卜 峰，徐大誠，趙鶴鳴

（蘇州大學 微納傳感技術研究中心，蘇州 215000）

基于諧振原理的硅微機電系統(tǒng)（Micro-Electro-Mechanical System, MEMS）陀螺具有尺寸小、重量輕、成本低等優(yōu)點。諧振頻率(f0)和品質因數(shù)(Q)是硅MEMS陀螺振動特性的重要參數(shù)，對驅動控制和誤差機理分析具有重要作用[1]。

目前，諧振頻率的測定方法主要為掃頻法[2]，其原理簡單，結果相對可靠，但要獲得較高精度的頻率需要以小間隔進行多次掃頻，效率較低。為此，學者提出了一些非掃頻的方法。例如，文獻[3]提出了一種基于黃金分割搜索算法的諧振頻率測量方法，根據(jù)幾個頻率點的幅值，通過尋找對稱凸函數(shù)極大值的方法來求解諧振頻率點。然而，在實際應用中，陀螺的幅頻曲線并不一定是以諧振頻率點為中心且左右完全對稱的曲線。另外，對于高Q值的陀螺，其頻帶很窄，在不知道諧振頻率下，很難取到一個有效的頻率點。文獻[4]利用鎖相環(huán)（Phase Locked Loop, PLL）閉環(huán)控制，根據(jù)激勵信號與反饋信號的相位差來尋找諧振頻率點，然而在構建鎖相環(huán)時也需要設定初始頻率點和頻率調整間隔，若初始點偏離諧振頻率較遠，則需要很長時間才能鎖定到諧振點。文獻[5]對傳統(tǒng)PLL測量諧振頻率的方法進行了改進，利用激勵信號和反饋信號頻率差的一個正切運算代替了PLL中的相位運算，降低了運算量，但其設定初始頻率差小于200 Hz，同樣存在初始信號頻率點的設置問題。

對于Q值的測量，通常分為半功率帶寬法(-3dB帶寬法)和時間測量法。半功率帶寬法[6]是根據(jù)幅頻特性曲線的-3dB帶寬和諧振頻率來計算出Q值，精確度較低。時間測量法是根據(jù)系統(tǒng)的自由衰減振蕩信號，在振幅衰減曲線上取2個點來計算Q值，其容易受到信號噪聲和取值點選擇的影響，誤差也較大，而且這種方法需要陀螺產生較大幅度的余振信號，當以正弦信號為激勵時，在不知道準確諧振頻率下難以激勵起足夠大的振幅[7]。另外，通過用鈍器敲擊陀螺也可實現(xiàn)較大的初始位移，但這在物理實現(xiàn)上的重復性和可靠性較差，且對器件損害較大[8]。

另外，現(xiàn)有對于諧振頻率和Q值的測量大多是分開進行的，然而陀螺系統(tǒng)的阻尼會在輸出信號頻率中有所體現(xiàn)[9]，因此，如果能同時對這個兩個參數(shù)進行測量，則可更準確地獲得陀螺系統(tǒng)特征。目前，還沒有相關文獻給出一種在完全不知道硅微陀螺諧振頻率范圍下，同時對諧振頻率和Q值進行測量的方法，其中的難點是在不知道諧振頻率下，很難找到一種激勵信號使陀螺產生較大幅度的振動。

基于上述分析，提出一種同時對平板電極硅微陀螺的諧振頻率和Q值進行測量的方法，其主要內容為：

1）利用平板電極結構的吸合效應，提出一種新型的激勵方法，即不使用傳統(tǒng)的正弦波激勵，通過一個直流階躍信號推動陀螺振子在其振動方向上產生固定位移，待其穩(wěn)定中后切斷激勵信號，使其進入自由衰減振動。這樣就能夠在完全不知道諧振頻率下使陀螺產生較大初始位移的余振。

2）將 Morlet復小波變換引入到了余振信號頻率測量中，以此可解決數(shù)據(jù)點較少情況下的高精度頻率測量。為了降低計算量，將Morlet復小波變換與傳統(tǒng)FFT相結合，從而實現(xiàn)信號的快速頻譜分析。

另外，基于時延常數(shù)法的思想，通過Hilbert變換和指數(shù)擬合來計算Q值。仿真和實驗結果表明，提出的方法能夠同時、快速且精確地測量諧振頻率和Q值，為陀螺控制電路參數(shù)的設定提供了有力依據(jù)。

