李 攀，劉元正，王繼良

（中航工業(yè)西安飛行自動控制研究所，西安 710065）

核磁共振陀螺（Nuclear Magnetic Resonance Gyroscope，NMRG）是一種利用核磁共振原理工作的全固態(tài)陀螺儀。它沒有運動部件，性能由原子材料決定，理論上動態(tài)測量范圍無限，綜合運用了量子物理、光、電磁和微電子等領域中的技術，是未來陀螺儀發(fā)展的新方向[1-7]。

原子自旋可以在慣性參考系中保持其初始指向，類似于傳統(tǒng)機械陀螺中的轉子，所以原子自旋也可以用于敏感轉動。歐美國家從20世紀60年代就已經開始研究核磁共振陀螺，Litton公司和 Singer-Kearfott公司在1979年分別開發(fā)出了核磁共振陀螺原型機，均達到了導航精度[8]。雖然結果鼓舞人心，但核磁共振陀螺項目仍在其潛力被完全認識前取消了。項目的停止主要歸因于同期激光陀螺技術的發(fā)展，當時激光陀螺技術被認為更有前途。

進入21世紀以來，微型原子器件的顯著進步證實了原子MEMS的可行性，為核磁共振陀螺的發(fā)展迎來的曙光[9-10]。2005年，美國國防先進研究計劃局（DARPA）提出了導航級集成微陀螺（NGIMG）概念，在定位、導航和授時微技術（Micro-PNT）項目中對美國 Northrop Grumman公司的核磁共振陀螺研究給予了支持[11]。到2012年美國Northrop Grumman公司實現了導航級核磁共振微陀螺[12]，隨機游走達到0.01 (°)/√h，零偏穩(wěn)定性達到 0.05 (°)/h，滿量程速率大于 500 (°)/s，刻度因子穩(wěn)定性＜25×10-6，成為目前世界上達到導航級精度中體積最小的陀螺，標志著高精度、小體積陀螺技術領域取得了突破性進展。

核磁共振陀螺利用檢測磁場中原子核自旋進動頻率的改變確定載體角速度。陀螺所涉及的磁場包括縱向靜態(tài)磁場和橫向振蕩磁場，原子核自旋繞靜磁場進動，振蕩磁場頻率與原子核進動頻率相同。在進行陀螺設計時，必須保證靜態(tài)磁場縱向分量在氣室范圍內均勻分布，橫向分量近似為零，振蕩磁場橫向分量在氣室范圍內均勻分布，縱向分量近似為零。從陀螺原理可以看出，核磁共振陀螺的陀螺精度與靜磁場的均勻性、穩(wěn)定性密切相關。

為防止外部磁場對陀螺的干擾，核磁共振陀螺需要磁屏蔽。核磁共振陀螺靜磁場通常由亥姆霍茲線圈或螺線管產生，這兩種結構均存在漏磁，在長期工作過程中一方面會因為磁力線在磁屏蔽材料表面反射形成雜散磁場，另一方面會導致磁屏蔽罩長期磁化，并最終干擾陀螺精度。

1 靜磁場系統(tǒng)漏磁計算

目前，在核磁共振領域得到工程應用的均勻靜磁場產生方案一般有兩種[13-15]：亥姆霍茲線圈和螺線管。這里我們將亥姆霍茲線圈看作兩匝的疏繞螺線管，從而只討論螺線管一個方案。

1.1 載流環(huán)形線圈的磁場

載流環(huán)形線圈如圖1所示。以線圈中心為坐標原點建立直角坐標系，z軸與線圈平面垂直，電流I以逆時針方向繞z軸旋轉。根據畢奧-薩伐爾-拉普拉斯定律，任一電流元Idl在點P形成的磁場可以表示為

