王海青，湯志娜

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大學先修課程背景下美國AP微積分教材的編寫特色與啟示

王海青1，2，湯志娜1

（1．廣州大學 數(shù)學與信息科學學院，廣東 廣州 510006；2．惠州學院 數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院，廣東 惠州 516007）

中國大學先修課程計劃是提升高中教育的整體水平和實現(xiàn)中、高等教育銜接的有效途徑．而課程及其教材的開發(fā)是中國大學先修課程體系中的重要環(huán)節(jié)，它影響著課程的實施效果．擯棄不同的文化背景和價值理念，剖析美國AP微積分典范教材的編寫特色和有益經(jīng)驗，有助于中國大學先修課程微積分教材的順利開發(fā)．

大學先修計劃；AP微積分教材；教材編寫

大學先修課程是指在高中階段開設(shè)的大學水平的課程．學生在課程結(jié)束后參加并通過全國統(tǒng)一組織的考試，便可在升入大學之前獲得大學認可的學分．大學先修課程起源于20世紀50年代美國的教育質(zhì)量改進運動，主要目的是幫助不同層次的學生如何充分利用高中最后兩年（美國高中多為4年）和大學最初兩年的時間，以縮短中學教育和大學教育的差距．1955年，美國大學理事會（College Board）正式推出大學先修計劃（The Advanced Placement Program，簡稱美國AP計劃），并且負責和主持大學先修課程的整個體系建設(shè)，包括課程設(shè)置、教材編寫、教師培訓及考試等．目前美國AP項目已經(jīng)涉及22個領(lǐng)域、37門大學先修課程，AP成績有四十多個國家近三千六百所大學承認其為入學考試標準．

1 中國大學先修計劃提出的背景與目的

同樣也是出于銜接基礎(chǔ)教育與高等教育的需要，中國在2000年左右開始探索大學先修課程的開設(shè)．2013年1月，北京大學開始與全國部分中學合作試點開設(shè)“中國大學先修課程”．2013年5月，北京大學成立考試研究院并下設(shè)“中國大學先修課程中心”，于同年9月組織了首次考試并將考試成績提供給985高校作為自主選拔錄取的參考依據(jù)．自此，中國大學先修課程平穩(wěn)有序地向前推進．

顯然大學先修課程是選修課，只供學有余力的高中生修讀，它不要求每個學生都必修，也不要求每所高中都要開設(shè)．大學先修課程的開設(shè)主要是為了促進高中不同層次學生的卓越發(fā)展、拓展當前高考制度下大學選拔人才的途徑、提升高中與大學課程整體性的有效銜接[1]．同時也是教育國際化和教育主權(quán)戰(zhàn)略的需要，是中國教育課程改革的一部分．近年來，中國出國留學人數(shù)持續(xù)走高且日趨低齡化，國外教育資源也越來越多地在中國辦學．中國在校高中生每年參加美國AP考試的人數(shù)激增且成績總體高于美國本土的高中生[2-3]．因此，教育的國際化現(xiàn)狀對中國的大學造成巨大的沖擊，同時教育主權(quán)問題也受到了挑戰(zhàn)．而通過中國大學先修課程計劃，可以逐步提高中國高等教育的影響力．

2 中國大學先修課程的教材開發(fā)

課程研制是教育過程的核心，分為課程規(guī)劃、課程實施與課程評價3個階段，其中課程規(guī)劃包含了制定課程方案、研制課程標準、編制教學材料以及開發(fā)課程資源等[4]．課程規(guī)劃與實施的落腳點都離不開教材.首批研發(fā)的微積分、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計、文學寫作、通用學術(shù)英語、物理力學、微觀經(jīng)濟學、宏觀經(jīng)濟學等8門精品課程已于2014年9月起在全國首批試點學校開始授課．而相應的教材講義還在開發(fā)編制中．大學先修課程的定位、授課對象和價值體現(xiàn)增加了教材開發(fā)的難度．

