式分布）的分析就不再是一件困難的事情，但教材又用了一個(gè)類似楊輝三角的圖給予分析，這對(duì)學(xué)生理解二項(xiàng)式分布能帶來(lái)什么幫助？它真的顯得更直觀嗎？直接用組合（教材的第二種方法）分析方法不夠嗎？教材在排列組合一章已經(jīng)介紹了二項(xiàng)式定理并給出了類似楊輝三角的二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律，這里完全沒(méi)必要重復(fù)這一做法．

選修2-3中還有一個(gè)值得商榷的問(wèn)題：教材介紹了隨機(jī)變量與概率分布的概念，卻沒(méi)有介紹分布函數(shù)，然而，在后面的很多地方又使用了諸如(≤-1.49)、(0.57<≤2.3)之類的符號(hào)．如果學(xué)生能理解這些符號(hào)，就應(yīng)該能理解分布函數(shù)，教材屢屢使用了分布函數(shù)卻偏偏諱莫如深，羞羞答答不好意思挑明一個(gè)概率中堪稱最重要的概念．分布函數(shù)是隨機(jī)事件與確定性數(shù)學(xué)方法之間的紐帶，雖然古典概型可以不涉及分布函數(shù)，但只要涉及無(wú)窮的樣本空間，就無(wú)法避開分布函數(shù)，即使是離散的情形也需要搞清楚分布列是什么．

4 隨機(jī)變量的嚴(yán)格化定義

大學(xué)教材對(duì)隨機(jī)變量的定義是公理化的，這個(gè)概念對(duì)于中學(xué)生或許有些抽象，但作為教師應(yīng)該有所了解．

定義1：假設(shè)(Ω,,)是概率空間，是定義在Ω上的實(shí)值函數(shù)，即對(duì)任意∈Ω，()∈R，如果對(duì)任意∈R，{∈Ω|()<}∈，換言之，{|()<}是隨機(jī)事件，則稱是一個(gè)隨機(jī)變量．

隨機(jī)變量的本質(zhì)是將某種隨機(jī)現(xiàn)象量化，即賦予每個(gè)隨機(jī)結(jié)果（樣本點(diǎn)）一個(gè)實(shí)數(shù)值，然后將隨機(jī)事件通過(guò)該隨機(jī)變量的取值范圍來(lái)確定，從而可以采用數(shù)學(xué)手段進(jìn)行處理．實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，可以將上述定義中的3個(gè)要素具體化一些，例如，可以將定義修改成：

定義2：假設(shè)Ω是某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間（基本事件全體），是隨機(jī)事件全體（Ω的子集，不一定是全部的子集），是Ω到實(shí)數(shù)域R的映射，即對(duì)任意樣本點(diǎn)∈Ω，()∈R，如果對(duì)任意∈R，{∈Ω|()<}都是隨機(jī)事件，即{∈Ω|()<}∈，則稱是一個(gè)隨機(jī)變量．