其中，r為元電荷指向點P的矢量，μ0為真空電導率。

可以得到P點的磁感應強度：

圖1 環(huán)形電流磁場Fig.1 Ring current magnetic field

1.2 通電螺線管的軸向磁場

通電螺線管的磁場可以近似看作一系列圓形線圈磁場的疊加。

圖2 螺線管軸上的磁場Fig.2 Magnetic field on the solenoid axis

令螺線管長為L，半徑為R，單位長度的匝數為n，電流強度為I，可以得到螺線管在原點產生的磁感應強度為

其中，β1和β2如圖2所示。

1.3 螺線管的離軸磁場

下面我們考慮螺線管的漏磁，即螺線管外的離軸磁場。從式(4)得到載流線圈的離軸磁場為

其中，x、z為離軸點到線圈中心的徑向和軸向距離。將螺線管的每個線圈分別進行計算并進行疊加就可以得到螺線管的離軸磁場大小。

為便于計算，采用梯形公式對式(8)進行近似，有其中，ak=0+kh=kh，k=1,2,…,N?1，h=(π?0)/N=π/N。

設計核磁共振陀螺螺線管為半徑R=25 mm，繞組長度L=50 mm，繞組匝數n=50，通電電流I=0.2 A，其軸向磁場如圖 3所示。定義磁場非均勻性指標δ=std(B)/mean(B)，取氣室尺寸大小計算δ=0.01。

螺線管端口沿徑向的磁場分布如圖4所示。

圖3 傳統(tǒng)螺線管的軸向磁場分布Fig.3 Axial magnetic field distribution of conventional solenoid

圖4 傳統(tǒng)螺線管端口沿徑向磁場分布Fig.4 Radial magnetic field distribution at the conventional solenoid port

端口處的離軸磁場可以分解為Bz和Bx兩個部分，且Bx起主要作用，所以減小離軸磁場主要是要消除徑向磁場Bx。

2 核磁共振陀螺靜磁系統(tǒng)漏磁抑制

經過簡單分析可以發(fā)現，通過改變靜磁線圈的長徑比可以有效減小端口漏磁，比如減小線圈尺寸或增加線圈長度，但在核磁共振陀螺使用中卻受到了限制。由于核磁共振陀螺是一種微陀螺，靜磁線圈的直徑受到其內部陀螺結構的限制，而長度受到了陀螺體積的限制?？偟膩碚f，通過改變靜磁線圈尺寸來抑制端口漏磁的效果有限。此外，還需要考慮磁場均勻性的要求，因為核磁共振陀螺會嚴格限制靜磁系統(tǒng)的磁場均勻性，核磁共振陀螺的陀螺精度與靜磁場的均勻性、穩(wěn)定性密切相關。所以我們需要一種體積小、結構簡單且不影響靜磁系統(tǒng)磁場均勻性的漏磁抑制技術。

可以參考無矩線圈使用雙層螺線管結構來抑制離軸磁場，該方法通過幾組子線圈以一定的幾何結構安裝方式，并通過各組子線圈一定的線圈匝數和一定的電流方向，使線圈外部的磁場急速衰減，線圈的磁矩為零。這種螺線管具有十分突出的優(yōu)點：在工作時對一定距離外的環(huán)境不會產生磁干擾、不會磁化較臨近的磁性物質等。

此外，雙層螺線管還有另外一個優(yōu)點。從圖3中可以看出，普通螺線管沿中心軸的磁場分布表現出兩端小、中間大的特征，這也是影響磁場均勻性的主要因素。而雙層螺線管通過在外層施加一個反向磁場在一定程度上對磁場中心進行了平滑，所以可以通過合理的結構設計來提高磁場均勻度。

無矩線圈的外形尺寸在結構上滿足下列關系[16]：

式中：D1、D2為內外螺線管的直徑，L1、L2為內外螺線管的繞組長度，n1、n2為內外螺線管繞組匝數。

2.1 初步設計

參考無矩線圈的結構，初步設計雙層螺線管為D1=50 mm、D2=60 mm、L1=50 mm、L2=37.42 mm、n1=50、n2=35、I=0.66 A，尺寸嚴格滿足無矩線圈結構，內外螺線管通電電流方向相反，產生的軸向磁場如圖5所示。與設計要求相近，取氣室尺寸大小計算磁場非均勻性指標δ=3.19×10-4，磁場均勻性顯著提高。

雙層螺線管端口沿徑向的磁場分布如圖6所示。

可以看出，與普通螺線管相比：對于Bz，雙層螺線管在D＞96.54 mm區(qū)域漏磁優(yōu)于普通螺線管；對于Bx，雙層螺線管在D＞65.58 mm區(qū)域漏磁優(yōu)于普通螺線管。令標量B=(Bz2+2Bx2)0.5，所得結果如圖7所示。