課程研發(fā)雖然困難重重，但中國的大學先修課程也不能直接移植美國AP課程的體系．原因是中美兩國的教育目的不同、基礎(chǔ)教育與高等教育的課程體系不同、高中學生的基礎(chǔ)不同，文化背景與價值觀也不相同[5]．中國大學先修課程需要深思熟慮結(jié)合本土的實際進行教材開發(fā)，這也是至今為止還沒有推出統(tǒng)一授課教材的重要原因之一．

中美教育的背景有巨大差異，但依然可以借鑒美國的成功經(jīng)驗為中國大學先修計劃提供參考．有許多文獻[1，6-11]在梳理美國AP課程的理念和價值的基礎(chǔ)上為中國的大學先修計劃提出了實施建議和途徑．就大學數(shù)學先修課程而言，有少數(shù)的研究[12-15]涉及對中國大學數(shù)學先修課程（CAPM）的內(nèi)容設(shè)置和美國AP微積分課程與教材內(nèi)容體系的探討．而AP微積分教材如何在確保內(nèi)容難度相當?shù)幕A(chǔ)上有效組織教材體系與編寫教學內(nèi)容?關(guān)于此類思考的文獻很少見到，這恰是目前中國大學先修課程微積分教材開發(fā)亟待解決的問題．

3 美國AP微積分教材的編寫特色

美國AP課程數(shù)學類有微積分AB（Calculus AB）、微積分BC（Calculus BC）、統(tǒng)計學3個．微積分AB與BC都有各自的考試，區(qū)別在于內(nèi)容有所不同．微積分AB內(nèi)容大約占了大學一年的微積分課程內(nèi)容的三分之二，微積分BC內(nèi)容包括了大學一年的微積分課程內(nèi)容的全部．微積分BC是微積分AB的延伸和擴展，不過對共同內(nèi)容的理解深度和要求卻是一致的[14]．

美國AP微積分教材獨具一格的編寫方式堪稱是數(shù)學教材中的典范．下面以美國Saxon出版社2002年出版的由John H. Saxon Jr和Frank Y. H. Wang編寫的AP微積分教材[16]為例，分析它的編寫特點，為中國大學先修課程微積分教材的開發(fā)提供參考和借鑒．

3.1 遵循“螺旋式遞進”的編寫原則打破體系分散難點

絕大多數(shù)的數(shù)學教材內(nèi)容編寫都是按照一個單元或一個專題展開，模塊清晰．AP微積分教材沒有嚴格意義上的單元與模塊，內(nèi)容按課時編排．同一專題的內(nèi)容沒有呈現(xiàn)在連續(xù)的幾個課時中，而是貫穿整本教材，難點分散，知識難度螺旋上升，這是Saxon出版社教材編寫堅持的一貫原則．AP微積分教材（包含微積分BC課程的內(nèi)容），全書共148課時，723頁，前10個課時為預備知識．比如“導數(shù)”的內(nèi)容共23個課時，分布在第19課時至第102課時之間；“積分運算”共21課時被分散在第32課時至第148課時之中．

“螺旋式遞進”的編寫方式使得每一專題的內(nèi)容伴隨學生整個學習過程，反復出現(xiàn)、逐漸強化、不斷鞏固，最終形成對知識的完整理解和把握．這符合高中學生的學習特點、思維層次和螺旋上升的認知心理規(guī)律．需要說明的是，這與國內(nèi)基礎(chǔ)教育課程改革中對數(shù)學教材內(nèi)容的“螺旋式”處理有所不同．比如，國內(nèi)有關(guān)“三視圖”的教學內(nèi)容，編者根據(jù)不同的教學目標和內(nèi)容難度分別將其設(shè)置在小學、初中和高中3個階段．而AP微積分教材只是將同一個專題的內(nèi)容有序分散在教學時長不超過一年半的同一本教材中．