1 硅微陀螺的余振分析

振動陀螺由驅動模態(tài)和敏感模態(tài)組成，其動力學模型可由單自由度二階系統(tǒng)來描述，如圖1所示。單模態(tài)的動力學方程為：

式中：m為模態(tài)質量；F(t)為激勵信號；c和k分別為阻尼和剛度系數(shù)，表示為其中，ξ為模態(tài)阻尼比，為模態(tài)的自然諧振角頻率。

圖1 陀螺單模態(tài)動力學模型Fig.1 Single-mode dynamic model of gyroscope

Q值是硅微陀螺的一個重要參數(shù)，其定義為諧振子在一個振動周期內的存儲能量與消耗能量之比，即Q受到結構的氣體阻尼、熱彈性阻尼等多種能量損耗因子影響，因此通過結構阻尼分析來計算Q值誤差較大。

當驅動力為0，即F(t)=0時，系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼自由衰減振蕩狀態(tài)。通過拉普拉斯變換，可得到該模態(tài)系統(tǒng)的自由衰減信號為[10]：

式中：φ為初始相位，V0為t=0時刻對應的信號幅度值?？梢钥闯?，自由衰減信號中包含了0ω和Q值信息，其中，余振信號的頻率對于較高Q值(如Q＞100)[6]，可視為0ω=ω，即余振信號的頻率就是陀螺諧振頻率。為此，可利用呈現(xiàn)自由衰減狀態(tài)的余振信號來測量諧振頻率和Q值。

圖2給出了一個陀螺單模態(tài)的自由衰減振蕩信號的時域波形，其中，模態(tài)質量m=0.6×10-7kg，Q值Q= 5000，轉動慣量I=1.1078×10-14kg·m2，剛度系數(shù)k=1.579×103N/m，初始幅度為 0.2 V，諧振頻率為5000 Hz，采樣頻率為10 kHz。

2 方法框架

本文提出一種基于直流階躍激勵余振信號分析的硅微陀螺諧振頻率和Q值測量方法，主要分為三個步驟：1）利用直流階躍激勵信號使陀螺振子產生較大初始位移的余振，同時采集余振信號，并通過帶通濾波器進行消噪；2）利用FFT+Morlet復小波變換對余振信號進行高分辨率譜分析，以此獲得精確的諧振頻率；3）利用Hilbert變換獲得余振信號的包絡線，并對包絡線進行最小二乘指數(shù)擬合來計算Q值。提出方法的基本框架如圖3所示。

圖2 陀螺自由衰減振動信號仿真Fig.2 Simulation of gyroscope free dampen vibration

圖3 提出方法的框架Fig.3 Framework of the proposed method

3 直流階躍激勵方法

3.1 問題描述

根據(jù)余振信號來測量諧振頻率和Q值的方法中有個關鍵問題，即如何在不知道諧振頻率下激勵陀螺振動到足夠大的振幅，以此在停止激勵時獲得可用的余振信號。我們知道，陀螺的幅頻特性曲線類似于一個帶通濾波器，Q值越高，帶寬越小。在以正弦波為激勵時，若給陀螺一個偏離諧振頻率的激勵信號（甚至偏離 1 Hz），由于陀螺的自身衰減，使其不能激勵陀螺形成較大振幅的振動。為此，學者提出了一些采用PLL閉環(huán)驅動方法，利用PLL的掃頻過程來使陀螺工作到諧振點。PLL掃頻的效率比人工掃頻效率高，但在構建 PLL時也存在初始頻率和掃描間隔的設定問題。在完全不知道陀螺諧振頻率范圍下，設定合適的初始頻率較為困難。

本文基于平板電極的吸合效應（又稱 Pull-in現(xiàn)象），提出了一種直流階躍激勵方法。首先在單端平板電容電極上施加直流電壓，使振子進入失穩(wěn)狀態(tài)，以此產生較大的初始位移，待其穩(wěn)定后將電壓變?yōu)?0，使振子進入自由衰減振蕩狀態(tài)。這個方法不需要考慮使陀螺工作在諧振狀態(tài)來產生較大的振動幅度，且不受陀螺諧振頻率點的影響，具有通用性。