由圖7可以看出，雙層螺線管在D＞92.50 mm區(qū)域漏磁優(yōu)于普通螺線管，遠大于雙層螺線管的外線圈直徑D2（60 mm）。由于核磁共振陀螺需要嚴格限制尺寸大小，磁屏蔽罩的內徑僅略大于靜磁場線圈，在此范圍內使用無矩線圈對靜磁系統(tǒng)產生的漏磁幾乎沒有抑制效果。

圖5 雙層螺線管沿軸向的磁場分布Fig.5 Axial magnetic field distribution of double-layer solenoid

圖6 雙層螺線管端口沿徑向矢量磁場分布Fig.6 Radial vector magnetic field distribution at the double-layer solenoid port

圖7 雙層螺線管端口沿徑向標量磁場分布Fig.7 Radial scalar magnetic field distribution at the double-layer solenoid port

2.2 參數分析

下面將通過參數分析來確定雙層螺線管結構參數對線圈漏磁的影響，從而通過優(yōu)化結構參數來進一步提升雙層螺線管的性能。

選用參數D1=50 mm、D2=60 mm、L1=50 mm、L2=37.42 mm、n1=50、n2=35、I=0.66 A，固定其它參數，改變其中一個以確定雙層螺線管結構參數對性能的影響。判斷指標采用內螺線管端口沿徑向磁場分布絕對值的平均值。

● 外螺線管直徑D2

外螺線管直徑D2對雙層螺線管漏磁的影響如圖8所示。

圖8 外螺線管直徑D2對雙層螺線管漏磁的影響Fig.8 Influence of diameter D2 of external solenoid on magnetic flux leakage of double-layer solenoid port

從圖8中可以看出：對于Bz，雙層螺線管的漏磁隨著D2的增加而增加；對于Bx，則存在極小值點，此時D2=54.8 mm。

● 外螺線管長度L2

外螺線管長度L2對雙層螺線管漏磁的影響如圖 9所示。從圖9中可以看出：對于Bz，雙層螺線管的漏磁隨著L2的增大而減小；對于Bx，則存在極小值點，此時L2=39.03 mm。

圖9 外螺線管長度L2對雙層螺線管漏磁的影響Fig.9 Influence of length L2 of external solenoid on magnetic flux leakage of double-layer solenoid port

● 外螺線管匝數n2

圖10 外螺線管匝數n2對雙層螺線管漏磁的影響Fig.10 Influence of number of turns n2 of external solenoid on magnetic flux leakage of double-layer solenoid port

外螺線管匝數n2對雙層螺線管漏磁的影響如圖10所示。從圖10中可以看出：對于Bz，存在極小值點，此時n2=33；對于Bx，存在極小值點，此時n2=28。綜合考慮，最優(yōu)點為n2=28。

2.3 參數優(yōu)化

從上述分析可以看出，外螺線管直徑D2、外螺線管長度L2、外螺線管匝數n2都會影響對靜磁系統(tǒng)端口漏磁的抑制效果，我們可以通過回歸分析的方法建立上述參數與靜磁系統(tǒng)端口漏磁抑制之間的回歸關系，同時兼顧靜磁系統(tǒng)小體積、磁場高均勻的要求。

為降低計算量并提高回歸精度，并考慮到使用簡單的一次回歸正交設計并不能得到滿意的結果，采用最優(yōu)近似飽和設計進行二次回歸。取外螺線管直徑D2、外螺線管長度L2、外螺線管匝數n2作為四因子，采用最優(yōu)近似飽和設計（R311D）進行回歸設計，各因子的編碼自變量(xi)的編碼水平j和實際自變量(zi)的實際水平如表1所示。

表1 最優(yōu)近似飽和設計試驗因子及水平Tab.1 Optimal approximation saturation design experimental factors and levels

對于本設計來說：外線圈直徑D2需要大于內線圈直徑D1，但也需要考慮到實際安裝的最大尺寸；外線圈長度L2需要小于內線圈長度；同時，外線圈匝數最少2匝，考慮到常規(guī)導線的直徑，最大不超過50匝。實施水平間距δi為：

