王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學(xué) 311824)

“楊輝三角”是我國古代數(shù)學(xué)家的一個(gè)偉大成就，現(xiàn)在很多命題者都利用此結(jié)構(gòu)進(jìn)行命題.而“矩陣”是高等代數(shù)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，其定義為由m×n個(gè)數(shù)排成m行n列,并括以方括弧(或圓括弧)的數(shù)稱為m行n列矩陣,簡稱m×n矩陣，通常用大寫字母表示，如記作A，如表明它的行數(shù)和列數(shù)，可記作Am×n,有時(shí)也可記作A=[aij]m×n其中aij稱為矩陣第i行j列的元素，特別地，當(dāng)m=n時(shí)，矩陣A稱為n階矩陣 (或n階方陣) ，也同樣被大多數(shù)命題者所相中.而數(shù)列的考查在這兩個(gè)的命題上尤為突出，下面以幾例來予以解析.

例1 (1)設(shè){an}是集合{2t+2s|0≤s

將數(shù)列{an}各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：

(ⅰ)寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)；

(ⅱ)求a100.

3

5 6

9 10 12

— — — —

— — — — —

(2)設(shè){bn}是集合{2r+2t+2s|0≤r

分析此題從其性質(zhì)上看不象我們所見的楊輝三角，但考查意圖是圍繞楊輝三角進(jìn)行設(shè)計(jì).主要是讓學(xué)生找出其規(guī)律，并找出最終解決問題的辦法.

解(1)由于0≤s

第一行為：t=1,s=0,

第二行為：t=2,s=0t=2,s=1

第三行為：t=3,s=0t=3,s=1t=3,s=2

由此規(guī)律可發(fā)現(xiàn)：

第四行為：t=4,s=0t=4,s=1t=4,s=2t=4,s=3

即：第四行四個(gè)數(shù)為： 17 18 20 24

第五行為：t=5,s=0t=5,s=1t=5,s=2t=5,s=3t=5,s=4

即：第五行五個(gè)數(shù)為： 33 34 36 40 48

(2)由于a100表示這個(gè)三角形中的第100個(gè)數(shù)，根據(jù)上述規(guī)律可得：

(3)bk=1160=210+27+23,

因M={c∈B|c<210}∪{c∈B|210

現(xiàn)在求M的元素個(gè)數(shù)：{c∈B|c<210}={2r+2s+2t|0≤r

a1

a2a3a4

a5a6a7a8a9

a10a11a12a13a14a15a16

分析根據(jù)上述觀察可發(fā)現(xiàn)后一行比前一行的個(gè)數(shù)多兩個(gè)，故每行項(xiàng)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列.

解A(10，8)所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)應(yīng)是前9行的個(gè)數(shù)加上第10行的第8個(gè)即為所求.

變形2：已知一個(gè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)是1或3,首項(xiàng)為1，且在第k個(gè)1和第k+1個(gè)1之間2k-1個(gè)3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為Sn．

(1)試問第2004個(gè)1為該數(shù)列的第幾項(xiàng)？

(2)求a2004；(3)求S2004；

(4)是否存在正整數(shù)m，使得Sm=2004？若存在,求出m的值；若不存在,說明理由.

分析：此題將第k個(gè)1與第k+1個(gè)1前的3記為第k對(duì)，即

(1，3)為第1對(duì)，共1+1=2項(xiàng)；

(1，3，3，3)為第2對(duì)，共1+(2×2-1)=4項(xiàng)；

故前k對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為2+4+6+…+2k=k(k+1).如將上述看成一個(gè)楊輝三角的形式，那么解決問題可能就比較簡單了.

解(1)第2004個(gè)1所在的項(xiàng)為前2003對(duì)所在全部項(xiàng)的后1項(xiàng)，即為2003(2003+1)+1=4014013(項(xiàng)).

(2)由于44×45=1980，45×46=2070，故第2004項(xiàng)必夾在第45對(duì)內(nèi)，且不是它的第1項(xiàng)，故其值必為3，即a2004=3.

(3)由(2)可知，前2004項(xiàng)中共有45個(gè)1，其余1959個(gè)數(shù)均為3，于是S2004=45+3×1959=5922.

(4)前k對(duì)所在全部項(xiàng)的和為Sk(k+1)=k+3[k(k+1)-k]=3k2+k．

易知，S25(25+1)=1900,S26(26+1)=2054，而S651=1901，且從第652項(xiàng)到第702項(xiàng)均為3，而2004-1901=103不能被3整除，故不存在m，使Sm=2004．

例2 下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”：

47( )( )( )…a1j…712( )( )( )…a2j…( )( )( )( )( )…a3j…( )( )( )( )( )…a4j………………………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………

其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù).

(1)寫出a45的值；(2)寫出aij的計(jì)算公式.

分析根據(jù)題目可知：每一個(gè)等差數(shù)列都是知道首項(xiàng)與第2項(xiàng)，故都確定.

解(1)顯然：a45=49.

(2)該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列，故a1j=4+3(j-1).

同理：第二行為a2j=7+5(j-1)故第i行是首項(xiàng)為4+3(j-1)，公差為2i+1的等差數(shù)列，因此：aij=4+3(j-1)+(2i+1)(j-1)=i(2j+1)+j.

變形1：已知右邊是一數(shù)陣，且a11=1，每行、每列都構(gòu)成以-2為公比的等比數(shù)列(其中n是大于10自然數(shù)).aij表示位于第i行第j列的數(shù).

(1)若aij=256，求在此數(shù)陣中值為256的共有多少個(gè)？并求i+j的值；

(2)求aij的下標(biāo)滿足j+i≤n+1的項(xiàng)共有多少項(xiàng)？并求所有滿足上述條件的aij之和S.

分析由于每行、每列都構(gòu)成等比數(shù)列，因此每一項(xiàng)都是確定的.

解(1)根據(jù)題意：

第一行依次為：1,-2,4,-8,16,-32,64,-128,256,…

第二行依次為：-2,4,-8,16,-32,64,-128,256,…

從中可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：后一行是前一行去掉第一項(xiàng)即可，且i,j一個(gè)增大，一個(gè)縮小，但其和值不變.

因此在這個(gè)數(shù)陣中值為256的個(gè)數(shù)為9個(gè)，且i+j=10.

(2)S=a11+a21+a22+a31+…+a1n根據(jù)第一小題的結(jié)論可知：

S=a11+2a12+3a13+…+na1n,而a1n=(-2)n-1.

此時(shí)恰好構(gòu)成等差與等比乘積的前n項(xiàng)和，采用錯(cuò)項(xiàng)相消法.

-2S=-2a11+(-2)2a12+(-2)3a13+…+(-2)na1n

兩式相減得：

故所求得和

從上述幾個(gè)題目的解答可看出解決問題的關(guān)鍵是如何正確把握其變化的規(guī)律,平時(shí)的教學(xué)應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，讓學(xué)生自主探究知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識(shí)的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力.作為數(shù)列在這兩個(gè)特殊環(huán)境——三角、矩陣中得以靈活的表現(xiàn)，將試題發(fā)揮的淋漓盡致.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書( 必修) 數(shù)學(xué)5(A版)[M]. 北京:人民教育出版社，2014.