3.2 吸合效應

圖4描述了平板電極的力學模型，其中，兩極板之間的壓差為V，初始間距為d0，正對面積為A，動極板位移為x，彈簧剛度系數(shù)為k。

圖4 平板結構電極模型Fig.4 Model of flat structure electrode

那么，板級間的靜電吸引力表示為：

動極板所受到的彈簧恢復力表示為：

二者平衡時F1=F2，可得電壓差與位移的關系，表示為：

對式(6)進行求導，可以得到極板吸合條件：

求解得：

即，當板級間距變?yōu)樵瓉淼?/3時，將發(fā)生吸合現(xiàn)象。此時的電壓差稱為吸合電壓，表示為[11]：

3.3 階躍激勵方法

本文利用平板電極的吸合效應來產生大幅度的初始位移。對于課題組現(xiàn)有的MWAV-Gyro型輪式角振動陀螺，其敏感端采用了平板電容結構。敏感端的階躍激勵（如圖5所示）有兩對電極，將其中一對作為檢測電極，另一對作為激勵電極。在其中一個激勵電極上施加階躍激勵Vd，使振子產生位移。

圖5 敏感端直流階躍激勵示意圖Fig.5 Schematic of DC step excitation at sensitive end

不同的階躍激勵電壓Vd推動振子位移的程度不同。圖 6給出了當Vd=4V和Vd= 6 .5V 時，MWAVGyro型陀螺敏感端在移除激勵后振子的余振波形。可以看出，激勵電壓幅值對余振初始幅值的影響很大，為了后續(xù)的諧振頻率和Q值的有效檢測，需要得到較大初始幅值的余振信號，所以需要確定合適的Vd值。

圖6 不同激勵電壓下的余振信號波形Fig.6 Residual signal waveforms under different excitation voltages

對陀螺敏感端進行激勵電壓掃描，獲得了余振信號初始幅度與激勵電壓Vd的關系曲線，如圖7所示，其中基底電壓可以看到，在Vd= 5 .1V時產生了階躍變化，當時，余振信號幅度基本不變，說明此時發(fā)生了吸合效應，振子已被推到了最大位置。為此，吸合電壓

圖7 余振信號初始幅度與激勵電壓的關系曲線Fig.7 Relationship between the initial amplitude of residual signal and the excitation voltage

從這個實驗可以看出，只要施加的激勵電壓與基底電壓差大于吸合電壓Vp，即可得到較大振幅的余振信號。這里的吸合電壓Vp可以通過式(9)進行計算，根據(jù)MWAV-Gyro型陀螺的結構參數(shù)，計算得到Vp的理論值為4.9 V，與實際測量值相差不大。這個偏差主要是由陀螺制造過程的工藝誤差導致，但就實際操作而言，通過觀察余振波形來確定激勵幅值更為有效。

4 基于 FFT+Morlet復小波測量諧振頻率

在通過上述方法使陀螺產生較大初始幅度的余振后，需要對余振信號進行采樣并通過頻譜分析來獲得諧振頻率0ω。傳統(tǒng)FFT頻譜分析方法的頻率分辨率由采樣頻率和采樣點數(shù)N決定，即：Δω=當采樣頻率為20 kHz，采樣點數(shù)為1024點時，頻率分辨率為19.5 Hz。而對于高Q值硅微陀螺而言，諧振頻率測量精度要求較高（甚至達到0.1 Hz），傳統(tǒng)FFT無法滿足要求。另外，可通過提高采樣點數(shù)來提高FFT的精度，但是，由于余振信號為漸弱信號且較高，通常無法采樣到足夠多的有效點數(shù)。為此，本文引入了Morlet復小波變換來對余振信號進行高精度頻譜分析。

一維Morlet復小波的表達式為[12]：

那么，對于余振信號x(t)，其Morlet復小波變換為：

其中，a為尺度因子，b為平移因子，*表示復共軛。據(jù) Parseval 等式，式(11)的頻域表示為：

可以看出，當β取足夠小時，G(ω)類似于一個沖擊函數(shù)δ，可看作為一個窄帶濾波器。每一個尺度對應一個窄帶濾波器，其中心頻率為通帶為此時若取b=0，則式(12)可近似表示為：

然而，若對全頻譜(0 ～fsample/2)進行Morlet復小波變換，即執(zhí)行a次小波變換，將會產生大量的計算。為此，本文將傳統(tǒng)FFT與Morlet復小波變換相結合，基本步驟如下：

然后，為了確保覆蓋真實頻率點，在頻率點fFFT附近選擇出頻率范圍，并計算出該頻率范圍所對應的小波變換尺度序列。接著，對余振信號執(zhí)行該尺度序列下的Morlet復小波變換。