設計水平j對應的實際水平為：

具體數值如表1所示。

使用Matlab進行仿真計算。對于各組參數，改變電流以使螺線管在氣室范圍內產生的磁場大小歸一化以減小誤差，并以磁屏蔽罩區(qū)域漏磁場標量B的均值（Gauss）為判定條件，兼顧磁場均勻性指標δ，得到結果如表2所示。

使用下列模型進行二次回歸：

式中，n為自變量的數目，b0為回歸方程的常數項，bi為一次項的偏回歸系數，bij為二次項的偏回歸系數。

使用Minitab進行多輪數學回歸。若數學回歸的結果中有系數未達到顯著水平（p＜0.05），將其并入誤差項繼續(xù)進行回歸，直到得到最終的回歸方程。

對于磁場參數y1（磁屏蔽罩區(qū)域漏磁場標量B的均值），從最終回歸的方差分析表（表3）可以看出，回歸達到極顯著水平（F＞F0.01(5,5)=10.97），回歸方程的復相關系數Rsq=0.969。偏回歸t檢驗中，只有b12達到顯著水平（p＜0.05），其余系數均達到極顯著水平（p＜0.01），如表4所示。

表2 試驗方案及結果Tab.2 Experimental scheme and results

表3 試驗方差分析Tab.3 Analysis of variance

表4 偏回歸系數b的t檢驗Tab.4t test of partial regression coefficient b

回歸方程為：

表5 試驗方差分析Tab.5 Analysis of variance

對于磁場參數y2（即磁場均勻性指標δ），從最終回歸的方差分析表（表5）可以看出，回歸達到極顯著水平（F＞F0.05(6,4)=14.54），回歸方程的復相關系數Rsq=0.939。偏回歸t檢驗中，只有b23達到極顯著水平（p＜0.01），其余系數達到顯著水平（p＜0.05），如表6所示。

表6 偏回歸系數b的t檢驗Tab.6t test of partial regression coefficient b

回歸方程為：

考慮到

可得：

即：

結合回歸方程綜合考慮漏磁大小和磁場均勻性指標，取D=54 mm、L=43 mm、n=38，對應(-1, 1.3, 1)水平?；貧w結果為=0.077G，δ=5.19×10-3。Matlab仿真結果為=0.091G，δ=6.41×10-4，磁場非均勻性指標比回歸結果更小一些。

此時螺線管產生的軸向磁場如圖11所示。可以看出中心區(qū)域磁場均勻性有明顯改善。端口漏磁如圖 12所示。由圖 12中可以看出，優(yōu)化后的雙層螺線管在D＞61.72mm 區(qū)域端口漏磁明顯優(yōu)于普通螺線管，在1.5倍螺旋線管直徑（差不多能涵蓋整個磁屏蔽罩）范圍內，漏磁較普通螺線管平均減小 45.4%，對靜磁系統(tǒng)的漏磁起到了有效的抑制作用，可以滿足核磁共振陀螺的使用需求。

圖11 優(yōu)化后的雙層螺線管沿軸向的磁場分布Fig.11 Axial magnetic field distribution of the optimized double-layer solenoid

圖12 優(yōu)化后的雙層螺線管端口沿徑向的標量磁場分布Fig.12 Radial scalar magnetic field distribution at the optimized double-layer solenoid port

3 結 論

作為一種新型微型陀螺儀，隨著MEMS技術和微型原子器件的發(fā)展，核磁共振陀螺儀有望在中低精度導航和制導領域得到應用，其潛在應用方向包括小型飛行器、無人飛行器、無人水下潛艇、地面車輛、戰(zhàn)術導彈等。美國陸軍計劃從2013年開始進行將核磁共振陀螺納入單兵作戰(zhàn)平臺的實驗和測試工作[17]。

本文從核磁共振陀螺靜磁場分布的理論分析出發(fā)，通過數學計算和計算機仿真，分析和研究了靜磁系統(tǒng)的端口漏磁，并對靜磁系統(tǒng)進行了優(yōu)化設計。設計的核磁共振陀螺靜磁系統(tǒng)端口漏磁在1.2倍螺線管直徑范圍內較傳統(tǒng)方案平均減小 45.4%，滿足了核磁共振陀螺的使用需求。該工作為核磁共振陀螺儀設計和制造提供了一定的理論依據和參考價值。

參考文獻（References）：

[1]程向紅, 陳紅梅, 周雨青, 等. 核磁共振陀螺儀分析及發(fā)展方向[J]. 中國慣性技術學報, 2006, 14(6): 86-90.Cheng X H, Chen H M, Zhou Y Q, et al. Review of nuclear-magnetic resonance gyroscopes[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2006, 14(6): 86-90.