3.2 引入“rule of 4”知識的呈現(xiàn)方式直觀化和多樣化

所謂rule of 4（簡稱4規(guī)則）是指：每個概念都用圖形、文字、數(shù)值、代數(shù)的方式呈現(xiàn)．Rule of 4在很大程度上降低了微積分形式推理的難度，為給優(yōu)秀高中生提前進入到大學課程的學習創(chuàng)造了條件．微積分AB和BC課程主要是“為了發(fā)展學生們對微積分概念的理解以及為學生提供微積分方法以及應用這些方法的經(jīng)驗”[14]．因此，教材通過“rule of 4”引導學生用多種方式描述和理解概念、規(guī)則和方法，使之對所學的概念和技能有更深刻的領(lǐng)悟并有助于建立學習的自信心．

以第19課時“導數(shù)”概念的引出為例．教材首先通過具體的一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式及其圖象復習“斜率”和“切線”的概念．接著考慮對于一般的曲線如何確定在某一點處切線的斜率？教材用了4幅圖和數(shù)學符號來描述曲線在某一點處的切線可以看作是經(jīng)過這點的割線的極限情形，于是切線的斜率等于割線斜率在切點處的極限．在此基礎(chǔ)上引出導數(shù)的概念和代數(shù)形式表述，同時也說明了“導數(shù)”的幾何意義．然后用了6個例題從多個角度深化學生對概念的理解．最后教材還專門利用圖形計算器中的導數(shù)功能對其中兩個例題進行數(shù)值代入驗證結(jié)果，使學生在直觀體驗中對概念獲得更豐富的認識，有助于理解記憶．

3.3 注重“先做后說”的教學原則

教材對許多規(guī)則、公式和定理的處理往往是先講方法、運用方法，最后才講方法后面的原理或證明，即所謂的“先實踐操作后說理”．教材的編寫者認為先掌握方法技能再推導證明過程有助于學生對知識本身的理解．但教材并不是直接給出方法讓學生生搬硬套，也沒有忽視形式的推理證明．在展示某一方法之前常常會通過具體的例子說明方法的適當性，學生對該方法有了一定的直觀認識后再運用其解決問題．在獲得技能的過程中促進了學生對方法的理解，也有助于掌握后面的形式推理過程．

以教材第25課時導數(shù)的運算法則

為例說明這一原則．教材先通過具體的特例來說明兩個一次函數(shù)的和或差對應的斜率等于各自斜率的和或差．由此結(jié)合導數(shù)的幾何意義直觀歸納出運算法則(*)，接著運用(*)去解決3道例題．最后才利用導數(shù)的定義對法則(*)進行了嚴格的形式證明．

3.4 計算機技術(shù)融入教材重視圖形計算器的使用與指導

“掌握用計算機技術(shù)幫助解題、實驗、解釋結(jié)果、驗證結(jié)論”[14]是AP微積分課程的課程目標之一，這在教材內(nèi)容上得到了充分體現(xiàn)．如前面提到的第19課時“導數(shù)”概念的內(nèi)容，就借助圖形計算器的數(shù)值代入、圖象功能來驗證形式推理的結(jié)果．AP微積分課程內(nèi)容非常重視函數(shù)與圖象的結(jié)合，特別是對函數(shù)圖象的變化趨勢的討論．結(jié)合微積分的知識和圖形計算器的強大功能，教材用了9個課時（第9、12、14、21、28、41、30、33、36課時）的篇幅探討函數(shù)表達式及其圖象．圖形計算器可以幫助學生更好地理解函數(shù)表達式及其性質(zhì)，降低形式推理論證的難度．

但AP微積分課程并非對計算器的使用不作限制．在利用技術(shù)之前，要求學生必須學會沒有計算器的時候如何解決問題，而不能用計算器代替技能學習或者問題解決．這點與考試要求是同步的，AP微積分課程的考試分為可用計算器作答的Part A和不能使用計算器作答的Part B兩部分題目[15]，可謂是兼收并蓄．