5 基于Hilbert包絡線法測量Q值

最近，文獻[14]提出了一種時延常數(shù)法，根據(jù)二階系統(tǒng)中自由衰減振蕩信號的衰減時間系數(shù)為一常數(shù)的原理，對包絡信號取對數(shù)再進行線性擬合來測量Q值。本文采用了該思想，與其不同的是，本文對于余振信號的包絡，直接利用最小二乘法對包絡線進行指數(shù)擬合來計算Q值，以此可簡化操作步驟。

根據(jù)式(3)，陀螺余振信號的振幅曲線（即包絡線）可表示為：

首先，對于余振信號x(t)進行Hilbert變換來獲得余振信號的包絡線。Hilbert變換相當于將信號通過一個沖擊響應系統(tǒng)，在不改變信號幅度的情況下，將信號的相位改變Hilbert變換表達式為[15]：

Hilbert變換可獲得余振信號x(t)的虛部～x(t)。然后將其與原始信號組成一個新的信號，對X*(t)進行取模即可獲得包絡線V(t)[16]，即：

然后，采用非線性最小二乘擬合算法，對獲得的包絡線進行指數(shù)擬合，擬合函數(shù)為v(t) =nekt。最后，根據(jù)和已測量的ω0，即可計算出Q值。

6 仿真及實驗

6.1 仿真驗證

首先，通過 Matlab仿真來驗證提出方法的可行性。通過Simulink構建不同諧振頻率f0和Q值的單自由度二階陀螺系統(tǒng)模型，再以頻率為f0的正弦波激勵，當其達到一定振動幅度時切斷激勵，使其產生自由衰減振動信號。其中?。篺0∈[4901, 5101]Hz，步進值為40 Hz；Q∈[5000, 10 000]，步進值為1 000。同時，在振動信號中加入一定量的高斯噪聲，性噪比為40 dB。另外，設定信號采樣率fsample=62.5 kHz，信號時間長度為1 s，F(xiàn)FT的點數(shù)為2048點，Morlet復小波變換的尺度在不同f0和Q值下進行仿真實驗，各種條件下的一次參數(shù)測量結果如表 1和表 2所示。可以看出，F(xiàn)FT+Morlet復小波變換的頻率測量精度達到了0.1 Hz，相對誤差在10-5量級上，Hilbert變換+指數(shù)擬合的Q值測量的相對誤差也都達到了10-5量級。這些結果證明了提出方法的可行性。

表1 f0測量結果（Q =5000）Tab.1 f0measurement results (Q = 5000)

表2 Q值測量結果（f0=5000 Hz）Tab.2Q measurement results (f0=5000 Hz)

6.2 實驗驗證

以課題組現(xiàn)有的MWAV-Gyro型硅微輪式角振動陀螺為實驗對象，測量其敏感模態(tài)的f0和Q值。其中選擇了兩個不同批次的陀螺，標記為陀螺1和陀螺2。階躍激勵信號由Keysight 33500B信號發(fā)生器生成，陀螺振動數(shù)據(jù)由NI M系列16位數(shù)據(jù)采集卡采集，采樣率為62.5 kHz，并發(fā)送到NI LabVIEW記錄軟件進行記錄，然后輸入到Matlab進行相關計算，其中FFT點數(shù)和Morlet復小波變換的尺度參數(shù)設置與仿真中一致。

以陀螺1為例，通過階躍激勵所產生的余振波形如圖9所示。可以看出，在激勵電平上升后，陀螺的檢測輸出具有小幅度的振動，這是因為直流電壓產生的靜電力將振子推到平衡位置后，振子由于慣性作用在該位置附近做小幅度振動。當移除激勵后，振子會產生較大幅度振動。另外，在施加直流激勵時，從振動輸出波形上并未看到與激勵波形一樣呈現(xiàn)一個階躍形狀，而是在0 V線上振動。這是因為陀螺敏感端的檢測輸出采用的是差分隔直輸出形式，過濾掉了直流量，所以不會出現(xiàn)階躍狀。

表3 陀螺的電學參數(shù)Tab.3 Electrical parameters of the gyroscope

圖8 實驗使用的硅微輪式角振動陀螺Fig.8 The silicon micro-wheel angle gyroscope

圖9 階躍激勵后陀螺1敏感模態(tài)振子余振波形Fig.9 Sensitive modal residual waveform of gyroscope 1 after step excitation