需要說(shuō)明的是，教材將隨機(jī)變量與函數(shù)做類比是不合適的，雖然他們都是映射，但從隨機(jī)變量的本質(zhì)看，兩者不屬于同一范疇．事實(shí)上，隨機(jī)變量是樣本空間（基本事件）的“量化”，但由于基本事件（樣本點(diǎn)）具有不確定性，所以隨機(jī)變量的取值也是不確定的，然而隨機(jī)變量是將隨機(jī)試驗(yàn)數(shù)學(xué)化的一個(gè)過(guò)程，或者說(shuō)是對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的符號(hào)化表達(dá)，是一個(gè)抽象過(guò)程．函數(shù)則是已經(jīng)抽象之后的數(shù)學(xué)模型，也就是說(shuō)，已經(jīng)將現(xiàn)實(shí)中兩個(gè)確定性的事件進(jìn)行了數(shù)學(xué)化，通過(guò)兩個(gè)事件之間的內(nèi)在關(guān)系確定數(shù)學(xué)化后的兩個(gè)量之間的內(nèi)在關(guān)系，如果兩個(gè)事件是變化著的，那么對(duì)應(yīng)的量也是變化的，稱之為變量，兩個(gè)變量之間建立了某種關(guān)系之后，就稱它們有函數(shù)關(guān)系，其中一個(gè)變量稱為自變量，另一個(gè)變量稱為因變量．從隨機(jī)變量與函數(shù)可以看出，隨機(jī)變量是從現(xiàn)實(shí)到符號(hào)的數(shù)學(xué)化過(guò)程，函數(shù)則是經(jīng)過(guò)了對(duì)現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)化之后兩個(gè)不同量之間的因果關(guān)系，也就是說(shuō)利用數(shù)量之間的因果關(guān)系刻畫現(xiàn)實(shí)的因果關(guān)系．隨機(jī)變量與函數(shù)做類比僅僅抽取了兩者的表象特征——“映射”，而“映射”是一個(gè)非常寬泛的概念，用“映射”做類比涵蓋的可類比的東西很多，這種類比沒(méi)有任何實(shí)際意義．如果以“映射”作為類比的特征，不僅隨機(jī)變量可以與函數(shù)做類比，概率也可以與函數(shù)做類比，因?yàn)楦怕适请S機(jī)事件到[0, 1]區(qū)間的映射，這種類比有意義嗎？與概率有關(guān)的真正函數(shù)是分布函數(shù)，它是R到[0, 1]的映射．

兩個(gè)對(duì)象之間的比較應(yīng)該遵循一定的原則，即兩者之間具有某種共同的本質(zhì)特征，這種特征的內(nèi)涵應(yīng)該具有某種特殊性，否則概念的外延會(huì)變得很大，從而使得類比沒(méi)有價(jià)值．提取對(duì)象的何種特征則需要視問(wèn)題的目標(biāo)而定．例如一個(gè)動(dòng)物學(xué)家可能以“哺乳”作為特征進(jìn)行動(dòng)物分類，在這種分類標(biāo)準(zhǔn)下，人、狗、貓、豬等都屬于一類．但他也可能以“語(yǔ)言”為特征進(jìn)行分類，顯然，人與其它動(dòng)物不能歸為一類，因?yàn)閯?dòng)物之間雖然也能傳遞信息，但沒(méi)有與人一樣的書面語(yǔ)言，口語(yǔ)也不發(fā)達(dá)．所以類比的標(biāo)準(zhǔn)非常重要．就隨機(jī)變量而言，如果一定要將它與某個(gè)數(shù)學(xué)概念做類比，該提取何種特征才是合適的？這就要看隨機(jī)變量從何而來(lái)，為了解決什么問(wèn)題，這樣才有可能找到合適的類比對(duì)象．如前所說(shuō)，隨機(jī)變量是現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)之間的一座橋梁，是隨機(jī)現(xiàn)象的量化表達(dá)，這是隨機(jī)變量的本質(zhì)特征，與之做類比的數(shù)學(xué)概念自然也應(yīng)該具有這種特征．一個(gè)可以與之類比的數(shù)學(xué)概念就是“變量”，因?yàn)樽兞恳彩且环N映射，它是現(xiàn)實(shí)到某個(gè)數(shù)集的映射，其本質(zhì)是將現(xiàn)實(shí)中的確定性事件數(shù)量化，從而通過(guò)不同量之間的內(nèi)在關(guān)系（函數(shù)）反映現(xiàn)實(shí)中不同事件之間的內(nèi)在關(guān)系，這樣的例子比比皆是．只不過(guò)在函數(shù)論中掩蓋了變量的本質(zhì)特征，尤其是自變量的本質(zhì)特征，一般的微積分教材不像引入隨機(jī)變量一樣引入變量，而是直接假定自變量在某個(gè)實(shí)數(shù)域內(nèi)變化．

