柳 華 商俊宇

(1.山東省臨沂市中醫(yī)藥職工中等專業(yè)學(xué)校 276000;2.山東省臨沂第十八中學(xué) 276017)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此成為歷年高考考查的重點(diǎn)與熱點(diǎn).但是學(xué)生在解題時(shí)往往出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤，造成不必要的失分現(xiàn)象.

一、忽視n的取值范圍導(dǎo)致錯(cuò)誤

例1 已知an=n2+λn(n∈N*)，且數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

圖1

得到an=n2+λn在[1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).

得λ>-3，即為所求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

正解二由題意an+1>an對(duì)任意n∈N*恒成立，即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn

化簡得λ>-(2n+1)，因?yàn)?(2n+1)max=-3，

因此λ>-3，即為所求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

二、利用an=Sn-Sn-1求通項(xiàng)公式時(shí)忽視n≥2導(dǎo)致錯(cuò)誤

正解當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1；

三、忽視等比數(shù)列中隔項(xiàng)同號(hào)原則導(dǎo)致錯(cuò)誤

正解設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則

四、等比數(shù)列求和中忽視q=1導(dǎo)致錯(cuò)誤

例4 求和1+3a+5a2+…+(2n-1)an-1.

錯(cuò)解令Sn=1+3a+5a2+…+(2n-1)an-1①,

則aSn=a+3a2+…+(2n-3)an-1+(2n-1)an②.

五、忽視等比數(shù)列中各項(xiàng)不為0導(dǎo)致錯(cuò)誤

例五若a，b，c，d成等比數(shù)列，試判斷a+b，b+c，c+d是否構(gòu)成等比數(shù)列.

錯(cuò)解設(shè)等比數(shù)列a，b，c，d的公比為q，則

a+b=a(1+q)，b+c=aq(1+q)，c+d=aq2(1+q)

所以a+b，b+c，c+d構(gòu)成首項(xiàng)為a(1+q)，公比為q的等比數(shù)列.

錯(cuò)因上述解答中a≠0，q≠0是顯然的，但是當(dāng)q=-1時(shí)，1+q=0是可能的，故解答錯(cuò)誤.

正解當(dāng)1+q=0時(shí)，a+b=b+c=c+d=0，故a+b，b+c，c+d不能構(gòu)成等比數(shù)列.

1+q≠0，能構(gòu)成首項(xiàng)為a(1+q)，公比為q的等比數(shù)列.

六、公比設(shè)法不當(dāng)致錯(cuò)

錯(cuò)因上述具有對(duì)稱性的設(shè)法不失為一種好的設(shè)法，在等差數(shù)列中也很方便，但在等比數(shù)列中只有當(dāng)這幾個(gè)數(shù)為同號(hào)時(shí)方可使用.上述設(shè)法的公比為q=t2>0，但實(shí)際上q可以為負(fù)數(shù).

正解設(shè)這四個(gè)數(shù)為a，aq，aq2，aq3，

七、忽視隱含條件導(dǎo)致錯(cuò)誤

錯(cuò)解由條件a，1，c成等差數(shù)列，得a+c=2；

又由a2，1，c2成等比數(shù)列，得a2c2=1，即ac=±1.

錯(cuò)因題設(shè)條件中a，1，c是三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，若ac=1，結(jié)合a+c=2，得a=c=1，不合題意.故只有ac=-1.

參考文獻(xiàn)：

[1]王懷學(xué)，肖斌. 高考數(shù)學(xué)經(jīng)典題型與變式[M].拉薩：西藏人民出版社，2016.