圖10給出了陀螺1敏感模態(tài)一次實驗采集的信號波形以及濾波消噪、頻譜分析、包絡線提取和指數(shù)擬合后的波形。

圖10 實測信號及其頻譜分析和包絡線擬合Fig.10 Measured signal and its spectrum analysis and envelope fitting

6.3 性能比較

對于f0的測量，以掃頻法作為基準，將提出方法與文獻[3]提出的基于黃金分割搜索的頻率測量方法進行比較。其中，掃頻法是利用Keysight E5061B ENA系列網絡分析儀來實現(xiàn)，以0.05 Hz為間隔進行掃頻，諧振頻率f0為幅頻曲線頂點所對應的頻率值。文獻[3]方法是利用信號發(fā)生器輸出幾個頻率點的正弦激勵信號，基于獲得的振動幅度點來估計f0。另外，為了精確比較，提出方法與文獻[3]方法的頻率測量精度設置為0.001 Hz。

在常溫環(huán)境下，對每個陀螺的敏感模態(tài)進行多次實驗。表4列出了其中3組f0的測量結果，可以看出，提出方法所獲得的f0與掃頻法的基本一致，相對誤差在10-5量級上，這說明了提出方法的有效性。而文獻[3]方法的相對誤差較大，這是因為陀螺的幅頻曲線不像理想情況那樣完全左右對稱，且該方法受到頻率點選擇的影響，所以不能保證有效性。另外，由于不同批次陀螺的制造環(huán)境不同，特性參數(shù)也不同，而且同一陀螺各次測試的結果也略有不同，這是因為硅微陀螺的制作材料是對溫度敏感的硅材料，測試環(huán)境的變化會導致f0有略微偏移[17]。

表4 f0的測量結果比較Tab.4 Comparison on measurement results of f0Hz

對于Q值的測量，目前較為精確的方法是文獻[14]描述的時延常數(shù)法，為此將該方法作為基準，將提出方法與文獻[6]描述的-3 dB帶寬法進行比較。-3 dB帶寬法是通過f0與-3 dB帶寬f-3dB的比值來計算Q值，即其中-3 dB帶寬法也是通過 E5061B ENA系列網絡分析儀以0.05 Hz為間隔進行掃頻，基于獲得的幅頻曲線計算實現(xiàn)。時延常數(shù)法是基于掃頻后獲得的f0，并產生頻率為f0的正弦波進行激勵，以獲得的余振波形來計算實現(xiàn)。表5列出了其中三組Q值的測量結果。

表5 Q值的測量結果比較Tab.5 Comparison on measurement results of Q

可以看出，提出方法與時延常數(shù)法的結果相近，而-3 dB帶寬法對Q值測量的結果誤差較大?？紤]到Q值是表征陀螺振子在每個周期的能量損耗，基于振子自由衰減振蕩特征的測試結果較為合理且準確。

另外，對硅微陀螺f0和Q值進行重復性測試，計算重復性測試度量：

對兩個陀螺的敏感模態(tài)都測試了15次，計算平均重復性測試度量值，如表6所示。結果表明，對于f0，提出方法的重復性指標與掃頻法相近，且明顯優(yōu)于文獻[3]方法，這進一步證明了提出方法的可靠性。

表6 重復性測試結果Tab.6 Repeatability test results

除了上述性能優(yōu)勢之外，所提出的方法測量一個陀螺的f0和Q值所消耗的時間不超過1 min，而掃頻法則需要幾十分鐘甚至更長。

7 結束語

本文針對真空封裝硅微陀螺的自然諧振頻率和Q值的測定，提出了一種基于余振信號分析的快速測定方法。通過直流階躍激勵，在不知道諧振頻率下使平板結構陀螺振子產生較大初始位移的自由衰減振動。通過結合FFT與Morlet復小波變換，實現(xiàn)在有限采樣點下的高分辨率頻譜分析?；跁r延常數(shù)法的原理，通過Hilbert變換和最小二乘指數(shù)擬合來獲得Q值，實現(xiàn)了諧振頻率和Q值的同時測量。仿真和實驗結果表明，提出的方法精度高、速度快且工程實現(xiàn)簡單，具有較高的實用價值。另外，該方法也可推廣到其他靜電驅動類二階諧振系統(tǒng)的振動特性參數(shù)測量。

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