王思雨，吐爾洪江·阿布都克力木，阿斯古麗·艾合麥提

（新疆師范大學 數(shù)學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017）

人類傳遞信息的主要媒介是語言和圖像。根據(jù)統(tǒng)計分析，在人類接受的各種信息中視覺信息占80%，所以，圖像信息是十分重要的信息傳遞媒體和方式。信號和圖像中存在著各種噪聲，各種傳感器所獲得的圖像信息一般都含有Gauss噪聲和非Gauss噪聲，圖像中的噪聲對圖像分析、分類和識別影響很大［1］。近年來，小波變換作為新的一種分析方法在圖像處理中得以廣泛的應用［2］，能在時間和頻率域內(nèi)同時進行分析，使能量能集中于較少的小波變換系數(shù)。另外，小波的多分辨率分析結構能允許應用匹配每個頻帶的統(tǒng)計性和人的視覺特征的有效編碼方法，成為圖像編碼的強有力工具。它已成為機器視覺研究領域最活躍的課題之一，在工程應用中占有十分重要的地位［3］。

文章設計了復系數(shù)全通濾波器并用其對復雜內(nèi)容的圖像進行增強，再對增強后的圖像進行邊緣檢測。實驗結果顯示，應用文章設計的濾波器可有效地克服圖像進行邊緣檢測過程中噪聲對其的影響，邊緣檢測之后的效果明顯優(yōu)于db（6）小波濾波器和傳統(tǒng)算子對圖像進行處理后的效果。

1 小波變換與Mallat算法

小波變換是Fourier變換的變種，其目的是為了使之適用于局部變化的處理。在小波變換中，連續(xù)變換系數(shù)WTv(a,b)=[v(t),ψa,b(t)]主要依賴于信號在 [b-aΔψ,b+aΔψ]區(qū)間中的情況，時間寬度是 2aΔψ，該時間寬度是隨著尺度a變化而變化的，其中，所以小波變換具有時間局部分析能力［4］。由于小波變換在實際運算中需要計算大量的系數(shù)，工作量巨大，下面介紹一種快速算法——Mallat算法。

定義1 若υ(k)為信號的離散采樣數(shù)據(jù)，如果，則信號分解的Mallat算法為

式中N為離散采樣數(shù)據(jù)個數(shù)；h,g為濾波器脈沖響應，即分解各列濾波器系數(shù)；cj,k為υ(k)在2j分辨率下的逼近，稱為信號的低頻部分系數(shù)；dj,k為υ(k)在2j分辨率下的離散細節(jié)，稱為信號的高頻部分系數(shù)。

如果從j=0層開始，經(jīng)過J層分解后得到的是c-J,d-J,d-J+1,…,d-1。

信號重構的Mallat算法如下：

式中和分別為hm-2k和gm-2k的共軛，實際上也就是重構各列濾波器組的系數(shù)。

Mallat算法中不需要知道尺度函數(shù)?(t)和小波函數(shù)ψ(t)的具體結構，僅通過濾波器系數(shù)h和g就可以實現(xiàn)信號的分解與重構，由此可見濾波器在Mallat算法中的重要性［4］。

2 復系數(shù)全通濾波器的構造

定義2 能夠使所有頻率分量無衰減的通過的系統(tǒng)稱為全通系統(tǒng)，也稱全通濾波器。

對于N階全通濾波器，有理傳遞函數(shù)A(z)可以表示為如下形式：

其中αk為極點，α*k表示αk的共軛。

當AN(z)乘一個復常量β，即，A'N(z)就叫做復系數(shù)全通濾波器。

命題1 若A(z)=A'N(z)是一個N階復系數(shù)全通濾波器，)的濾波器系數(shù)是A(z)的復共軛，則有濾波器組{H(z),G(z)}：

式中，低通濾波器H(z)和高通濾波器G(z)的系數(shù)是實系數(shù)。

命題2 由實系數(shù)的二通道仿酉濾波器組{H(z),G(z)}能夠獲得實值正交小波濾波器，其中H(z)和G(z)所滿足的正交條件是［4］：

復系數(shù)全通濾波器A(z)的傳遞函數(shù)能夠表示為：

其中A(z)的階數(shù)是N=2N1+4N2，β是復常量，|β|=1，可以令β=eiη或者，將（3）式展開得到，當為奇數(shù)時：

定理1 若A(z)的傳遞函數(shù)可以寫成（4）和（5）式的形式，則A(z)的系數(shù)an可以由如下公式給出：

表1 A(z)的系數(shù)

將表中數(shù)據(jù)代入（1）、（4）和（5）式可得：

3 算法實現(xiàn)流程

文章提出的新的基于小波變換的圖像邊緣檢測方法共包括小波分解、應用構造的復系數(shù)全通濾波器進行濾波和邊緣檢測三個部分，具體流程如圖1所示。

圖1 算法實現(xiàn)流程圖

4 實驗結果及分析

文章實驗所選用的實驗圖像是信息量較大的Baboon圖，分別用文章構造的小波濾波器、db（6）小波濾波器、Sobel算子、Prewitt算子和Roberts算子對其進行處理。實驗效果如圖2，其中實驗結果圖（a）為原圖、（b）為文章構造的小波濾波器檢測結果、（c）為db（6）小波濾波器檢測結果、（d）為Sobel算子檢測結果、（e）為Prewitt算子檢測結果、（f）為Roberts算子檢測結果。

圖2 實驗效果圖

從圖2可知，文章構造的小波濾波器對應的小波變換方法在圖像邊緣檢測效果上明顯優(yōu)于db（6）小波濾波器對應的小波變換方法和其它四種常用算子方法，尤其是文章方法可以將狒狒臉部細節(jié)檢測出來，并且輪廓清晰。圖（c）雖然可以體現(xiàn)出狒狒臉部的大部分輪廓，但是狒狒鼻子上的細節(jié)之處體現(xiàn)不出來；圖（d）雖邊緣定位精度高，但容易丟失部分邊緣幾乎沒有檢測到狒狒的臉部細節(jié)；圖（e）和（f）雖然檢測處的細節(jié)之處有體現(xiàn)，但是效果不明顯。

由于實際生活中人們獲取到的圖像種類繁多，文章構造的小波濾波器對應的小波變換方法不能將其全部進行實驗對比，另外文章中構造的小波濾波器對應的小波變換方法在圖像邊緣檢測效果上不夠精化，這也正是以后研究的重要方向。

參考文獻：

［1］YAN Jing-wen，QIAN Shen-en.The Analy sis and Development of Theory Method in N on-Gaussion Environments［A］.The Third Proceeding of National Sy mposium on Developments of Microwave Compatibility［C］.Bei jing：Bei jing Broadcasting Instiute Press 1996.

［2］孫延奎.小波分析及其應用［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2005：31-58.

［3］張德豐.MATLAB數(shù)字圖像處理［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2012：268-292.

［4］吐爾洪江·阿布都克力木.小波信號處理基礎［M］.北京：北京郵電大學出版社，2014：6-163.