張 珺，李立州，羅 驍，張新燕

(1 太原學院 數(shù)學系， 太原 030001; 2 中北大學 機電工程學院， 太原 030051)

基于CFD和CSD耦合的數(shù)值求解方法是研究葉片和機翼氣動彈性振動的主要方法[1-5]，但其計算效率極低[6-16]，工程應(yīng)用不便。氣動力降階模型(aerodynamic reduced order model,aerodynamic ROM)是描述擾動對葉片和機翼氣動力影響的簡化數(shù)學模型[6]。通過氣動力降階模型研究葉片和機翼的氣動彈性振動已成為重要方向。Silva[6]提出了線性和非線性氣動力Volterra級數(shù)降階模型；Su等[7]用Volterra級數(shù)降階模型研究了葉柵的顫振，認為降階模型的計算效率極高；Liou[8]用Volterra級數(shù)法研究了跨音速條件下葉片的顫振；He[9]用諧波平衡法(harmonic balance)研究了含分離流動的葉片流場； Ekici等[10]用諧波平衡法研究了葉片顫振，認為該方法與勢流理論符合較好；Ashcroft等[11]用諧波平衡法研究了亞音速和跨音速二維壓氣機葉柵的顫振特性，發(fā)現(xiàn)該方法可以準確地預(yù)測顫振；Balajewicz[12]研究了多輸入多輸出Volterra級數(shù)的氣動力降階模型；Skujins[13]用降階模型研究了高超聲速飛行器的動態(tài)氣動力；Jirasek[14]用降階模型研究了X-31的動態(tài)氣動力；Wang[15]建立了基于Tchebyshev多項式的二階Volterra氣動力降階模型；Milansese[16]用連續(xù)的脈沖識別了Volterra降階模型的核函數(shù)。

目前，氣動力降階模型核函數(shù)都采用脈沖法或階躍法識別。對于多輸入多輸出的問題，需要多次的CFD計算或者試驗。為減少氣動力降階模型識別時CFD模擬或氣動力試驗的次數(shù)，本文提出為每一個核函數(shù)建立一個擬合曲線，通過優(yōu)化曲線的參數(shù)，使氣動力降階模型的氣動力輸出和CFD模型試驗結(jié)果一致，以此辨識多輸入多輸出氣動力降階模型的核函數(shù)。

1 氣動力降階模型的優(yōu)化識別方法

1.1 時變系統(tǒng)的Volterra級數(shù)降階模型

對于均勻采樣的時變系統(tǒng)，其離散的Volterra 級數(shù)模型可以寫為[10]：

(1)

1.2 基于Volterra級數(shù)的葉片氣動力降階模型

本文以二維葉片位移擾動引起氣動力變化為例，介紹葉片氣動力降階模型核函數(shù)的優(yōu)化識別方法。葉片模型如圖1所示，葉片的扭轉(zhuǎn)和彎曲引起葉片氣動升力和升力矩的變化，該系統(tǒng)模型可以用{CL(t),CM(t)}=Ψ{v(t),α(t)}表示。α和v分別為葉片的扭轉(zhuǎn)和彎曲位移，CL和CM為升力和力矩。

該系統(tǒng)的一階Volterra級數(shù)氣動力降階模型可表示為：

(2)

1.3 核函數(shù)的優(yōu)化識別方法

現(xiàn)有氣動力降階模型的核函數(shù)采用階躍和脈沖信號識別。用階躍信號辨識出的核函數(shù)比較穩(wěn)定且能部分地反映系統(tǒng)的非線性特性，因此在實踐中應(yīng)用較為廣泛。用階躍信號識別核函數(shù)的步驟是：首先獲得葉片的穩(wěn)態(tài)流場和氣動力，然后在穩(wěn)態(tài)流場上增加單位階躍的擾動，獲得在該階躍擾動下葉片氣動力的響應(yīng)，最后用如下公式計算氣動力降階模型的核函數(shù)：