在定義了隨機(jī)變量概念后，不妨回過(guò)頭來(lái)用隨機(jī)變量描述有限的概率空間，這樣可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)隨機(jī)變量的理解．假設(shè)Ω是具有個(gè)點(diǎn)的樣本空間，是Ω的子集全體（它有多少元素？），記Ω={1,2,…,a}，令(a)=，則對(duì)任意∈R，{a∈Ω|(a)<}顯然是Ω的子集，就是有限概率空間上的隨機(jī)變量．

如何用隨機(jī)變量描述古典概型？假設(shè)古典概型的樣本空間為Ω={1,2,…,a}，可以定義隨機(jī)變量為：(a)=，=1, 2,…,．

顯然，

在貝特朗問(wèn)題中，隨機(jī)變量顯然是弦長(zhǎng)，按照3種不同的理解，第一種解答的樣本空間是圓內(nèi)任意弦的中點(diǎn)，第二種解答的樣本空間是與一條固定直徑垂直的弦之中點(diǎn)，第三種解答的樣本空間是弦與圓過(guò)弦一個(gè)端點(diǎn)的切線的夾角．在第一與第三種情形，隨機(jī)變量都是多對(duì)一的映射，在第二種情形，隨機(jī)變量是一對(duì)一的映射．只要隨機(jī)變量出現(xiàn)多對(duì)一的情形，就有可能導(dǎo)致度量方法的不同，歧義就無(wú)法避免．因此，在樣本空間沒(méi)有明確定義的情況下，避免出現(xiàn)歧義的有效方法也是合理的方法是根據(jù)目標(biāo)確定合適的樣本空間，使得隨機(jī)變量是從樣本空間到實(shí)數(shù)域的一對(duì)一映射，只要隨機(jī)性不發(fā)生變化，目標(biāo)（隨機(jī)事件）不發(fā)生變化，盡管樣本空間可能不同，但不同的樣本空間可以做一對(duì)一的相互轉(zhuǎn)換，所以不會(huì)產(chǎn)生歧義．貝特朗問(wèn)題的第二種解答中，既可以取樣本點(diǎn)為與一條固定直徑垂直的弦，也可以取樣本點(diǎn)為弦長(zhǎng)，雖然得到的是不同的樣本空間，而且兩種不同的樣本空間導(dǎo)出了兩個(gè)不同類型的概率問(wèn)題，前者是幾何概型，后者是非幾何概型，但答案是一樣的．

5 要不要分布函數(shù)

中學(xué)教材介紹隨機(jī)變量但不介紹分布函數(shù)多少有點(diǎn)令人費(fèi)解，不介紹分布函數(shù)緣何要介紹隨機(jī)變量？因?yàn)殡S機(jī)變量與分布函數(shù)是兩個(gè)不可分割的概念，正是因?yàn)橛辛穗S機(jī)變量，使得隨機(jī)事件可以用隨機(jī)變量來(lái)表示，從而可以方便地表示隨機(jī)事件的概率分布，即分布函數(shù)，換句話說(shuō)，隨機(jī)變量與分布函數(shù)是一個(gè)有機(jī)的整體．相對(duì)于教材很多后續(xù)的概念，分布函數(shù)并不顯得更難理解，而且教材中很多概率問(wèn)題的計(jì)算實(shí)際上暗含了分布函數(shù)的概念，一層窗戶紙為什么不直接捅破呢？例如教材在介紹分布列時(shí)使用了諸如(2<<5)的表達(dá)式，為什么不稍微純粹一點(diǎn)，把分布函數(shù)的概念引出來(lái)？與教材很多內(nèi)容的風(fēng)格類似，“生活化”的“雜質(zhì)”把概率的“數(shù)學(xué)味”沖淡了很多，如此處理真的可以降低學(xué)生對(duì)概率理解的難度嗎？恐怕未必．反而是五花八門的“生活化”例子有些讓人眼花繚亂，把本質(zhì)的東西給淹沒(méi)了．有了隨機(jī)變量的“數(shù)學(xué)化”定義，分布函數(shù)的定義也就水到渠成了．