3.5 貫徹“遞增式發(fā)展”原理展開新知例題解答詳盡

遞增式發(fā)展（incremental development）原理是指新知識的理解依賴于對舊知的把握，隨著時間的推移不斷構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)．所以教材在每個主題展開前會先復習相關(guān)的概念、公式或者定理，這有助于學生理解新舊知識間的聯(lián)系，促進對新知的學習．

新知的掌握依賴于例題的講解和鞏固．不管是概念還是公式、定理的應用，教材對每一個例題都給予詳細的解答，并盡量結(jié)合圖象或圖示幫助學生思考和直觀理解．這樣編寫例題有助于學生自學，降低理解的難度．解決相應的習題時初學者可以把例題作為一個參照，模仿解題的格式、步驟，學會分析題目．

3.6 強調(diào)“不間斷的練習與回顧”課后習題精心設(shè)計

不間斷的練習與回顧（continual practice and review）原則是指在整個學年通過習題反復訓練學生獲得技能方法，目的是強化學生的基礎(chǔ)為接下來更復雜的學習做準備．從第11課時開始，許多精心設(shè)計的包含舊知的題目就在后面138個課時的練習中不斷出現(xiàn)，確保學生能在25周或更長的時間里進行常規(guī)練習并促進記憶．這樣學生在后續(xù)知識的學習中就有獨特的優(yōu)勢，不至于忘記之前的概念、規(guī)則和方法而要常常回頭復習．另外，課后習題也與教材內(nèi)容的編排方式緊密結(jié)合、兩相輝映，是教材不可分割的重要部分．“螺旋式遞進”的編寫方式打破了模塊的體系，為了教學的順利開展，課后習題需考慮周全、兼顧前后，在鞏固舊知與新知的同時也為后續(xù)的學習做好鋪墊．

4 啟示

雖然AP微積分教材也有自身的缺點，如對計算和定理的形式推理要求較低，“螺旋式遞進”的編寫方式也有爭議．但AP微積分教材內(nèi)容與課程的指導思想、課程目標保持一致，及其獨特的編寫形式也為中國大學先修課程微積分教材的開發(fā)和教學的實施提供了有益經(jīng)驗．

4.1 AP微積分課程嚴格規(guī)范的研制過程保障其健康發(fā)展

大學承認AP課程學生的成績是AP課程得以發(fā)展的重要因素．大學之所以認為AP微積分成績“等同”于在大學里選修相同課程的學生的成績，是因為高中選修AP微積分的學生學習的課程內(nèi)容與難度跟大學的學生相當．更重要的是，這種“等同”的認識是通過AP課程嚴格規(guī)范的制訂過程得以確定的[8]：

（1）大學教師參與制訂AP課程每個學科的課程概述和考試準則；

（2）大學教師負責AP課程標準的設(shè)立和學生成績的評估；

（3）AP課程和考試將根據(jù)至少二百多所大學對課程調(diào)查分析的結(jié)果和委員會中一些專業(yè)成員對課程大綱所提意見不斷加以更新；

（4）大學曾把在校學生參加AP的成績和AP課程學生成績進行過比較研究，證實了AP課程設(shè)定的3級以上考試標準相當于大學課程標準．

4.2 AP微積分教材的編者具有堅實的微積分教學經(jīng)驗確保課程內(nèi)容與課程目標的同步性

AP微積分課程提出了要讓學生達到9個具體課程目標[8]．如：掌握用“rule of 4”來描述函數(shù)，并要理解這些表示方法之間的關(guān)系；能從“變化率”及局部線性近似兩方面理解導數(shù)的含義，能用導數(shù)解決一系列問題；能從黎曼和的極限及變量變化的凈累加兩個方面來理解定積分的意義，并能用積分解決一系列問題等．課程目標具體明確，便于教師的實施和操作．