(3)

① 用CFD或者試驗獲得已知擾動下葉片的氣動力響應(yīng)；

② 確定氣動力降階模型的輸入輸出變量和核函數(shù)的階次；

③ 為每一個核函數(shù)建立一條擬合曲線；

④ 用核函數(shù)的擬合曲線代替核函數(shù)，構(gòu)造氣動力降階模型；

⑤ 優(yōu)化所有的核函數(shù)擬合曲線的參數(shù)，使氣動力降階模型的輸出與CFD或試驗得到的氣動力一致。

2 算例驗證

為驗證本文提出的方法，以圖2葉片為對象，建立氣動力降階模型。取中間葉片的彎曲位移和俯仰角為輸入，取中間葉片的氣動力為輸出。采用CFD模型獲得輸入輸出之間的關(guān)系。CFD模擬采用fluent，空氣，理想氣體，Spallart-Allmaras粘性模型，無滑移壁面，葉片流場進、出口見圖2。出口壓力101 325 Pa，進口總壓120 500 Pa，溫度為300 K，進氣角30°。求解時，確定先求得穩(wěn)態(tài)流場，求得葉片的升力h0為-797 N，力矩u0為 -12.22 N·m。在穩(wěn)態(tài)流場的基礎(chǔ)上，用udf程序調(diào)整不同時刻中間葉片的彎曲位移和俯仰角，進而獲得位移擾動條件下葉片的氣動力，用于核函數(shù)的辨識。

根據(jù)模型識別理論，系統(tǒng)的激勵信號必須充分激勵系統(tǒng)所有模態(tài)。因此，在本文中噪聲信號被用做葉片的擾動。葉片的彎曲位移擾動采用v=0.000 1×(random(t)-0.5)，葉片的俯仰角擾動采用α=0.1×(random(t)-0.5)。用udf將該信號加載到葉片fluent模型上，得到葉片的氣動力，見圖3和圖4。

為了驗證核函數(shù)的精度，圖5也給出了直接用階躍信號識別的核函數(shù)。從結(jié)果來看：用優(yōu)化方法識別的核函數(shù)和用階躍方法識別的核函數(shù)完全相同。這說明了本文提出方法是可行的。另外，考慮到本文的方法可以一次性識別多輸入多輸出系統(tǒng)所有的核函數(shù)并且具有平均和容錯能力，因此本文的方法具有更大的優(yōu)勢。

將優(yōu)化得到的核函數(shù)和階躍信號得到的核函數(shù)代入葉片氣動力降階模型，計算噪聲信號下葉片的氣動力，結(jié)果見圖3和圖4。為方便比較，用CFD模型計算的葉片氣動力也顯示在圖3和圖4中。從圖3和圖4 可以看出，降階模型和CFD模型得到的葉片氣動力結(jié)果完全一致。這進一步說明了本文提出方法是可行的。

3 結(jié)論

現(xiàn)有研究通過階躍響應(yīng)和脈沖響應(yīng)得到氣動力降階模型的核函數(shù)。對于多輸入多輸出問題，需要多次進行CFD模擬或試驗，計算或試驗的工作量巨大。為解決這一問題，本文提出采用優(yōu)化方法識別氣動力降階模型核函數(shù)，其基本思想是：為每一個核函數(shù)建立一個擬合曲線；用優(yōu)化方法調(diào)整擬合曲線的參數(shù)，使氣動力降階模型的結(jié)果和CFD或試驗結(jié)果一致，一次性獲得所有的核函數(shù)。

二維葉片氣動力降階模型核函數(shù)的辨識結(jié)果表明：優(yōu)化得到的核函數(shù)與用階躍方法識別的結(jié)果完全相同，說明本文提出方法是可行的。另外，考慮到本文的方法可以一次性識別多輸入多輸出系統(tǒng)所有的核函數(shù)，并且具有一定的容錯能力，因此本文提出方法具有更大優(yōu)勢。

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