[2]陳紅梅, 程向紅, 員亞利. 低溫超導核磁共振陀螺儀模型[J]. 中國慣性技術學報, 2008, 16(2): 228-232.Chen H M, Cheng X H, Yuan Y L. Model of nuclearmagnetic resonance gyroscopes with cryogenic superconductor[J]. Journal of Chinese Inertial Technology,2008, 16(2): 228-232.

[3]李攀, 劉元正, 王繼良. 核磁共振微陀螺的現狀與發(fā)展[J]. 微納電子技術, 2012, 49(12): 769-785.Li P, Liu Y Z, Wang J L. Current status and development of nuclear magnetic resonance microgyroscope[J]. Micronanoelectronic Technology, 2012, 49(12): 769-785.

[4]嚴吉中, 李攀, 劉元正. 原子陀螺基本概念及發(fā)展趨勢分析[J]. 壓電與聲光, 2015, 37(5): 810-817.Yan J Z, Li P, Liu Y Z. Analysis of the basic concept and the development tendency of atomic gyroscopes[J].Piezoelectrics & Acoustooptics, 2015, 37(5): 810-817.

[5]劉麗君, 席在榮. 原子核自旋陀螺儀的基本原理[J]. 系統(tǒng)科學與數學, 2012, 32(10): 1308-1317.Liu L J, Xi Z R. The principle of atomic spin gyroscope base on a comagnetometer[J]. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences, 2012, 32(10): 1308-1317.

[6]Fang J C, Qin J. Advances in atomic gyroscopes: A view from inertial navigation applications[J]. Sensors, 2012,12(5): 6331-6346.

[7]Fang J C, Qin J, Wang S A, et al. Atomic spin gyroscope based on129Xe-Cs comagnetometer[J]. Chinese Science Bulletin, 2013, 58(13): 1512-1515.

[8]Kitching J, Knappe S, Donley E A. Atomic sensors – a review[J]. IEEE Sensors Journal, 2011, 11(9): 1749-1758.

[9]Knappe S, Shah V, Schwindt P, et al. A microfabricated atomic clock[J]. Appl Phys Lett, 2004, 85(9): 1460-1462.

[10]Schwindt P, Knappe S, Shah V, et al. Chipscale atomic magnetometer[J]. Appl Phys Lett, 2004, 85(9): 6409-6411.

[11]Larsen M, Bulatowicz M. Nuclear magnetic resonance gyroscope for DARPA’s micro-technology for positionning, navigation and timing program[R]. USA: Northrop Grumman, 2012.

[12]Meyer D, Larsen M. Nuclear magnetic resonance gyro for inertial navigation[J]. Gyroscopy and Navigation, 2014,5(2): 75-82.

[13]Eklund E J. Microgyroscope based on spin-polarized nuclei[D]. USA: University of California, 2008.

[14]李攀, 劉元正, 王繼良. 核磁共振陀螺多層磁屏蔽系統(tǒng)優(yōu)化設計[J].中國慣性技術學報, 2016, 24(3): 383-389.Li P, Liu Y Z, Wang J L. Optimization design of multilayer magnetic shield for nuclear magnetic resonance gyroscopes [J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2016,24(3): 383-389.

[15]Kornack T W. A test of CPT and Lorentz symmetry using a K-3He co-magnetometer[D]. USA: Princeton University,2005.

[16]程華富. 交變微弱磁場標準研究[J]. 水雷戰(zhàn)與艦船防護, 2009, 17(1): 9-12.Cheng H F. Research on alternating weak magnetic field standards[J]. Mine Warfare & Ship Self-Defence, 2009,17(1): 9-12.

[17]U.S. Army Research, Development and Engineering Command. US army CERDEC dismounted solder navigation – update [EB/OL]. (2012-08-08) [2014-08-14].Http://www.docstoc.com/docs/153613635/US-ARMY-C ERDEC-Dismounted-Solder-Navigation---Update.