前面的教材分析體現(xiàn)了課程內(nèi)容與課程目標的同步性．能夠做到這一點的關(guān)鍵是大學教師負責AP微積分課程標準的制定并主導教材的編寫，包括哈佛等名校的教授參與．他們具有堅實的微積分教學經(jīng)驗，對微積分這門學科的產(chǎn)生背景、內(nèi)容發(fā)展和應用都有清晰的認識和獨到的見解．他們參與AP微積分教材的編寫能有效組織教材體系和內(nèi)容，保證課程內(nèi)容和課程目標相一致，為優(yōu)秀高中生的成長創(chuàng)造了條件．

4.3 教材對“嚴謹性原則”的恰當把握有助于學生對知識的理解

歷史表明，微積分產(chǎn)生于自然科學的現(xiàn)實需要，微積分的基礎(chǔ)是逐漸嚴謹化的過程．對于新學者特別是高中階段的學生難于理解抽象形式的定義、定理和證明，它們涉及復雜的數(shù)學符號系統(tǒng)和邏輯．因此，教材通過引入圖形計算器、“rule of 4”及“先做后說”等方式方法組織教學，在很大程度上降低了形式推理要求，但也保持了適度的形式推理過程．

4.4 教材遵從記憶和認知的規(guī)律以學生為中心促進有效學習

教材的主要使用者是教師和學生，他們對教材的體驗不可忽視．而微積分內(nèi)容的特點、高中學生的年齡特征與思維層次都對教材的編寫提出了高要求．既不能直接將大學的微積分教材直接搬進中學課堂，也不能只強調(diào)直觀形象而完全忽視對形式化的要求．在保證課程內(nèi)容與難度“等同”大學微積分的情況下，如何促進學生的學習？

教材在編寫過程中充分遵循了記憶和認知的規(guī)律．比如，重復出現(xiàn)是學生將知識從短時記憶轉(zhuǎn)向長時記憶存貯所必需的過程．所以教材采取“不間斷的練習與回顧”原則處理課后習題，使學生能在后續(xù)學習中不斷鞏固之前的知識．另外，按照認知心理學的觀點，學生對知識的獲得是一個螺旋上升、不斷建構(gòu)的認知過程，新知識的理解依賴于對舊知的把握．為此，教材打破體系，采用螺旋式遞進的方式編寫．同時也遵循遞增式發(fā)展原理，在每個主題展開前先復習相關(guān)的概念、公式或者定理．

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Characteristics and Inspiration of AP Calculus Textbook under Chinese Advanced Placement Course

WANG Hai-qing1, 2, TANG Zhi-na1

(1. School of Mathematics & Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China;2.School of Mathematics & Big Data, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China)

Chinese advanced placement course was defined as an effective way to improve overall level of high school education, and to join together secondary education and higher education. Thedevelopment of course and textbook was an important link of advanced placement course system, which would influence the curriculum implementation effect. It would be help to develop Chinese advanced placement course that we analyzed characteristics and beneficial experience of the American AP calculus textbook in the case of abandoning different cultural background and value concept.

advanced placement course; AP calculus textbook; textbook compilation

[責任編校：周學智]

2017–10–23

廣東省教育科學研究課題——基于課程群理念的數(shù)學學科教育課程重構(gòu)與教學方式研究（2014GXJK144）；2016年廣東省本科高校高等教育教學改革課題——卓越人才培養(yǎng)模式下職前數(shù)學教師整體教學觀的形成研究

王海青（1978—），女，廣東河源人，副教授，廣州大學博士生，主要從事數(shù)學史與數(shù)學課堂教學研究．

G40-059.3

A

1004–9894（2018）02–0074–04

王海青，湯志娜．大學先修課程背景下美國AP微積分教材的編寫特色與啟示[J]．數(shù)學教育學報，2018，27（2）：74-77．