定義3：假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，是定義在Ω上的隨機(jī)變量，稱()={<}={∈Ω|()<}，∈R為的分布函數(shù)．

不同的隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)用不同的字母表示，或者在分布函數(shù)左下角用對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量標(biāo)注以示區(qū)別，例如，隨機(jī)變量的分布函數(shù)記為F()，隨機(jī)變量的分布函數(shù)記為F()．

在上述定義中，中學(xué)生對(duì)于符號(hào){∈Ω|()<}的理解可能會(huì)有些困難，困難之處在于{∈Ω|()<}為什么代表一個(gè)隨機(jī)事件，但對(duì)于{<}應(yīng)該沒(méi)有任何理解上的困難．

對(duì)于中學(xué)生而言，了解什么叫分布函數(shù)就可以了，至于分布函數(shù)的性質(zhì)可以根據(jù)實(shí)際情況決定是否有所涉獵，但作為教師，應(yīng)該清楚分布函數(shù)的基本性質(zhì)：

（1）對(duì)任意1<2，都有(1)<(2)（單調(diào)性）；

根據(jù)概率的性質(zhì)可知（1）是顯而易見的，但（2）與（3）的證明需要一點(diǎn)單調(diào)集合與測(cè)度的上下連續(xù)性等知識(shí)，雖然對(duì)于任何讀過(guò)大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的本科畢業(yè)生來(lái)說(shuō)應(yīng)該不是一件陌生的事，但考慮到時(shí)過(guò)境遷，學(xué)生時(shí)代的很多知識(shí)由于疏于使用可能早已忘卻，這也是情有可原的．至于分布函數(shù)的進(jìn)一步性質(zhì)，例如什么樣的非負(fù)單調(diào)遞增函數(shù)是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)以及分布函數(shù)的結(jié)構(gòu)就不是一般中學(xué)教師能夠搞明白的了，需要一點(diǎn)有界變差函數(shù)的專門知識(shí)才能搞清楚，中學(xué)教師可以作為一種興趣決定是否進(jìn)一步在此方面鉆研下去．

[1] 蘇淳．概率論[M]．北京：科學(xué)出版社，2010：39-42．

[2] 盛驟，謝式千．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用[M]．北京：高等教育出版社，2004：114．

Teaching Discussion on Some Concepts in Probability Theory for Middle School

LUO Li-ling, CAO Guang-fu

(Faculty of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

This paper discussed some important concepts in the probability theory of middle school and the common problems in teaching. From the perspective of historical development, the article pointed out that the textbook should first systematically introduce the theory of probability, and on the basis of this, the statistics was introduced. The relationship between basic events and random events should be clarified, and the definition of the concept of the random variables should be strict. Especially, it was not suitable for the analogy between random variables and functions. The former was a quantitative representation of random phenomena, it was a mathematical process, the latter was the quantitative relationship after the quantification of different deterministic events. The two concepts were not in the same category, and the appropriate analogy of random variables was the deterministic variable. Meanwhile, it was pointed out that random thought and stochastic method were two important aspects of probability teaching value. In addition, some constructive suggestions for some carelessness in teaching materials were put forward, and it is pointed out that it was necessary to introduce distribution function into middle school classroom.

random event; sample space; random variables; distribution function

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2018–04–14

國(guó)家“萬(wàn)人計(jì)劃”領(lǐng)軍人才、廣東省“特支計(jì)劃”、廣州市教育名家工作室聯(lián)合資助

羅荔齡（1979—），女，廣西臨桂人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．

G632

A

1004–9894（2018）02–0065–05

羅荔齡，曹廣福．中學(xué)數(shù)學(xué)部分概率內(nèi)容的問(wèn)題與建議[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（2）：65-69．